计算方法插值方法课件.ppt

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1、计算方法插值方法第1页，此课件共80页哦1.1问题的提法问题的提法函数函数y=f(x)给出一组函数值给出一组函数值 x:x0 x1 x2 xny:y0 y1 y2 yn其中其中x0,x1,x2,xn是区间是区间a,b上的互异点，要构造一个简单的函上的互异点，要构造一个简单的函数数p(x)作为作为f(x)的近似表达式，使满足的近似表达式，使满足(插值原则、插值条件插值原则、插值条件)这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。p(x)-f(x)的的插值函数插值函数,f(x)-被插值函数被插值函数x0,x1,x2,xn-插值节点插值节点 求插值函数的方法称为求插值函数的方法称为插值法插值法。若若xa

2、,b，需要计算，需要计算f(x)的近似值的近似值p(x),则称则称x为为插值点插值点。1.插值问题插值问题第2页，此课件共80页哦第3页，此课件共80页哦当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式插值问题当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式插值问题:代数多项式插值问题代数多项式插值问题:设函数设函数y=f(x)在在a,b有定义有定义,且已知在且已知在n+1个点个点ax0 x1xnb上的函数值上的函数值y0,y1,yn.,要求一个次要求一个次数不高于数不高于 n的多项式的多项式使满足插值原则使满足插值原则 称称 pn(x)为为f(x)的的 n次插值多项式次插值多项式。本章只讨论多项

3、式插值与分段插值。因为多项式具有一些很好的特性，如本章只讨论多项式插值与分段插值。因为多项式具有一些很好的特性，如它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，多项式四则运算后仍是多项式等它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，多项式四则运算后仍是多项式等等。等。第4页，此课件共80页哦定理定理2在在n+1个互异基点处满足插值原则且次数不超过个互异基点处满足插值原则且次数不超过n的的多项式多项式pn(x)是存在并唯一的。是存在并唯一的。证证 其系数行列式其系数行列式 因此方程组存在唯一的解因此方程组存在唯一的解，因此，因此pn(x)存在并唯一。存在并唯一。2插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一

4、性第5页，此课件共80页哦1.2 2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式1 1 线性插值线性插值3 3 一般情形一般情形2 2 抛物插值抛物插值第6页，此课件共80页哦1线性插值线性插值-n=1时的代数多项式插值时的代数多项式插值已知已知f(x0)=y0，f(x1)=y1,x0 x1y0 y1yx0 x1x要构造线性函数要构造线性函数p1(x),使它满足插值条件使它满足插值条件 p1(x0)=y0,p1(x1)=y1.（线性插值多项式）（线性插值多项式）（拉格朗日线性插值多项式）（拉格朗日线性插值多项式）公式的结构：它是两个一次函数的线性组合公式的结构：它是两个一次函数的线性组合（线性插值基

5、函数）（线性插值基函数）第7页，此课件共80页哦例例1已知已知 10 11 y100 121 x解解 与精确值比较，这个结果有与精确值比较，这个结果有3位有效数字位有效数字.的精确值为的精确值为10.723805,第8页，此课件共80页哦基函数的性质基函数的性质第9页，此课件共80页哦2抛物插值抛物插值-n=2时的代数多项式插值时的代数多项式插值已知已知f(x)在三个互异节点在三个互异节点x0,x1,x2的函数值的函数值y0,y1,y2xx0 x1x2yy0y1y2要构造次数不超过二次的多项式要构造次数不超过二次的多项式p2(x)使满足插值条件使满足插值条件 公式的构造：公式的构造：采用基函数

6、方法构造采用基函数方法构造p2(x)，先构造三个先构造三个二次插二次插值基函数值基函数lj(x)(j=0,1,2)，使满足，使满足且且lj(x)(j=0,1,2)，是一个二次函数，是一个二次函数.第10页，此课件共80页哦先构造先构造l 0(x)因它有两个零点因它有两个零点x1 及及x2故可表为故可表为其中其中c为待定系数，由条件为待定系数，由条件l0(x 0)=1,求得求得 于是，得于是，得同理可得同理可得第11页，此课件共80页哦（拉格朗日二次插值多项式（拉格朗日二次插值多项式）于是求得于是求得显然，它满足显然，它满足第12页，此课件共80页哦例例2利用利用100,121和和144的开方值

7、求的开方值求 x100121144y101112解解 这个结果同精确值比较，有这个结果同精确值比较，有4位有效数字位有效数字.第13页，此课件共80页哦 二次插值也称之为二次插值也称之为抛物插值抛物插值 。当三点当三点 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)位于一条直线上时，显然位于一条直线上时，显然插值函数的图形是直线。插值函数的图形是直线。第14页，此课件共80页哦3 一般情形下面讨论通过下面讨论通过n+1个节点个节点x0 x1xn的的n次插值多项式次插值多项式pn(x),假设它满足条件假设它满足条件 定义定义:若若n次多项式次多项式lj(x)(j=0,1,n)在在n+1个节点个节

8、点x0 x1xn上上满足条件满足条件 就称这就称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x)，l1(x)，,ln(x)为节点为节点x0，x1，xn 上的上的n次插值基函数次插值基函数。类似类似n=1,n=2的情况，可得的情况，可得n次插值基函数为次插值基函数为第15页，此课件共80页哦显然，它满足条件显然，它满足条件n次次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 由由lk(x)的定义，知的定义，知 第16页，此课件共80页哦若引入记号若引入记号注意：注意：n次插值多项式次插值多项式pn(x)通常是次数为通常是次数为n的多项式，特殊情况次的多项式，特殊情况次数可能小于数可能小于n，例如，通过三点，例如，

9、通过三点（x0,y0),（x1,y1),（x2,y2),的二的二次插值多项式次插值多项式p2(x)，如果三点共线，则如果三点共线，则y=p2(x)就是一直线，就是一直线，而不是抛物线，这时而不是抛物线，这时p2(x)是一次式。是一次式。容易求得容易求得于是于是pn(x)又可改写成又可改写成第17页，此课件共80页哦1.3插值余项插值余项截断误差截断误差：也称为插值多项式的也称为插值多项式的余项余项。定理定理3设区间设区间a,b含有含有节点节点x0，x1，xn,而而函数函数f(x)在在a,b内有连续的直到内有连续的直到n+1阶导数，且阶导数，且f(xi)=yi(i=0,1,n)已给已给，则当则当

10、xa,b时，对于满足插值条件的时，对于满足插值条件的n次插值多项式次插值多项式pn(x)，成立，成立其中其中(a,b)且依赖于且依赖于x，证证 仅仅需需要要考考察察插插值值点点x不不是是插插值值节节点点xi 的的情情形形，否否则则插插值值余余项项公公式显然成立式显然成立。令。令式中式中c为待定系数，而为待定系数，而第18页，此课件共80页哦这样误差函数这样误差函数R(t)=f(t)-g(t)至少有至少有n+2个互异的零点个互异的零点x,x0,x1,xn。根据罗尔定理根据罗尔定理,R(n+1)()=0依此类推，可知依此类推，可知R(n+1)(t)在在(a,b)内至少有一个零点内至少有一个零点，使

11、，使 R”(t)在在(a,b)内至少有内至少有n个互异零点个互异零点R(t)在在(a,b)内至少有内至少有n+1个互异的零点个互异的零点另一方面直接对另一方面直接对R(x)求导知求导知上式令上式令t=,并将并将c的表达式代入，得的表达式代入，得 据此稍加整理，就得到余项表达式，证毕据此稍加整理，就得到余项表达式，证毕由于由于xi(i=0,1,n)都是都是 （t)的零点，根据插值条件有的零点，根据插值条件有此外，若取此外，若取则又有则又有g(x)=f(x).第19页，此课件共80页哦推推论论当当f(x)是是次次数数不不超超过过n的的多多项项式式时时，其其n次次插插值值多多项项式就是式就是f(x)

12、本身。本身。证明证明因为因为f(n+1)(x)=0，从而，从而Rn(x)0，pn(x)f(x)。误差公式的用法：误差公式的用法：，则截断误差估计为，则截断误差估计为 如果如果设设min x0,x1,xn=a，maxx0,x1,xn=b当插值点当插值点x(a,b)时称为时称为内插内插，否则称为，否则称为外插外插。特别，当特别，当n=1时，线性插值余项为时，线性插值余项为 当当n=2时，抛物线插值余项为时，抛物线插值余项为 第20页，此课件共80页哦计算框图：计算框图：第21页，此课件共80页哦第22页，此课件共80页哦1.5 牛顿插值公式牛顿插值公式2 2 差商及其性质差商及其性质 1 1 具有

13、承袭性的插值公式具有承袭性的插值公式 3 3 差商形式的插值公式差商形式的插值公式 第23页，此课件共80页哦先考察线性插值的点斜式表达式为：先考察线性插值的点斜式表达式为：由于由于1具有承袭性的插值公式具有承袭性的插值公式 p1(x)=p0(x)+c1(x-x0)其中，修正项的系数其中，修正项的系数显然，不管系数显然，不管系数c2 如何取值如何取值p2(x)均能满足均能满足p2(x0)=f(x0),p2(x1)=f(x1)再利用剩下的一个条件再利用剩下的一个条件p2(x2)=f(x2)来确定来确定c2,结果有结果有 可看作是零次插值多项式，上式表明可看作是零次插值多项式，上式表明再修正再修正

14、p1(x)以进一步得到抛物线插值多项式以进一步得到抛物线插值多项式p2(x),为此令为此令p2(x)=p1(x)+c2(x-x0)(x-x1)第24页，此课件共80页哦以上论述表明，为了建立具有承袭性的插值公式，需要以上论述表明，为了建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商并研引进差商并研究性质。究性质。记记c0=f(x0),从而有从而有第25页，此课件共80页哦一阶差商一阶差商定义为定义为：一般地一般地,n阶差商阶差商定义为定义为为统一起见，定义为统一起见，定义零阶差商零阶差商为函数值本身，即为函数值本身，即f(xi),2差商及其性质差商及其性质二阶差商二阶差商定义为一阶差商的差商定义为一阶差

15、商的差商：第26页，此课件共80页哦差商有如下的基本性质差商有如下的基本性质:例如例如这个性质可用归纳法证明这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明这个性质也表明,差商具有差商具有对称性对称性,即任意改即任意改变节点的次序后其值不变。即变节点的次序后其值不变。即 k阶差商可表为函数值阶差商可表为函数值f(x0),f(x1),f(xk)的线性组合的线性组合,即即第27页，此课件共80页哦定理定理4若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数,且节点且节点则则n阶差商与导数关系如下阶差商与导数关系如下证证作函数作函数pn-1(x)是过是过的插值多项式的插值多项式,由定理由定理3的证明得证的证明得

16、证第28页，此课件共80页哦差商表差商表 xif(xk)1阶阶2阶阶3阶阶4阶阶x0f(x0)x1f(x1)f(x0,x1)x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4)f(x0,x1,x2,x3,x4)计算规律计算规律：任一个：任一个k(1)阶差商的数值等于一个分式的值，其分子为所求差阶差商的数值等于一个分式的值，其分子为所求差商左侧的数减去左上侧的数，分母为所求差商同一行最左边的基点值减去由它往上数商左侧的数减去左上侧的数，分

17、母为所求差商同一行最左边的基点值减去由它往上数第第k个基点值。个基点值。注意：差商表中，对角线上的差商是构造牛顿型插值公式的重要数据。注意：差商表中，对角线上的差商是构造牛顿型插值公式的重要数据。粗线框出的部分在计算机上可存入二维数组粗线框出的部分在计算机上可存入二维数组第29页，此课件共80页哦差商表的数据构成一个矩阵差商表的数据构成一个矩阵F：F00=f(x0)F10=f(x1),F11=fx0,x1F20=f(x2),F21=fx1,x2,F22=fx0,x1,x2F30=f(x3),F31=fx2,x3,F32=fx1,x2,x3,F33=fx0,x1,x2,x3 Fi,j-1=fxi

18、-j+1,xi Fi-1,j-1=fxi-j,xi-1 计算机上计算均差表的公式计算机上计算均差表的公式 一般有一般有 Fi,j=fxi-j,xi-j+1,xi-1,xi 第30页，此课件共80页哦 例例3已知函数已知函数y=f(x)的观测数据如表，试构造差商表的观测数据如表，试构造差商表，并求并求f(2,4,5)及及f(2,4,5,6)的值的值。x02456f(x)159-413解解n=4,构造差商表构造差商表 xif(xi)1阶阶2阶阶3阶阶4阶阶0245621159-4132-13170-515-15f(2,4,5)=-5f(2,4,5,6)=5第31页，此课件共80页哦3差商形式的插值

19、公式差商形式的插值公式根据差商定义，把根据差商定义，把x看成看成a,b上一点，可得上一点，可得牛顿均差型线性插值多项式牛顿均差型线性插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到第32页，此课件共80页哦我们称我们称pn(x)为牛顿均差插值多项式为牛顿均差插值多项式计算牛顿差商插值多项式的步骤：计算牛顿差商插值多项式的步骤：（1）作差商表）作差商表（2）根根据据公公式式计计算算牛牛顿顿型型插插值值多多项项式式（表表中中对对角角线线上各差商值就是上各差商值就是pn(x)的各项系数的各项系数）。）。余项公式余项公式 牛顿型插值多项式牛顿型插值多项式 pn(x)显然满足插值

20、条件，且就是次数不超过显然满足插值条件，且就是次数不超过n次的插值多项式，系数次的插值多项式，系数第33页，此课件共80页哦例例4已知函数已知函数y=f(x)的观测数据如上例，试用全部节点构造牛顿的观测数据如上例，试用全部节点构造牛顿插值多项式，并用二次插值求插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。的近似值。解解用全部基点时，用全部基点时，n=4，先作差商表，先作差商表,见上例。见上例。p4(x)=f(0)+f(0,2)(x-0)+f(0,2,4)(x-0)(x-2)+f(0,2,4,5)(x-0)(x-2)(x-4)+f(0,2,4,5,6)(x-0)(x-2)(x-4)(x-5)xif

21、(xi)1阶阶2阶阶3阶阶4阶阶0245622-1317159-4130-515-151=1+2x-x(x-2)(x-4)+x(x-2)(x-4)(x-5)第34页，此课件共80页哦用二次插值求用二次插值求f(3)时时n=2，x=3，作内插取，作内插取 x0=2,x1=4,x2=5f(3)p2(3)=f(2)+f(2,4)(3 2)+f(2,4,5)(3-2)(3-4)=7-5(3-2)(3-4)=12第35页，此课件共80页哦 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，不少实际问题不但要求在节点上函

22、数值相等，而且还要求它的导数值也相等，不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，满足这种要求的插值多项式就是满足这种要求的插值多项式就是满足这种要求的插值多项式就是满足这种要求的插值多项式就是HermiteHermiteHermiteHermite插值多项式。这里不准备对插值多项式。这里不准备对插值多项式。这里不准备对插值多项式。这里不准备对HermiteHermiteHermiteHermite插值作一般性论述插值作一般性论述插值作一般性论述插值作一般性论述,而仅仅研究两个具体问题而仅仅研究两个具体问题而仅仅研究两个具体问题而仅仅研究两个具体问题.1.1.1.1.求

23、作二次式求作二次式求作二次式求作二次式p2(x)满足满足设用这一插值多项式设用这一插值多项式p2(x)逼近某个取值逼近某个取值解决这类问题与处理不带导数的插值一样解决这类问题与处理不带导数的插值一样,也有两种方法下也有两种方法下面分别说明面分别说明:1.6 1.6 1.6 1.6 埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值第36页，此课件共80页哦(1)(1)基于承袭性基于承袭性,按牛顿插值特点按牛顿插值特点,令令则不管系数则不管系数c怎样取值怎样取值,总有总有将将c代入代入,得得再用剩下的一个条件再用剩下的一个条件确定确定c,第37页，此课件共80页哦(2)(2)用基函数方法，为简化计

24、算，先设用基函数方法，为简化计算，先设x0=0,x1 1=1,=1,而令而令均为二次式，它们分别满足均为二次式，它们分别满足其中基函数其中基函数下面我们将利用以上条件来分别确定下面我们将利用以上条件来分别确定由条件由条件 0(1)=0知知x=1是是 0(x)的一个根，故可令的一个根，故可令将将 0(x)的其它两个条件代入，得方程组的其它两个条件代入，得方程组解得解得 a=b=-1,于是有于是有 0(x)=1-x2同理可得同理可得 1(x)=x2，0(x)=x(1-x)第38页，此课件共80页哦若若x0,x1为任意节点，那么可令为任意节点，那么可令x1-x0=h，不难验证，这时，不难验证，这时2

25、.2.求作三次式求作三次式p3(x)，使满足使满足仿照问题仿照问题1的解法，记的解法，记h=x1-x0,而令而令第39页，此课件共80页哦仿照问题仿照问题1的解法，导出其插值基函数为的解法，导出其插值基函数为余项余项：对于问题：对于问题1 1和问题和问题2 2的插值余项分别是的插值余项分别是其中其中 1，2均包含在由点均包含在由点x0,x1和和x所界定的范围内所界定的范围内第40页，此课件共80页哦 例例5求满足求满足的插值多项式及其余项表达式。的插值多项式及其余项表达式。解解：由给定条件，可确定次数不超过：由给定条件，可确定次数不超过3 3的插值多项式，由于此的插值多项式，由于此多项式通过点

26、多项式通过点故其形式为故其形式为其中其中A为待定常数，可由条件为待定常数，可由条件确定，确定，通过计算得通过计算得:第41页，此课件共80页哦为了求余项为了求余项 R R(x)=f(x)-P(x)的表达式的表达式,设设其中其中K(x)为待定函数，构造为待定函数，构造 显然显然故其形式为故其形式为 (t)在在（a,b）内有内有5个零点（重根算两个）。反复应用罗尔个零点（重根算两个）。反复应用罗尔定理，的定理，的 (4)(t)在在（a,b）内至少有一个零点内至少有一个零点，故，故于是，余项公式可表为于是，余项公式可表为第42页，此课件共80页哦1 1 高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象2 2 分

27、段插值的概念分段插值的概念3 3 分段线性插值分段线性插值1.7 1.7 分段插值法分段插值法4 4 分段三次插值分段三次插值第43页，此课件共80页哦1 1 1 1 高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象1901年龙格首先发现多项式插值有危险，他试图在区间年龙格首先发现多项式插值有危险，他试图在区间-5,5内相等内相等间隔的节点上用多项式对函数间隔的节点上用多项式对函数进行插值，却发现当插值多项式进行插值，却发现当插值多项式pn(x)的次数趋于无穷时，的次数趋于无穷时，pn(x)在在|x|3.63内收敛，而在该区间之外发散。如下图所示。内收敛，而在该区间之外

28、发散。如下图所示。第44页，此课件共80页哦高次代数多项式插值的龙格（高次代数多项式插值的龙格（Runge)现象现象所以，七、八次以上的代数多项式插值很少使用。所以，七、八次以上的代数多项式插值很少使用。第45页，此课件共80页哦2分段插值的概念分段插值的概念 所谓分段插值就是将插值函数逐段多项式化。所谓分段插值就是将插值函数逐段多项式化。设已知节点设已知节点ax0 x1xnb上的函数值上的函数值y0,y1,yn.，求函数求函数SK(x)满足：满足：1 Sk(x)Ca,b,2 Sk(xk)=yk,(k=0,1,n)3 Sk(x)在每个小区间在每个小区间xk,xk+1上是上是k次式，次式，则称则

29、称Sk(x)为为分段分段k次式次式.第46页，此课件共80页哦3分段线性插值分段线性插值 设给定设给定 f(x)函数值函数值(xi,yi),i=0,1,n,求在分划求在分划 ：ax0 x1xnb下的一次式下的一次式 S1(x)，满足条件满足条件 S1(xi)=yi,i=0,1,n 由定义可知由定义可知 S1(x)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1上可表示为上可表示为或表示为或表示为式中式中hi=xi+1-xi,而而 0(x)=1-x，1(x)=x第47页，此课件共80页哦在每个小区间在每个小区间xi,xi+1上有估计式上有估计式而而所以所以定理定理5当当 f(x)C2a,b且且x a,b时

30、，有估计式时，有估计式由此得知，由此得知，S1(x)在在a,b上一致收敛到上一致收敛到f(x).第48页，此课件共80页哦 习题习题29对函数对函数 解解xi+1/2f(xi+1/2)S(xi+1/2)相对误差相对误差0.51.52.53.54.50.750000.033650.800000.307690.137930.075470.047060.350000.150000.079410.048640.137500.055200.062500.05520进行分段线性插值。进行分段线性插值。第49页，此课件共80页哦4分段三次分段三次Hermite插值插值若在节点若在节点xk(k=0,1,n)上

31、除已知函数值上除已知函数值 yk 外还已知导数值外还已知导数值 ,就可构造一个导数连续的分段插值函数就可构造一个导数连续的分段插值函数S3(x)，它满足：，它满足：1 S3(x)C1a,b,2 S3(xi)=yi,3 S3(x)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1上是三次多项式，上是三次多项式，根据两点三次根据两点三次Hermite插值多项式可知，插值多项式可知，S3(x)在每个小区间在每个小区间 xi,xi+1上可表示为上可表示为第50页，此课件共80页哦定理定理6 若若 f(x)C 4a,b,且且x a,b,有估计式有估计式 分段插值法的利弊分段插值法的利弊 分段插值法是一种显式算法，其

32、算法简单，而且收敛性能得分段插值法是一种显式算法，其算法简单，而且收敛性能得到保证，到保证，只要节点间距充分小，分段插值法总能获得所要求的精度，而不会象高次只要节点间距充分小，分段插值法总能获得所要求的精度，而不会象高次插值那样发生龙格现象。插值那样发生龙格现象。分段插值法的另一个重要特点是它的局部性质，如果修改某个数分段插值法的另一个重要特点是它的局部性质，如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响，而代数插值却会据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响，而代数插值却会影响整个插值区间。影响整个插值区间。我们看到，和分段线性插值相比较，分段三次我们看到，和分段线性插值相比

33、较，分段三次Hermite插值虽然改插值虽然改善了精度，但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息善了精度，但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息“太多太多”，同时它的光滑性也不高（只有连续的一阶导数）。改进这种插值以克服其缺点，同时它的光滑性也不高（只有连续的一阶导数）。改进这种插值以克服其缺点，这就导致了所谓三次样条插值。这就导致了所谓三次样条插值。第51页，此课件共80页哦1 1 1 1 样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念2 2 2 2 三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值3 3 3 3 计算步骤与例题计算步骤与例题计算步骤与例题计算步骤

34、与例题1.8 1.8 样条插值样条插值第52页，此课件共80页哦1 1 1 1 样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念样条函数的概念 样条插值的思想：逐段选取适当的低次多项式，按一定的光滑性要样条插值的思想：逐段选取适当的低次多项式，按一定的光滑性要求连接起来构成插值函数。求连接起来构成插值函数。定义定义若函数若函数Sk(x)Ck-1a,b,且在每个小区间且在每个小区间xj,xj+1上是上是k次多项式，次多项式，其中其中 a=x0 x1xn=b是给定节点，则称是给定节点，则称Sk(x)是节点是节点x0,x1,x2,xn上的上的k次样条函数次样条函数.若在节点若在节点xj上给定函数值上给定函

35、数值yj=f(xj)(j=0,1,n),并成立并成立 S(xj)=yj,j=0,1,n.(*).则称则称 Sk(x)为为三次样条插值函数三次样条插值函数.称称xoy平面上的点平面上的点(xi,yi)(i=0,1,n)为为样点样点。第53页，此课件共80页哦第54页，此课件共80页哦 从定义知从定义知S3(x)在每个小区间在每个小区间xj,xj+1上是三次多项式，要确定上是三次多项式，要确定4个待定系数，给定个待定系数，给定n+1个样点个样点(xi,yi)(i=0,1,n)，共有，共有n个小区间，需个小区间，需要确定要确定4n叁数。在定义中，已指定了叁数。在定义中，已指定了3n-3个条件，即个条

36、件，即所以，一般需在区间所以，一般需在区间a,b端点端点a=x0,b=xn补充补充2个个边界条件边界条件。再加上再加上共有共有4n-2个条件个条件2 2 2 2 三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值第55页，此课件共80页哦常用的常用的边界条件边界条件有三种有三种:1已知两端的一阶导数值，即已知两端的一阶导数值，即 2两两端的二阶导数值已知，即端的二阶导数值已知，即特别取特别取时称为时称为自然边界条件自然边界条件。3当当f(x)是以是以 xn-x0为周期的周期函数时，则要求为周期的周期函数时，则要求S3(x)也是周期也是周期函数，函数，端点要满足端点要满足 这样确定的样条函数这样确

37、定的样条函数S3(x)，称为称为周期样条函数周期样条函数。第56页，此课件共80页哦若假定若假定在节点在节点xj处的值为处的值为由分段三次由分段三次Hermite插值，可得插值，可得及取边界条件及取边界条件 显然这样造出来的三次多项式显然这样造出来的三次多项式S3(x)不论叁数不论叁数mj如何选取，均可直如何选取，均可直接验证所有节点接验证所有节点不但连续，而且还有连续不但连续，而且还有连续一阶导数，于是问题就归结到如何选取叁数一阶导数，于是问题就归结到如何选取叁数mj使使S3(x)在每个节点上也有连在每个节点上也有连续的二阶导数。为此我们利用条件续的二阶导数。为此我们利用条件来确定来确定mj

38、。第57页，此课件共80页哦对对 S3(x)求二阶导数得求二阶导数得于是在每个小区间于是在每个小区间xi,xi+1的左右两端分别有的左右两端分别有第58页，此课件共80页哦为了保证为了保证S(x)在节点在节点 xi处有连续的二阶导数，应有处有连续的二阶导数，应有即即令令整理化简为整理化简为第59页，此课件共80页哦如采用第一种如采用第一种边界条件边界条件m1,m1,mn-1 的的n-1个方程，称为个方程，称为基本方程组基本方程组方程为只含方程为只含第60页，此课件共80页哦其系数矩阵其系数矩阵它的系数矩阵的非零元素集中在三条对角线上而被称作是它的系数矩阵的非零元素集中在三条对角线上而被称作是三

39、对角三对角型型的，求解这类方程组的有效方法是追赶法。的，求解这类方程组的有效方法是追赶法。第61页，此课件共80页哦求三次样条插值函数的计算步骤求三次样条插值函数的计算步骤归纳为归纳为:步步1输入初始数据输入初始数据3计算步骤与例题计算步骤与例题步步2i从从0到到n-1计算计算步步3i从从1到到n-1计算计算步步4用追赶法解三对角方程求出用追赶法解三对角方程求出mi（i=1,n-1)步步5计算计算S3(x)在若干点上的值，并打印结果。在若干点上的值，并打印结果。第62页，此课件共80页哦第63页，此课件共80页哦x0123y0000端点条件为：端点条件为：m0=1，m3=0.求三次样条插值函数

40、的分段表达式，并求求三次样条插值函数的分段表达式，并求f(1.5)。求求m1,m2 的方程组形为的方程组形为方程组化为方程组化为解得解得例例给定函数表给定函数表 解解 第64页，此课件共80页哦利用公式利用公式求得三次样条函数如下：求得三次样条函数如下：因为因为1.5 1,2,所以所以 第65页，此课件共80页哦 例例 给定区间给定区间0,3上上3个点的函数值个点的函数值 f(0)=0,f(1)=2,f(3)=4,试求数试求数 a,b,c,d,使函数使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值函数。为给定点上的三次样条插值函数。解解设设 根据定义，由根据定义，由得得d=0，故，故则则由由 得得由由

41、得得由由得得由由得得求得求得 第66页，此课件共80页哦即即第67页，此课件共80页哦1.9 1.9 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法1 1 1 1 直线拟合直线拟合直线拟合直线拟合2 2 2 2 多项式拟合多项式拟合多项式拟合多项式拟合3 3 3 3 观测数据的修匀观测数据的修匀观测数据的修匀观测数据的修匀第68页，此课件共80页哦曲线拟合的问题曲线拟合的问题：设函数设函数y=f(x)在在n个互异点的观测数据为个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数求一个简单的近似函数(x)，使之，使之“最好最好”地逼近地逼近f(x)，而不，而不必满足插值原则。称函数必满足插值原则。称函数y=(x)

42、为为经验公式经验公式或或拟合曲线拟合曲线。xix1x2.xnyiy1y2.yn通常选择函数类型的做法：描出通常选择函数类型的做法：描出散点图散点图，再根据专业知，再根据专业知识和经验来选择识和经验来选择(x)的类型。的类型。第69页，此课件共80页哦例子：例子：（注意它与插值法的不同）（注意它与插值法的不同）第70页，此课件共80页哦1.直线拟合直线拟合.假设所给数据点假设所给数据点(xi,yi)(i=1,2,N)的分布大致成一直线，我们求作的分布大致成一直线，我们求作拟合直线拟合直线尽可能地从所给数据点尽可能地从所给数据点(xi,yi)附近通过，就是说，近似地成立附近通过，就是说，近似地成立

43、这里，数据点的数目这里，数据点的数目N2，因此，拟合直线的构造，本质上是个解超因此，拟合直线的构造，本质上是个解超定（矛盾）方程组的代数问题定（矛盾）方程组的代数问题设设表示按拟合直线表示按拟合直线 y=a+bx求得的近似值，两者之差求得的近似值，两者之差称为称为残差残差。显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。第71页，此课件共80页哦构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一：构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一：分析以上三种准则分析以上三种准则,(1)和和(2)两种由于含有绝对值运算两种由于含有绝对值运算,不便于实际应用不便于实际应用,最常用的是准则

44、最常用的是准则(3)称作曲线拟合的称作曲线拟合的最小二乘法最小二乘法.按最小二乘法按最小二乘法,作直线拟合应使总误差作直线拟合应使总误差(1)使残差的最大绝对值为最小使残差的最大绝对值为最小:(2)使残差的绝对值之和为最小使残差的绝对值之和为最小:(3)使残差的平方和为最小使残差的平方和为最小:为最小为最小.即解方程组即解方程组第72页，此课件共80页哦正则方程组为正则方程组为 例例已已知实验数据表，试用最小二乘法求经验公式拟合这组数据。知实验数据表，试用最小二乘法求经验公式拟合这组数据。解解作散点图，容易看出数据点接近一条直作散点图，容易看出数据点接近一条直线，因此设经验公式为线，因此设经验

45、公式为2112840y2468x正则方程组为正则方程组为解得解得得经验公式为得经验公式为y=-12.5+6.55xN=4,第73页，此课件共80页哦2多项式拟合多项式拟合 使总误差使总误差 假设所给数据点假设所给数据点(xi,yi)(i=1,2,N)的分布大致成一曲线，我们求作的分布大致成一曲线，我们求作m(mN)次多项式次多项式为最小为最小.即解方程组即解方程组得得即有即有这个关于系数这个关于系数aj的线性方程组通常称为的线性方程组通常称为正则方程组。正则方程组。（*）第74页，此课件共80页哦(1)由已知数据画出函数粗略的图形由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式散点图，确定拟

46、合多项式的次数的次数m;(2)列表计算列表计算(3)写出正则方程组，求出写出正则方程组，求出 a0,a1,am;(4)写出拟合多项式写出拟合多项式多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：定理定理7设节点设节点x0,x1,xn 互异互异,则正则方程组则正则方程组(*)有唯一解有唯一解.定理定理8设设aj(j=0,1,m)为正则方程组为正则方程组(*)的解的解,则则必为满足最小二乘的拟合多项式必为满足最小二乘的拟合多项式.第75页，此课件共80页哦 例例 已知一组观测数据表，试用最小二已知一组观测数据表，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。乘法求一个多项式拟

47、合这组数据。解解作散点图，可以看出这些点接近一条抛物线，因此作散点图，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式为设所求的多项式为其正则方程组为其正则方程组为得得c1=4.7143,c2=-2.7857,c3=0.50005 2 1 1 2 3 y0 1 2 3 4 5x第76页，此课件共80页哦在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正则方程组往往在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正则方程组往往是是病态的病态的。而且。而且(1)正则方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；正则方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；(2)拟合节点分布的区间拟合节点分布的区间x0,xN偏离原点越

48、远偏离原点越远,病态越严重；病态越严重；(3)xi(i=0,1,N)的数量级相差越大的数量级相差越大,病态越严重病态越严重.为了克服以上缺点为了克服以上缺点,一般采用一般采用(1)尽量少做高次拟合尽量少做高次拟合,而作不同的分段低次拟合而作不同的分段低次拟合;(2)不使用原始节点做拟合，将节点分布区间做平移，使新的节不使用原始节点做拟合，将节点分布区间做平移，使新的节点关于原点对称。点关于原点对称。(3)对平移后的节点做压缩或扩张处理对平移后的节点做压缩或扩张处理.第77页，此课件共80页哦3.观测数据的修匀观测数据的修匀 设已给一批实测数据设已给一批实测数据(xi,yi)(i=1,2,N),

49、由于测量方法和实验环境由于测量方法和实验环境的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓数据修匀数据修匀（或称（或称数据平滑数据平滑）问题。）问题。考察相邻的考察相邻的5个节点个节点x-2 x-1x0 x1x2假设它们是等距的，记节点间距为假设它们是等距的，记节点间距为h，作变换，作变换t=(x-x0)/h，即，即x=x0+ht，则有则有ti=(xi-x0)/h=i(i=-2,-2,0,1,2)。这样就可以对变量这样就可以对变量t进行讨论，这进行讨论，这时所给数据如下表时所给数据如下表 y-2 y-1 y0 y1 y2yi-2-1012ti第78页，此课件共80页哦 设用二项式拟合这组数据设用二项式拟合这组数据其正则方程组为其正则方程组为解出解出a，b，c，即可导出在节点即可导出在节点x=0的五点二次修匀公式的五点二次修匀公式第79页，此课件共80页哦x012345y521123第80页，此课件共80页哦