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1、关于线性代数矩阵及其运算1 1第一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月2第一章 矩 阵1 矩阵及其运算矩阵及其运算3 行列式行列式2 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵4 行列式和逆矩阵的应用行列式和逆矩阵的应用第二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月3 3矩阵及其运算 第一节第三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月引例一某企业生产某企业生产4种产品，各种产品的季度产值种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：（单位：万元）如下表：ABCD180757578298708584390759090488708280 数数 表表 抽象抽象 描述各种产品各季度的产
2、值描述各种产品各季度的产值揭示产值随季度的变化规律、揭示产值随季度的变化规律、年产量等年产量等第四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月引例二某航空公司在某航空公司在A，B，C，D四城市之间四城市之间开辟了若干航线，右图表示了四城市之开辟了若干航线，右图表示了四城市之间的航班图，若从间的航班图，若从A到到B有航班，则用带有航班，则用带箭头的线连接箭头的线连接A与与B：终点始发ABCDABCD 数数 表表 BA CD抽象抽象 反映四城市之间的交通连接情况反映四城市之间的交通连接情况 第五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月1.1.1 线性方程组与矩阵的概念线性方程组与矩阵的概念m m个
3、方程，个方程，n n个未知数个未知数线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为 数数 表表 第六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月定义定义1.1(P2)1.1(P2)由由m n个数个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的排成的m行行n列的数表列的数表 第一行第一行 第二行第二行 第一列第一列 第二列第二列 其中诸其中诸叫做矩阵的叫做矩阵的元素元素，矩阵可以简记，矩阵可以简记称为称为m行行n列矩阵列矩阵，简称为，简称为矩阵矩阵,通常用大写的英文通常用大写的英文字母字母A,B,表示，表示，第七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月行矩阵：行矩阵：只有一行的矩阵只有一行的矩阵
4、也称为行向量也称为行向量列矩阵：列矩阵：只有一列的矩阵只有一列的矩阵也称为列向量也称为列向量元素全是零的矩阵叫做元素全是零的矩阵叫做零矩阵零矩阵，简记为，简记为Om n 特例特例 第八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月行数与列数相等的矩阵，称为行数与列数相等的矩阵，称为方阵方阵。有有n行行n列的矩阵称为列的矩阵称为n阶方阵阶方阵或或n阶矩阵阶矩阵特例特例 第九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月10几种特殊形式的方阵几种特殊形式的方阵上三角形矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵下三角形矩阵三角形矩阵三角形矩阵 第十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月11数量矩阵数量矩阵对角阵对角阵
5、单位矩阵单位矩阵几种特殊形式的方阵几种特殊形式的方阵diagonal 第十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月12行数、列数分别相等的矩阵，称为行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵同型矩阵。同型矩阵同型矩阵如：只有矩阵只有矩阵 与矩阵与矩阵 同型同型第十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月13定义定义1.2（P4)那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B相等矩阵相等矩阵第十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月14(1)(2)(3)判断下列各组矩阵是否相等判断下列各组矩阵是否相等 第十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月课堂练习课堂练习 设设 ，已知，已知A=B，
6、求求 的值的值 解解 由由A=B，可知，可知 解得解得 第十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月一、一、矩阵的加减法矩阵的加减法定义1.3（P4)那么矩阵那么矩阵A与矩阵与矩阵B的的和矩阵和矩阵记作记作A+B,规定为规定为对应位置上的元素相加对应位置上的元素相加1.1.2 矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质注意：只有同型矩阵才能相加注意：只有同型矩阵才能相加第十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月17矩阵的加法满足下列运算规律矩阵的加法满足下列运算规律(P4)（i）A+B=B+A(交换律）（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律）(iii)A+O=O+A=A-A称为
7、矩阵A的负矩阵的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O定义矩阵的减法定义矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应位对应位置上的置上的元素相元素相减减第十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月二、二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算定义1.4 (P5)矩阵的每一个元素矩阵的每一个元素都要乘以这个数都要乘以这个数运算率运算率(P5)第十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月19设两个商店销售三种电视机的设两个商店销售三种电视机的数量（百台）由矩阵数量（百台）由矩阵A表示表示长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价三种电视机的零售单价（千元）由矩阵（千元）由矩阵B表示表示长虹康佳创维三、三
8、、矩阵的乘法矩阵的乘法则两商场销售电视机所得收益分别是多少？则两商场销售电视机所得收益分别是多少？第十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月定义定义1.5(P5)三、三、矩阵的乘法矩阵的乘法设矩阵设矩阵A=(aij)m l的的列数列数与矩阵与矩阵B=(bij)l n的的行数行数相等相等,则由元素则由元素构成的构成的m n矩阵矩阵C=(cij)m n称为矩阵称为矩阵A与矩阵与矩阵B的的乘积乘积，记作记作C=AB第二十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月矩阵乘法运算的注意事项：矩阵乘法运算的注意事项：矩阵乘法运算的注意事项：矩阵乘法运算的注意事项：（1 1）两矩阵相乘时，前矩阵（居左）
9、每一行（如第两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第i i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j j列）中顺列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i i行行第第j j列）的元素。列）的元素。(2)(2)为保证规则（为保证规则（1 1），），左矩阵的列数应与右矩阵的的左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等行数相等，否则两矩阵不能相乘。否则两矩阵不能相乘。（3 3）乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与右矩乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与右矩阵相同。阵相同。行行列列第二十一张，P
10、PT共四十七页，创作于2022年6月22例例例例 计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质 （1）设设，求，求AB和和BA。（2）设设，求求AB和和BA.求求AB、BA和和BC。第二十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例例例设设，求，求AB。矩阵与矩阵相乘不满足交换律，矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，有意义，但但BA不一定有意义不一定有意义解解 第二十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例例例设设AB求求AB和和BABAAB和和BA都意义，但不同
11、型都意义，但不同型，故，故ABBA.解解 第二十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例例例求求AB、BA和和BCABBA(1)AB与与BA都有意义，且同型，但都有意义，且同型，但AB与与BA不相等不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵两个非零矩阵相乘可能是零矩阵(3)BA=BC,但但AC,可见，矩阵乘法不满足消去率可见，矩阵乘法不满足消去率BC解解 ABBA,BA=BC 第二十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例例例求AB和BAABBAAB=BA如果同阶方阵如果同阶方阵A和和B满足满足AB=BA,则称则称A与与B可交换可交换解解 第二十六张，PPT共四十七页，创作于20
12、22年6月矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，但满足下列运算率（但满足下列运算率（P6）：）：()()()()第二十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月记记则线性方程组则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式 系数矩阵系数矩阵 未知数列矩阵未知数列矩阵 常数列矩阵常数列矩阵 第二十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月矩阵矩阵A表示两车间生产三种产品表示两车间生产三种产品的数量的数量矩阵矩阵B表示三种产品的单位产品消耗表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量两种原料的数量车间一车间一车间二车间二面面包包蛋蛋糕糕
13、饼饼干干面包面包蛋糕蛋糕饼干饼干糖糖面面粉粉则如何用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？则如何用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？第二十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月方阵的幂方阵的幂设设A是是n阶方阵，阶方阵，k为正整数，则为正整数，则表示表示k个个A连乘连乘,如如显然，只有方阵的幂才有意义显然，只有方阵的幂才有意义第三十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月四、转置矩阵四、转置矩阵(Transpose)行、列对调例例例例运运 算算 律律可推广到有限多个的情形定义定义1.6(P6)把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个的行换成同序数的列得到一个新矩阵新矩阵,叫做的叫做
14、的A转置矩阵转置矩阵，记作，记作 或或第三十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月对称矩阵对称矩阵如果如果方阵方阵A满足满足就称就称A为为对称矩阵对称矩阵例例如如方阵方阵A为为对称矩阵对称矩阵矩阵矩阵A中关于主对角线对称位中关于主对角线对称位置上的每一对元素都相等置上的每一对元素都相等第三十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月定义定义1.7(P10)设设A A为为n n阶方阵阶方阵,AB=BA=I I就称为就称为A可逆矩阵可逆矩阵，如果如果存在存在n n阶方阵阶方阵B B，使得，使得并称并称B为为A的逆矩阵的逆矩阵（简称（简称A的逆的逆),记作记作定理定理1.1如果如果A是可逆矩
15、阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的证明证明设设B和和C都是都是A的逆矩阵，的逆矩阵，则则AB=BA=I I,AC=CA=I I B=BI I=B(AC)=(BA)C=I IC=C1.1.4 逆矩阵逆矩阵第三十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月性质性质 1.1 如果矩阵如果矩阵A可逆，则可逆，则AB=I I等价于等价于BA=I I。证明证明 (1)相似可证相似可证 性质性质1.2（3）如果）如果A为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则A-1也可逆，且也可逆，且第三十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月性质性质1.3如果如果A和和B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则A
16、B可逆，且可逆，且证明证明故由推论故由推论1便知便知AB可逆，且可逆，且可推广到有限个情形第三十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月36逆矩阵的性质（逆矩阵的性质（P10-P11）1、逆矩阵是唯一存在的。、逆矩阵是唯一存在的。2、AB=I BA=I 6、若、若A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且 .3、若、若A可逆，数可逆，数 ，则，则 4、若、若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则 5、若、若A可逆，则可逆，则 （此性质可将定义简化）（此性质可将定义简化）第三十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月371.1.3 分块矩阵及其运算分块矩阵及其运算 用用穿过矩阵穿过
17、矩阵的横线和竖线将矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子分割成若干个子块，以这些块，以这些子块为元素子块为元素的矩阵的矩阵A称为分块矩阵。称为分块矩阵。例如例如则则A可记作可记作称称A为以子块为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的为元素的分块矩分块矩阵阵。第三十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月38如：如：分块矩阵分块矩阵第三十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月39如：如：分块矩阵分块矩阵列分块列分块 行分块行分块 第三十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月401、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按矩、矩阵的分块运算分两步完成，
18、首先，视子块为元素，按矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。行实质上的矩阵运算。2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件件。如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时乘时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的还须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行数。行数。分块矩阵的运算分块矩阵的运算：第四十张
19、，PPT共四十七页，创作于2022年6月41u分块矩阵的加减运算分块矩阵的加减运算设设A、B同型同型，且采用，且采用完全相同的分块方法完全相同的分块方法，得，得则则注意：注意：A i j与与B i j同型同型第四十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月42u 分块矩阵的数乘及转置分块矩阵的数乘及转置 设将设将A分块得分块得则则第四十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月43u 分块矩阵的乘法运算分块矩阵的乘法运算设设A、B矩阵分块得矩阵分块得则则其中其中注意注意：A的列块数的列块数=B的行块数；的行块数；A i k的列数的列数=B k j的行数的行数第四十三张，PPT共四十七页，创
20、作于2022年6月44例例8 设设将将A、B适当分块，计算适当分块，计算AB.解解 将将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线，作如下分块：在二、三行之间插入横线，在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则第四十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月45则则而而 所以所以第四十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月46u 分块对角矩阵分块对角矩阵 如果可将矩阵如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为为分块对角矩阵分块对角矩阵。其中其中A i i 为为方阵子块方阵子块，其余子块，其余子块均为零子块均为零子块分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质 若若A可逆，则可逆，则第四十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月感谢大家观看第四十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月