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1、 2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法一、学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；2、理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题。二、自学指导：快速阅读教材，填写优化探究P47 基础梳理问题提出问题提出 1.1.合情推理的主要作用和思维过程是合情推理的主要作用和思维过程是什么？什么？作用：作用：提出猜想，发现结论；提出猜想，发现结论；过程：过程：从具体问题出发从具体问题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、类比归纳、类比提出猜想提出猜想.2.2.演绎推理的一般模式是演绎
2、推理的一般模式是“三段论三段论”，三段论的基本含义如何？，三段论的基本含义如何？大前提：大前提：已知的一般原理；已知的一般原理；小前提：小前提：所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结结 论：论：根据一般原理，对特殊情况做根据一般原理，对特殊情况做 出判断出判断.3.3.合情推理所得结论的正确性是需要合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的实施也需要具体的证明的，演绎推理的实施也需要具体的操作方法，因此，从理论上获取证明数操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的基本方法，是我们需要进一步学命题的基本方法，是我们需要进一步学习的内容学习的内容.探究（一）：探究（一）：综合法综合法 思考思
3、考1 1：对于不等式对于不等式其左右两边的结构有什么特点？其左右两边的结构有什么特点？右边是右边是3 3个数个数a，b b，c c的乘积的的乘积的4 4倍，左边倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积另两个数的平方和之积.思考思考2 2：利用哪个知识点可以沟通两个数利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？的平方和与这两个数的积的不等关系？基本不等式基本不等式思考思考3 3：若已知若已知a0 0，b0 0，如何利用不，如何利用不等式性质证明等式性质证明 思考思考4 4：上述从已知条件，基本不等式，上述从已知条件，基本不
4、等式，不等式乘法和加法性质出发，推出所证不等式乘法和加法性质出发，推出所证结论成立的证明方法叫做结论成立的证明方法叫做综合法综合法，一般，一般地，综合法的基本含义是什么？地，综合法的基本含义是什么？利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立理论证，最后推导出所证结论成立.思考思考5 5：综合法又叫综合法又叫“顺推证法顺推证法”或或“由由因导果法因导果法”，其基本思想是：，其基本思想是：由已知推由已知推可知，逐步推出未知可知，逐步推出未知.若用若用P P表示已知条表示已知条
5、件和某些数学定义、公理、定理、性质、件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，法则等，Q Q表示所要证明的结论，则综合表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？法的推理过程用流程框图可怎样表示？借助于中间一些量、式子、已知的结论、定理、借助于中间一些量、式子、已知的结论、定理、公理最终转化到所要证明的结论！公理最终转化到所要证明的结论！证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立回顾基本不等式：回顾基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.综合法：综合法：证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立
6、回顾基本不等式：回顾基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.探究（二）：分析法探究（二）：分析法证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立分析法：分析法：综合法：综合法：思考思考（二）：分析法（二）：分析法思考思考1 1：对于不等式对于不等式 (ab)，若证该不等式成立，只要证明什么？若证该不等式成立，只要证明什么？思考思考2 2：若证不等式若证不等式 成立，成立，只需证明什么？只需证明什么？思考思考3 3：若证不等式若证不等式|a|b|ab|成立，只需证明什么？成立，只需证明什么？|ab|ab|a|b|ab|思考思考4 4：由于由于|ab|ab显然成立，反推回显然成
7、立，反推回去即得原不等式成立去即得原不等式成立.其中上述各步推理其中上述各步推理中所寻求的条件是充分条件，还是必要中所寻求的条件是充分条件，还是必要条件，还是充要条件？条件，还是充要条件？充分条件充分条件思考思考5 5：上述证明方法叫做上述证明方法叫做分析法分析法.一般一般地，分析法的基本含义是什么？地，分析法的基本含义是什么？从所证结论出发，逐步寻求使它成立的从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件充分条件，直到归结为判定一个显然成，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止理、性质、法则等）为止.思考思考6 6：分析
8、法又叫分析法又叫“逆推证法逆推证法”或或“执执果索因法果索因法”，其基本思想是：，其基本思想是：由未知探由未知探需知，逐步推向已知需知，逐步推向已知.若用若用Q Q表示所要证表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？框图可怎样表示？显然成立的条件显然成立的条件理论迁移理论迁移 例例1 1 在在ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，已知，已知A A，B B，C C成成等差数列，且等差数列，且a a，b b，c c成等比数列，求证成等比数列，求证ABCABC为等边三角形为等边三角
9、形.例例2 2 求证：求证：.例题3、独立完成教材P88例题小结作业小结作业 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法.2.2.综合法的每步推理都是寻找综合法的每步推理都是寻找必要条必要条件件，分析法的每步推理都是寻找，分析法的每步推理都是寻找充分条充分条件件，在解题表述中要注意语言的规范性，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性.3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点.练习练习：P89P89练习：练习：1 1，2 2，3.3.