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1、4 插值方法4.1多项式插值问题的一般提法 4.2 拉格朗日(Lagrange)插值4.3 差商与差分及其性质4.4 牛顿插值公式 4.5 分段插值法4.6曲线拟合的最小二乘法第1页/共85页4.0 引言 插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法要数值方法,它是用简单函数它是用简单函数(特别是多项式或分特别是多项式或分段多项式段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种为各种离散数组建立连续模型；为各种非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：自然规律的数量关系的
2、函数有三种表示方法：解析表达式 图象法 表格法第2页/共85页4.0 引言 许多数据都是用表格法给出的许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数如观测和实验而得到的函数数据表格数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的分析和进行设计，是极不方便的,甚至是不可能的。因此需甚至是不可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数数(或近似函数或近似函数)。另外一种情况是，另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜函数表达式完全给定，但
3、其形式不适宜计算机使用计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。第3页/共85页x2 xn b 点上的值 y0,y1,yn.若存在一简单 函数 p(x),使得 p(xi)=yi i =0,1,2,n (2.1)定义设函数 f(x)在a,b上有定义，且已知在 a
4、x0 x1 1实验值实验值 yi 有误差，个别点可能误差还比较大。有误差，个别点可能误差还比较大。方法:多项式插值多项式插值点点通过点点通过高次插值效果不好高次插值效果不好?启发启发,手工手工!第75页/共85页实例实例某种纤维的强度 y 与 其拉伸倍数 x 的关系实验数据实验数据:24个纤维样品个纤维样品实例第76页/共85页xy坐标纸坐标纸 后勤集团印制,19811.描点描点手工方法手工方法:2.画直线画直线3.求出求出 a0,a1直线应该与所有点靠得比较近直线应该与所有点靠得比较近或者说或者说:所有点所有点应该应该尽量靠近尽量靠近直线直线实例(续1)注意注意:xi第77页/共85页数学方
5、法数学方法:所有点应该尽量靠近直线xi 点误差：(a0+a1 xi)-yi ,=实例(续2)i=1,2,n尽量小误差向量向量大小:残差范数minminmin第78页/共85页实例(续3)F(a0,a1)=min即:求 a0,a1,使误差平方平方和取最小最小值!二元函数求极值问题解出 a0,a1最小二乘解第79页/共85页实例(续4)实例实例求解求解:y=0.1505+0.8587 x即为最小二乘解平方误差为平方误差为第80页/共85页一般地:一般已知:求:y=a0+a1 x+a2 x2+am xm=m次多项式多项式拟合的最小二乘法多项式拟合的最小二乘法使F(a0,a1,am)=min取极小。即类似地 m+1 元函数求极值第81页/共85页一般(续)k=0,1,m,得得即即解出 a0,a1,am得:y=a0+a1 x+a2 x2+am xm法方程组第82页/共85页例1例1用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使与下列数据相拟合:X1925313844y19.032.349.073.397.8a=0.972577b=0.050035y=0.972577+0.050035x2第83页/共85页拟合曲线为非线性模型拟合曲线为非线性模型第84页/共85页感谢您的观看。第85页/共85页