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1、1第1页/共29页2解：解：纠正作业纠正作业解：解：解：解：第2页/共29页3第3页/共29页4复习2.函数的间断点函数的间断点第4页/共29页53.间断点分类间断点分类:(1)第一类间断点第一类间断点(2)第二类间断点第二类间断点第5页/共29页64.初等函数的的连续性;所以所以 初等函数的连续区间初等函数的连续区间=定义区间定义区间注意：初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.第6页/共29页7第十节闭区间上连续函数的性质 第一章 一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理第7页
2、/共29页8最大最大(小小)值定义值定义:对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数 f(x),如果如果则称则称是函数是函数在区间在区间I上的上的最大最大 值值.(小小)一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理例如例如,第8页/共29页9定理定理1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即:设设则则使使值和最小值值和最小值.在该区间上一定有在该区间上一定有最大最大(证明略证明略)推论推论.由定理由定理 1 可知有可知有证证:设设上上有界有界.在在闭区间闭区间上上连续连续的函数在该区间上的函数在该区间上有界有界.第9页/共29页10 1.若区间是若区间是开区间开区间,
3、结论结论不一定成立不一定成立;注意注意:2.若区间内若区间内有间断点有间断点,结论结论不一定成立不一定成立.例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 又如：又如：第10页/共29页11二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理零点的定义零点的定义:定理定理2.(零点定理零点定理)至少有一点至少有一点且且使使(证明略证明略)(又叫根的存在定理又叫根的存在定理).几何解释几何解释:连续连续曲线弧曲线弧的两个的两个端点位于端点位于x轴的不同侧轴的不同侧,则曲线则曲线弧与弧与x轴至少轴至少有一个交点有一个交点.第11页/共29页12例例1.证明方程证明方程一个实根一个实根.证证:在区间在区间内至少
4、有内至少有由零点定理知由零点定理知,令令说明说明:内必有方程的根内必有方程的根;的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法则则第12页/共29页13定理定理3.(介值定理介值定理)则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,一点一点证证:作辅助函数作辅助函数则则且且故由零点定理知故由零点定理知,至少有一点至少有一点即即推论推论:在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数至少有至少有必取得介于最小值与必取得介于最小值与最大值之间的任何值最大值之间的任何值.第13页/共29页14例例2.证证:由零点定理由零点定理,辅助函数法辅助函数法:先作辅助
5、函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理注意注意:第14页/共29页15内容小结内容小结上有最大值和最小值上有最大值和最小值;1.闭区间；闭区间；2.连续函数连续函数注意：注意：这两点不满足上述定理这两点不满足上述定理不一定不一定成立成立第15页/共29页161)直接用四则法则直接用四则法则;2)恒等变形后用四则法则恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质利用无穷小的性质;无限项无限项:约去零因式约去零因式通分通分分子分母有理化分子分母有理化回顾：回顾：1.学过的求极限的方法：学过的求极限的方法：抓大头抓大头4)无穷小与无穷大的关系法无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算
6、法则复合函数的极限运算法则(变量代换法变量代换法);化无限为有限化无限为有限法法6)利用极限存在的充要条件求极限利用极限存在的充要条件求极限(如分段函数如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则利用夹逼准则和单调有界准则;8)重要极限法重要极限法;9)等价无穷小代换法；等价无穷小代换法；10)利用连续性利用连续性.注意各个方法的理论依注意各个方法的理论依据及条件，使用范围据及条件，使用范围.第16页/共29页17则有则有结论结论1:若若则有则有结论结论2:若若结论结论3：常用等价无穷小常用等价无穷小:第17页/共29页18结论结论4:结论结论5:第18页/共29页19第19页/共29页20例
7、例1.求求解解:原式原式=P75T9(6)第20页/共29页21例例2.试确定常数试确定常数 a 使使解解:第21页/共29页22例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.解:第22页/共29页23P75T11第23页/共29页24第24页/共29页25第一章常考题型：第一章常考题型：作业作业:P74 2;P74 2,9(2)(6),13;14(2).预习预习:P77-P87P74总习题一总习题一1,3题写在书上题写在书上.第25页/共29页26备用备用.函数函数解答解答:无界但不是无穷大无界但不是无穷大.P42T6第26页/共29页27思考：思考：函数的间断点只能有有限个吗？函数的间断点只能有有限个吗？在定义域在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点内每一点处都间断，且都是第二类间断点.狄利克雷函数狄利克雷函数如如在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,答：不是答：不是.因有些函数存在无穷多个间断点因有些函数存在无穷多个间断点.但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.第27页/共29页28备用题备用题:至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的正根的正根.证：证：证明证明令令且且显然显然根据零点定理根据零点定理,内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间原命题得证原命题得证.第28页/共29页29感谢您的观看！第29页/共29页