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1、空间中直线与直线的位置关系本讲稿第一页，共二十八页问题问题1：在平面几何中，在平面几何中，两直线的位置关两直线的位置关系如何？系如何？一一.课题引入课题引入本讲稿第二页，共二十八页问题问题2：空间中没有公共点的直线一定平行：空间中没有公共点的直线一定平行吗？吗？问题问题3：没有公共点的两直线一定在同一平：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？面内吗？P49观察长方体观察长方体本讲稿第三页，共二十八页1.1.定义定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线直线。没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面平行平行相交相交异面异面位置关系位
2、置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面二二.新课讲解新课讲解:本讲稿第四页，共二十八页2.异面直线的画法异面直线的画法:Abababa本讲稿第五页，共二十八页练习练习:两条异面直线指：两条异面直线指：A、空间中不相交的两条直线；空间中不相交的两条直线；B B、某平面内的一条直线和这平面外的直线；、某平面内的一条直线和这平面外的直线；C C、分别在不同平面内的两条直线；、分别在不同平面内的两条直线；D D、不在同一平面内的两条直线。、不在同一平面内的两条直线。E E、不同在任一平面内的两条直线；、不同在任一平面内的两条直线；F、空间没有公共点的两条直线、空间没有公共点的两条直线G、既不相交，
3、又不平行的两条直线、既不相交，又不平行的两条直线 不同在任一平面内的两条直线不同在任一平面内的两条直线既不相交，又不平行的两条直线既不相交，又不平行的两条直线本讲稿第六页，共二十八页3 3、异面直线的判定定理、异面直线的判定定理l连接平面内一点与平面外一点的直线，连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面和这个平面内不经过该点的直线是异面直线直线.ABb判定异面直线的推理模式判定异面直线的推理模式本讲稿第七页，共二十八页例例1 如图，已知直线MN,PQ是异面直线求证：MP和NQ是异面直线思考：如果直线思考：如果直线 是异面直线，直线是异面直线，直线 与直线与直线 分别
4、相交，分别相交，则直线则直线 与直线与直线 也异面吗？也异面吗？多样性多样性反正法反正法本讲稿第八页，共二十八页4.空间两直线平行的判定公理空间两直线平行的判定公理公理公理4、平行于同、平行于同一条直线的两直一条直线的两直线互相平行。线互相平行。若若 a/b,c/b则则 a/c.空间平行线的传递性空间平行线的传递性本讲稿第九页，共二十八页4.空间四边形空间四边形(1)概念概念:顺次连接不共面的四点顺次连接不共面的四点A、B、C、D，所，所 组成的四边形。组成的四边形。(2)空间四边形的对角线：空间四边形的对角线：AC、BD.ACDB本讲稿第十页，共二十八页 例例2 已知四边形已知四边形ABCD
5、是空间四边形（四个顶点不共面的四边形叫是空间四边形（四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形），做空间四边形），E、F,G,H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证的中点，求证:四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.CABDEFGH探究探究:在加上条件在加上条件AC=BD,那么四边形那么四边形EFGH为什为什么图形么图形?本讲稿第十一页，共二十八页练习练习 如图如图 ，是平面是平面外的一点外的一点分别是分别是的重心，求证：的重心，求证：ADBMNHGC证明：连结证明：连结分别交分别交于于 连结连结 分别是分别是的重心，的重心，分别是分别是的中点，的中点，又，又，由公理，由公理4 4
6、知知本讲稿第十二页，共二十八页4.定理定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。两个角相等或互补。本讲稿第十三页，共二十八页1空间两直线平行是指它们（空间两直线平行是指它们（）A无交点无交点 B共面且无交点共面且无交点 C和同一条直线垂直和同一条直线垂直 D以上都不对以上都不对练习练习 2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行平行,并且方向相同并且方向相同,则这两个角（则这两个角（）A相等相等 B互补互补 C相等或互补相等或互补 D既不相等也不互补既不相等也不互补 3一条直线与两条
7、平行线中的一条是异面直线，一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（那么它与另一条的位置关系是（）A相交相交 B异面异面 C平行平行 D相交或异面相交或异面BAD本讲稿第十四页，共二十八页 4如图，如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与是长方体的一条棱，这个长方体中与 异面的棱共有（异面的棱共有（）A3条条 B4条条 C5条条 D6条条B本讲稿第十五页，共二十八页一、复习回顾一、复习回顾1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系有且只有三种有且只有三种从有无公共点的角度看：从有无公共点的角度看：有且仅有一个公共点的有且仅有一个公共点的-相交直线相交直线在同
8、一平面内的在同一平面内的-相交直线相交直线平行直线平行直线从是否共面的角度看：从是否共面的角度看：没有公共点的没有公共点的-平行直线平行直线异面直线异面直线不同在不同在任何任何一平面内的一平面内的-异面直线异面直线2.1.2.2异面直线及其所成的角异面直线及其所成的角本讲稿第十六页，共二十八页2 2、公理、公理4 4平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行证明证明线线平行线线平行的推理模式：的推理模式：acbcab本讲稿第十七页，共二十八页3 3、等角定理、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边分别分别平行平行并且并且方向相同方向相
9、同，那么这两个角相等，那么这两个角相等.如果两条相交直线和另两条相交直线如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行分别平行，那么这两组直线所成的那么这两组直线所成的锐角（或直角）锐角（或直角）相等相等.ADEADE推论：推论：本讲稿第十八页，共二十八页新课：新课：异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b,经过空间任一点经过空间任一点O,分分别作直线别作直线a a，b b，把，把a与与b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角).baO 如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条
10、直那么就说两条直线互相垂直线互相垂直.记为记为本讲稿第十九页，共二十八页例例1在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线A1B是异面是异面直线？直线？“垂直”包括“相交垂直相交垂直”和和“异面垂直”哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线CC1垂直？垂直？A1ABB1CDC1D1应用举例应用举例A1B与与CC1所成的角是多少度？所成的角是多少度？A1B1与与CC1所成的角是多少度？所成的角是多少度？本讲稿第二十页，共二十八页例例2在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求下列各组下列各组异面直线所成的角异面直线所成的
11、角1)A1B与与B1CA1ABB1CDC1D1点评：点评：一般步骤一般步骤1)*取点取点O，平移成两条相交直线平移成两条相交直线2)认定认定“相交直线相交直线和和所成所成的锐角或直角就是所求异面的锐角或直角就是所求异面直线直线和和所成的角所成的角”3)*构造三角形，并在这个三角形中求角构造三角形，并在这个三角形中求角4)下结论下结论应用举例应用举例本讲稿第二十一页，共二十八页二二.巩固提高巩固提高例例2在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求下列各组下列各组异面直线所成的角的余弦值异面直线所成的角的余弦值2)AE与与BF(E,F分别是所在棱的中点分别是所在棱的中
12、点)A1ABB1CDC1D1点评：点评：*点点O常取在两条异面直线常取在两条异面直线其中一条上，或者取几何其中一条上，或者取几何体中有特殊性的点（如线体中有特殊性的点（如线段的端点、中点或其他分段的端点、中点或其他分点等）点等）EFG本讲稿第二十二页，共二十八页例例2在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求下列各组下列各组异面直线所成的角的余弦值异面直线所成的角的余弦值2)AE与与BF(E,F分别是所在棱的中点分别是所在棱的中点)A1ABB1CDC1D1点评：点评：*在三角形内求角多用在三角形内求角多用余余弦定理弦定理，同时要关注三，同时要关注三角形的特征以简化
13、运算角形的特征以简化运算 EF*当求得的角是钝角时，应取其补角作为当求得的角是钝角时，应取其补角作为异面异面直线所成的角直线所成的角应用举例应用举例本讲稿第二十三页，共二十八页例例2在棱长为在棱长为a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求下列各组下列各组异面直线所成的角异面直线所成的角3)体对角线体对角线BD1与与面对角线面对角线ACA1ABB1CDC1D1点评：点评：*平移方法：平移方法：1)借助于平行四边形平移借助于平行四边形平移2)借助于三角形的中位线借助于三角形的中位线平移平移*平移形式：平移形式：1)平移一条、平移两条平移一条、平移两条2)形内平移、形外平移形内平移、
14、形外平移OE应用举例应用举例本讲稿第二十四页，共二十八页A1B1C1D1ABCDE1F1EF本讲稿第二十五页，共二十八页例例3在棱长为在棱长为a的正四面体的正四面体A-BCD中，中，E,F分别是所在棱的中点分别是所在棱的中点求求下列各组下列各组异面直线所成的角异面直线所成的角2)AE和和CFABCDEF1)对棱对棱AB与与CDOK应用举例应用举例本讲稿第二十六页，共二十八页作业作业:补充补充:1.E,F分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD边边AB,CD的中点的中点,且且EF=5,BC=6,AD=8,求异面直线求异面直线AD与与EF所成角的余所成角的余弦值弦值?CBADEF2.已知三棱锥已知
15、三棱锥A-BCD的各棱长均为的各棱长均为2,E为为AD的中点的中点,F为为BC的中点的中点,(1)求异面直线求异面直线BE和直线和直线AC所成角的余弦值所成角的余弦值3.长方体长方体ABCD-A BC D中中,AB=BC=4,AA=6,(1)E、F分别为分别为BB、CC的中点的中点,求求AE、BF所成角的余弦值所成角的余弦值(2)求求BD与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值本讲稿第二十七页，共二十八页四、小结：空间二直线的位置关系四、小结：空间二直线的位置关系 （平行、相交、异面）（平行、相交、异面）平行公平行公理理，等角定理，等角定理.五五.作业作业P51 A 3、4（做在书上）（做在书上）做在作业本上：做在作业本上：P51 A组组 6 P78A组组 4，5补充作业补充作业:已知四边形已知四边形ABCD是空间四边是空间四边形，形，E、H分别是分别是AB、AD的中点，的中点，F、G分别是分别是边边CB、CD上的点，且上的点，且求证：四边形求证：四边形EFGH是梯形。是梯形。ADGFHEBC本讲稿第二十八页，共二十八页