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1、注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定、最值定理理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,第1页/共12页例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如,第2页/共12页二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有证:设上有界.定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第3页/共12页定理定理3.(介值定理介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值
2、之间的任何值.第4页/共12页例例.证明方程证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则内容小结 第5页/共12页*三三.一致连续一致连续性性已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在 I 上一致连续.显然:第6页/共12页例如例如,但不一致连续.因为取点则 可以任意小但这说明在(0,1 上不一致连续.定理4.上一致连续.(证明略)思考:P74 题*7提示:设存在,作辅助函数显然第7页/共12页内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在第8页/共12页1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:第9页/共12页则证明至少存在使提示:令则易证2.设设作业P74(习题110）2;3;5一点习题课 第10页/共12页备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.第11页/共12页感谢您的观看！第12页/共12页