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1、关于空间向量的数乘运算公开课第一页，讲稿共二十五页哦回回 顾顾aOb结论：结论：空间任意两个向量都可空间任意两个向量都可平移平移到同一个平面内，到同一个平面内，成为成为同一平面内的向量同一平面内的向量.因此凡是因此凡是涉及涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论关结论仍适用仍适用于它们于它们.ba第二页，讲稿共二十五页哦一、空间向量的数乘：一、空间向量的数乘：2、空间向量的数乘的性质、空间向量的数乘的性质（1）当）当时，时，与与同向同向（2）当）当时，时，与与反向反向1 1、定义：、定义：实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然是一个向仍然是
2、一个向量，称为空间向量的数乘量，称为空间向量的数乘（3）当）当时，时，第三页，讲稿共二十五页哦3、空间向量的数乘的运算律、空间向量的数乘的运算律（3）数乘结合律：）数乘结合律：（1）数乘分配律）数乘分配律1：（2）数乘分配律）数乘分配律2：第四页，讲稿共二十五页哦1 1、定义：、定义：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，合，则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量二、空间中的共线向量二、空间中的共线向量 （或平行向量）（或平行向量）（3 3）非零共线向量的传递性：）非零共线向量的传递性：（1 1）零向量与任一向量共线，）零向量与任
3、一向量共线，第五页，讲稿共二十五页哦第六页，讲稿共二十五页哦（4 4）空间共线向量定理：）空间共线向量定理：对空间任意两个向量对空间任意两个向量有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使使思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线第七页，讲稿共二十五页哦OABPa若若P P为为A,BA,B中点中点,则则向量参数表示式向量参数表示式推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向且平行已知非零向量量 的直线的直线,那么对任一点那么对任
4、一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充上的充要条件是存在实数要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量.若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。第八页，讲稿共二十五页哦A A、B B、P P三点共线三点共线结论结论1:1:第九页，讲稿共二十五页哦三、共面向量三、共面向量:1.1.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做叫做共面向量共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的，但空间任意，但空间任意三个向量三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac第十页，讲稿共二十五页哦由由平面向量
5、基本定理平面向量基本定理知，如果知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，那么对是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量 ，有且只有一，有且只有一对实数对实数 ，使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，共面，那么可将三共面，那么可将三个向量平移到同一平面个向量平移到同一平面 ，则有，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？第十一页，讲稿共二十五页哦反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如果，如果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 ,有什么位置关系？有什么位置关系？C第十二页
6、，讲稿共二十五页哦2.2.共面向量定理：共面向量定理：如果两个向量如果两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在有序实内的充要条件是存在有序实数对数对x,yx,y使使C第十三页，讲稿共二十五页哦对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-x-yxyC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC的向量表示式，空间中任意平的向量表示式，空间中任意平面由空面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定.由此可判断
7、空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面第十四页，讲稿共二十五页哦共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线,向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)P P、A A、B B、C C 四点共面四点共面结论结论2:2:第十五页，讲稿共二十五页哦解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P P、A A、B B、C C四点共面，只要证
8、明存四点共面，只要证明存在有序实数对（在有序实数对（x,yx,y）使得）使得例例1.1.已知已知A A、B B、C C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC外的任一点外的任一点O O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P P是否与是否与A A、B B、C C一定共面？一定共面？第十六页，讲稿共二十五页哦第十七页，讲稿共二十五页哦练习练习3.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都
9、共面空间的任意三个向量都共面第十八页，讲稿共二十五页哦例例2(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.第十九页，讲稿共二十五页哦例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.证明：证明：四边形四边形ABCD为为（）（）代入）代入所以所以 E、F、G、H共面。共面。第二十页，讲稿共二十五页哦例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，
10、从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：由由知知第二十一页，讲稿共二十五页哦AMCGDB例例3:3:如图如图,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M为为BCBC的中点，的中点，G G为为BCDBCD的重心，试用的重心，试用 表示下列向表示下列向量：量：第二十二页，讲稿共二十五页哦例例4 4平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示
11、MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN第二十三页，讲稿共二十五页哦解解:连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例4 4平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.ABCDA1B1D1C1MN第二十四页，讲稿共二十五页哦感谢大家观看第二十五页，讲稿共二十五页哦