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1、 2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 综合法和分析法综合法和分析法探究（一）：探究（一）：综合法综合法 思考思考1 1：对于不等式：对于不等式其左右两边的结构有什么特点？其左右两边的结构有什么特点？右边是右边是3 3个数个数a，b b，c c的乘积的的乘积的4 4倍，左边倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积另两个数的平方和之积.思考思考2 2：利用哪个知识点可以沟通两个数：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？的平方和与这两个数的积的不等关系？基本不等式基本不等式思考思考3 3：若已知：若已知
2、a0 0，b0 0，如何利用不，如何利用不等式性质证明等式性质证明 +例例:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:直接证明法直接证明法1 1、综合法
3、综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立理论证，最后推导出所证结论成立.综合法又叫综合法又叫“顺推证法顺推证法”或或“由因导果法由因导果法”，其基本，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知思想是：由已知推可知，逐步推出未知.若用若用P P表示已表示已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，Q Q表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？框图可怎样
4、表示？例例3 3：在在中，三个内角、中，三个内角、对应的边分别为、对应的边分别为a a、b b、c c，且，且、成等差数列，、成等差数列，a a、b b、c c成成等比数列，求证等比数列，求证为等边三为等边三角形角形引例：基本不等式：引例：基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立定义：定义：从证明的结论出发，逐步寻找使它从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的成立的充分条件充分条件，直到最后，把要证明，直到最后，把要证明的结论归结为只
5、需判定一个明显成立的的结论归结为只需判定一个明显成立的条件（已知条件，定义、定理、公理）条件（已知条件，定义、定理、公理）为止。为止。直接证明法直接证明法2、分析法分析法【分析法分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式分析法分析法，又叫又叫“逆推证法逆推证法”或或“执果索执果索因法因法”，其基
6、本思想是：由未知探需知，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知逐步推向已知.若用若用Q Q表示所要证明的结表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？怎样表示？显然成立的条件显然成立的条件 例例4 4 求证：求证：.【例例5】如图：如图：过过A作作SB的垂线，垂足为的垂线，垂足为E，过，过E作作SC 的垂线，垂足为的垂线，垂足为F。求证：求证：ASBCEF 例例6 6 已知已知sinsincoscos2sin2sin，sin sincoscossin2sin2，其中其中 ，求证：，求证：直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？都是直接证明
7、都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止吻合为止 分析法分析法【探究探究1】将将9个球分别染成红色或白个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有色无论怎样染色，至少有5个球同色的。个球同色的。正确吗？正确吗？间接证明法间接证明法反反
8、 证证 法法反证法反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立而证明了原命题成立.思考思考1 1：用反证法证题的核心问题是什么用反证法证题的核心问题是什么？在正确的推理下得出矛盾在正确的推理下得出矛盾.思考思考2 2：在反证法应用中，矛盾的构设有在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？哪几种情形？（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与假设矛盾；）与假设矛盾；（3 3）与定义、公理、定理、性质矛
9、盾；）与定义、公理、定理、性质矛盾；（4 4）与客观事实矛盾）与客观事实矛盾.例例7，已知已知 a 0,0,证明关于证明关于 x x 的方程的方程 a x=b 有且只有一个根。有且只有一个根。用反证法证题的一般步骤用反证法证题的一般步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证）从这个假设出发，经过推理论证,得出矛盾；得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯）由矛盾判定假设不成立，从而肯 定命题的结论正确。定命题的结论正确。适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现）结论以否定
10、形式出现 （2）结论以）结论以“至多至多-，”，“至少至少-”形式出现形式出现（3）唯一性、存在性问题）唯一性、存在性问题（4）结论的反面比原结论更具体更容易结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。研究的命题。常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全
11、部都全部都 例例8 8 已知直线已知直线a，b和平面和平面，如果，如果，,且且a/b，求证：，求证：a/.理论迁移理论迁移ab小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性.3.3.综合法和分析
12、法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点.3 3.反证法是一种间接证明的方法，是反证法是一种间接证明的方法，是解决某些解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，其问题的有力工具，其基本思路是：基本思路是：假设结论不成立假设结论不成立构设矛盾构设矛盾否定假设否定假设肯定结论肯定结论.4 4.反证法主要适用于以下两种情形：反证法主要适用于以下两种情形：（1 1）所证的结论与条件之间的联系不）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；明显，直接有条件推出结论线索不清晰；（2 2）从正面入手需要分成多种情形进）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形或很少的几种情形.