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1、一、空间向量的数乘：2、空间向量的数乘的性质（1）当时，与同向（2）当时，与反向1 1、定义：实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘（3）当时，第1页/共20页2、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：（1）数乘分配律1：（2）数乘分配律2：第2页/共20页1 1、定义：、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，行或重合，则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中的共线向量 （或平行向量）（或平行向量）第3页/共20页2 2、空间中共线向量的性质 （1 1）共线（2 2）非零共线向量的传递性：）非零共线
2、向量的传递性：（3 3）零向量与任一向量共线，）零向量与任一向量共线，第4页/共20页（4 4）空间共线向量定理：对空间任意两个向量对空间任意两个向量有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线第5页/共20页OABPa若P P为A,BA,B中点,则向量参数表示式推论推论:如果 为经过已知点A A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,O,点P P在直线 上的充要条件是存在实数t,t,满足等式 其中向量
3、叫做直线 的方向向量.若 则A、B、P三点共线。第6页/共20页312共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。第7页/共20页 1、如果向量e e1 1和e e2 2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1,e2有什么关系?如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a a1 1，a a2 2，使 a a1 e1 a2 e22、平面向量基本定
4、理复习：第8页/共20页 （1）必要性：必要性：如果向量c c与向量a a，b b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使c cx a ay b b3 3、共面向量定理：、共面向量定理：如果两个向量如果两个向量a a，b b不共线不共线，则向量，则向量c c与向量与向量a a，b b 共面的充要条件是，存在共面的充要条件是，存在唯一唯一的一对实数的一对实数 x x，y y，使，使 c cx x a ay y b b证明：（2）充分性：充分性：如果c 满足关系式c cxa ayb，则可选定一点O，作OAxa，OBACyb，于是OCOAA
5、Cxaybc，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面BACOc第9页/共20页共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线,向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)第10页/共20页第11页/共20页得证得证.为什么?第12页/共20页判定空间中三点A A、B B、C C共线的常用方法：（1 1）只需得到存在实数 ，使（2 2）对
6、空间任意点O O，存在实数t,t,使特别地，当t=1/2t=1/2时，此时，点C C恰为线段ABAB的中点第13页/共20页例例1、已知、已知A，B，C三点不共线，对平面三点不共线，对平面ABC外的外的任一点任一点O，确定在下列条件下，确定在下列条件下，M是否与是否与A，B，C三三点共面：点共面：第14页/共20页例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量 ,求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.第15页/共20页例2(课本例)已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量 求证：四点E、F、G、H共面；平面AC/平面EG.证明：四边形ABCD为（）（）代入所以
7、 E、F、G、H共面。第16页/共20页1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若 ，则P、A、B共线(B)若 ，则P是AB的中点(C)若 ，则P、A、B不共线(D)若 ，则P、A、B共线2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()第17页/共20页1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面第18页/共20页AMCGDB例3:3:如图,已知空间四边形ABCDABCD中，向量若M M为BCBC的中点，G G为BCDBCD的重心，试用 表示下列向量：第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页