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1、第四章第四章 测量误差的基础知识测量误差的基础知识长安大学公路学院长安大学公路学院测量学（第五版）4-1 测量误差概述测量误差概述光轴（视准轴 一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因产生测量误差的原因产生测量误差的原因,概括起来有以下三个方面概括起来有以下三个方面:1.1.观测者的原因观测者的原因 由于观测者的感觉器官的辨别能力存在一定的局限性由于观测者的感觉器官的辨别能力存在一定的局限性,所以所以,测量仪器的测量仪器的安置、瞄准、读数等操作都会产生误差。例如安置、瞄准、读数等操作都会产生误差。例如,在厘米分划的水准标尺上在厘米分划的水准标尺上,毫米数只能估读而得毫米数只能估读而得,但但
2、1mm1mm以下的估读误差是完全有可能发生的。此外以下的估读误差是完全有可能发生的。此外,观观测者的技术水平和工作态度也会给观测成果带来不同程度的影响。测者的技术水平和工作态度也会给观测成果带来不同程度的影响。4-1 测量误差概述测量误差概述2.2.测量仪器的原因测量仪器的原因测量工作是需要利用特制的仪器、工具或传感器等进行的测量工作是需要利用特制的仪器、工具或传感器等进行的,而每一种测而每一种测量仪器都只具有一定限度的精确度量仪器都只具有一定限度的精确度,导致测量结果受到一定的影响。例导致测量结果受到一定的影响。例如如,测角仪器的度盘分划误差可能达到测角仪器的度盘分划误差可能达到3,3,由此
3、使所测的角度产生误差。由此使所测的角度产生误差。另外另外,仪器制造或结构上的不完善使得仪器本身也具有一定的误差仪器制造或结构上的不完善使得仪器本身也具有一定的误差,如如水准仪的视准轴不平行于水准管轴水准仪的视准轴不平行于水准管轴,经纬仪的水平度盘可能偏心、度盘经纬仪的水平度盘可能偏心、度盘刻划不均匀等刻划不均匀等,也会引起测量误差。也会引起测量误差。4-1 测量误差概述测量误差概述3.3.外界环境的影响外界环境的影响 测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、湿度、风力、气压、日光照射、测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、湿度、风力、气压、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化大气
4、折光、烟雾等客观情况时刻在变化,这些都会使测量结果产生误差。例如这些都会使测量结果产生误差。例如,温温度变化使钢尺产生伸缩度变化使钢尺产生伸缩,风吹和日光照射使仪器的安置不稳定风吹和日光照射使仪器的安置不稳定,大气折光使望远镜大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。的瞄准产生偏差等。上上 观测者、测量仪器和外界环境观测者、测量仪器和外界环境是测量工作得以进行的必要条件是测量工作得以进行的必要条件,通常把这三个方通常把这三个方面综合起湿度来称为观测条件。这些观测条件都有其本身的局限性并影响着测量面综合起湿度来称为观测条件。这些观测条件都有其本身的局限性并影响着测量精度精度,因此因此,测量成果中的误差是
5、不可避免的测量成果中的误差是不可避免的,误差的大小决定了观测成果的精度。误差的大小决定了观测成果的精度。凡是观测条件相同的同类观测称为凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测等精度观测”;”;观测条件不同的同类观测则称观测条件不同的同类观测则称为为“不等精度观测不等精度观测”,”,这对于观测值的成果处理应有所区别。这对于观测值的成果处理应有所区别。的瞄准产生偏差等。外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。4-1 测量误差概述测量误差概述二、测量误差的分类及其处理方法二、测量误差的分类及其处理方法镜光轴（视准轴 1.系系统误统误差差 在相同的在相同的观测观测条件下条件下,对对某一量某一量进进行
6、一系列的行一系列的观测观测,如果出如果出现现的的误误差差在符号和数在符号和数值值上都相同上都相同,或按一定的或按一定的规规律律变变化化,这这种种误误差称差称为为“系系统误统误差差”。例如。例如,用名用名义长义长度度为为30m而而实际实际正确正确长长度度为为30.004m的的钢钢卷尺量卷尺量距距,每量一尺段就有使距离量短了每量一尺段就有使距离量短了0.004m的的误误差差,其量距其量距误误差的符号不差的符号不变变,且与所量距离的且与所量距离的长长度成正比。因此度成正比。因此,系系统误统误差具有差具有积积累性。累性。4-1 测量误差概述测量误差概述用系统误差对观测值的影响就可以被改正,或者用一定的
7、测量方法加以抵消或削弱。具体措施主要有:(1)用一定的观测方法加以消除。例如定的观测方法加以消除。例如,水准测量时水准测量时,将水准仪安置在距前、后水准尺等距离将水准仪安置在距前、后水准尺等距离的地方可以消除的地方可以消除i i角误差和地球曲率对高差的影响角误差和地球曲率对高差的影响,通过通过“后、前、前、后后、前、前、后”的观测顺序可的观测顺序可以减弱水准仪下沉对高差的影响以减弱水准仪下沉对高差的影响;在用经纬仪进行水平角观测时在用经纬仪进行水平角观测时,通过盘左盘右观测取平均通过盘左盘右观测取平均值的方法可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、水平度盘偏心误差的影响。值的方法可以消除经纬仪的
8、横轴误差、视准轴误差、水平度盘偏心误差的影响。(2)(2)用计算的方法加以改正。例如用计算的方法加以改正。例如,在精密钢尺量距中加入尺长改正、温度改正和高差改正在精密钢尺量距中加入尺长改正、温度改正和高差改正;在三角高程测量中加入球气差改正在三角高程测量中加入球气差改正;光电测距中的仪器加常数和乘常数改正等。光电测距中的仪器加常数和乘常数改正等。(3)(3)将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便于计算改正将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便于计算改正,又不能通过一定的观测又不能通过一定的观测方法加以消除方法加以消除,如经纬仪的竖轴误差对水平角观测结果的影响。对于这类系统误差如
9、经纬仪的竖轴误差对水平角观测结果的影响。对于这类系统误差,则只能则只能按照规范的要求精确检校测量仪器按照规范的要求精确检校测量仪器,将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围之内。的范围之内。4-1 测量误差概述测量误差概述2.偶然偶然误误差差 在相同的在相同的观测观测条件下条件下,对对某一量某一量进进行一系列的行一系列的观测观测,如果如果误误差在数差在数值值大小和符大小和符号上都表号上都表现现出偶然性出偶然性,即从即从单单个个误误差看差看,该该系列系列误误差的大小和符号没有差的大小和符号没有规规律性律性,但就大量但就大量误误差的差的总总
10、体而言体而言,具有一定的具有一定的统计规统计规律律,这这种种误误差称差称为为偶然偶然误误差。差。偶然偶然误误差是由偶然因素引起的差是由偶然因素引起的,不是不是观测观测者所能控制的一种者所能控制的一种误误差差,它不可避免它不可避免,也无法用也无法用计计算的方法或用一定的算的方法或用一定的观测观测方法方法简单简单地加以消除地加以消除,只能根据偶然只能根据偶然误误差的特性来合理地差的特性来合理地处处理理观测观测数据数据,以减小偶然以减小偶然误误差差对测对测量成果的影响。量成果的影响。3.粗差粗差 4-1 测量误差概述测量误差概述三、三、测测量量误误差的差的处处理原理原则则 为为了防止粗差的了防止粗差
11、的产产生和提高生和提高观测观测成果的精度成果的精度,在在测测量工作中量工作中,一般需要一般需要进进行多于必要行多于必要观测观测数的数的观测观测,称称为为“多余多余观测观测”。由于由于观测值观测值中的偶然中的偶然误误差不可避免差不可避免,有了多余有了多余观测观测,观测值观测值之之间间必然必然产产生生矛盾矛盾（往返差、不符往返差、不符值值、闭闭合差合差）,根据差根据差值值的大小的大小,可以可以评评定定测测量的精量的精度。差度。差值值如果大到一定程度如果大到一定程度,就就认为观测值误认为观测值误差超限差超限,应应予重予重测测（返工返工）;差差值值如果不超限如果不超限,则则按偶然按偶然误误差的差的规规
12、律加以律加以处处理理,称称为闭为闭合差的合差的调调整整,以以求得最可靠的数求得最可靠的数值值。4-1 测量误差概述测量误差概述 测测量平差量平差,即即测测量数据的量数据的调调整整。就就是依据某种最是依据某种最优优化准化准则则,由一系列由一系列带带有有观测误观测误差的差的观测值观测值,求定未知量的最求定未知量的最优优估估值值及其精度及其精度的理的理论论和方法。和方法。4-2 偶然误差的特性偶然误差的特性真值：客观存在的值真值：客观存在的值“X X”（通常为未知数）（通常为未知数）真误差：真值与观测值之差，即：真误差真误差：真值与观测值之差，即：真误差=观测值观测值-真值真值i i=l=li i-
13、X(i=1,2,n)X(i=1,2,n)例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于180，按下式算得三角形各次观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。4-2 偶然误差的特性偶然误差的特性4-2 偶然误差的特性偶然误差的特性误差区间误差区间负误差正误差个数个数相对个数个数个数相对个数0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.09
14、20.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6以上00.00000.000总和1810.5051770.495偶然误差的四个特性：（1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即4-2 偶然
15、误差的特性偶然误差的特性 采4-2 偶然误差的特性偶然误差的特性 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图中，每一条形的面积表示频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率误差出现在该区间的频率k/nk/n，而所有，而所有条形的总面积等于条形的总面积等于1 1。频率直方图的中间高、两边低，并向频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于横轴逐渐逼近，对称于y y轴。轴。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律。形状，表现出偶然误差的普遍规律。用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示
16、的偶然误差统计：当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小(d d 0)0)时，各矩形时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲线正态分布曲线”，又称为，又称为“高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。所以偶然误差具有正态分布的特性。4-2 偶然误差的特性偶然误差的特性采4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标 精确度精确度是准确度与精密度的总称。是准确度与精密度的总称。对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来对基本排除系统误差，而以偶然误差
17、为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。一、精度的含义一、精度的含义二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标1.1.方差和中误差方差和中误差设对某一未知量设对某一未知量x x进行了进行了n n次等精度观测次等精度观测,其观测值为其观测值为l l1 1、l l2 2、l ln n,相相应的真误差为应的真误差为1 1、2 2、n n,则定义该组观测值的方差则定义该组观测值的方差为：为：4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标 4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标次序第一组观测值第二组观测值观测值真误差()-2()观测值真误差()2()
18、11800003-3918000000021800002-241795959+1131795958+241800007-74941795956+4161800002-2451800001-111800001-1161800000001795959+1171800004-4161795952+86481795957+3918000000091795958+241795957+39101800003-391800001-11|2472 24130中误差m1=27m2=36【例4-2】对10个三角形的内角进行了两组观测,根据两组观测值中的偶然误差(三角形的角度闭合差真误差),分别计算其中误差,结果列
19、于表4-2中。采4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标 由此可见由此可见,第二组观测值的中误差第二组观测值的中误差m2大于第一组观测值的中误差大于第一组观测值的中误差m1。虽然这两组观测值的误差绝对值之和是相等的。虽然这两组观测值的误差绝对值之和是相等的,可是在第二组观可是在第二组观测值中出现了较大的误差测值中出现了较大的误差(-7,+8),因此因此,计算出来的中误差就较大计算出来的中误差就较大,或者相对来说其精度较低。或者相对来说其精度较低。两组测量的正态分布曲线如右图两组测量的正态分布曲线如右图目前目前,在测量数据处理中在测量数据处理中,统一采用统一采用 中误差中误差作为衡量精度的指标。作为
20、衡量精度的指标。2.极限极限误误差差(限限)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3；P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标3.相对中误差相对中误差4-3 衡量精度的指标衡量精度的指标在距离测量中,常用往返测量结果的较差率来进行检核。较差率为:较差率是真误差的相对误差,它只反映了往返
21、测的符合程度,以资检核。显然,较差率越小,观测结果越可靠。一、观测值的函数一、观测值的函数采4-4 误差传播误差传播定律定律观测值的观测值的函数函数：需要知道的量不是直接观测值,而是根据一些直接观测值用一定的数学公式(函数关系)计算而得,因此称这些量为观测值的函数。由于观测值中含有误差,使函数受其影响也含有误差,称之为“误差传播误差传播”。阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律,称为误差误差传播定律。传播定律。一、观测值的函数一、观测值的函数采4-4 误差传播误差传播定律定律1.和差和差函数函数Z=x1+x2+xn例如,两点间的水平距离D分为n段来丈量,各段量得的长度分别为d1、
22、d2、dn,则 D=d1+d2+dn,即距离D是各分段观测值d1、d2、dn之和一、观测值的函数一、观测值的函数采4-4 误差传播误差传播定律定律2.倍数倍数函数函数Z=kx例如,用尺子在11000的地形图上量得两点间的距离d,其相应的实地距离 D=1000d,则D是d的倍数函数。一、观测值的函数一、观测值的函数采4-4 误差传播误差传播定律定律一、观测值的函数一、观测值的函数采4-4 误差传播误差传播定律定律4.一般函数一般函数凡是在变量之间用数学运算符乘、除、乘方、开方、三角函数等组成的函数称为非线性函数。线性函数和非线性函数总称为一般函数。其一般形式为:Z=f(x1,x2,xn)二、误差
23、传播定律二、误差传播定律采4-4 误差传播误差传播定律定律二、误差传播定律二、误差传播定律采4-4 误差传播误差传播定律定律二、误差传播定律二、误差传播定律采4-4 误差传播误差传播定律定律二、误差传播定律二、误差传播定律采4-4 误差传播误差传播定律定律三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用采4-4 误差传播误差传播定律定律三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用采4-4 误差传播误差传播定律定律【例4-5】设对某个三角形进行角度测量,观测了其中的两个内角和,测角中误差分别为m=3.0,m=4.0,现按公式=180-求得其第三个内角,试计算角的中误差m。解:=180-进行全微分,可
24、得:三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用采4-4 误差传播误差传播定律定律三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用采4-4 误差传播误差传播定律定律设A、B两点间的距离、方位角分别为:D=360.440m0.030m,=60243016则有：mx=0.028m,my=0.030m,MAB=0.041m函数名称函数式中误差传播公式和差函数Z=x1x2xn倍数函数Z=kxmZ=km线性函数Z=k1x1k2x2knxn4-4 误差传播误差传播定律定律三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用采几种几种简单函数式的中函数式的中误差差传播公式播公式表表一、算术平均值一、算术平均值采4-5等
25、精度直接观测平差等精度直接观测平差设在相同的观测条件下对某量进行了n次同精度观测,其真值为X,观测值为l1、l2、ln,相应的真误差为1、2、n,则:相加同除以n于是LX,即当观测次数n无限多时,观测值的算术平均值就趋向于未知量的真值。二、观测值的改正数二、观测值的改正数采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差相加三、精度评定三、精度评定采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差i+vi=L-X相加L-X=求和三、精度评定三、精度评定采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差1.等精度观测值的等精度观测值的中误差中误差观测值的改正数vi计算观测值的中误差：二、观测值的改正数二、观测值的
26、改正数采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差2.算术平均值的算术平均值的中误差中误差对某量进行了n次等精度观测,其观测值为li(i=1,2,n),观测值中误差为m,其算术平均值(最或是值)为L。则有:按误差传播定律,可算得该观测值的算术平均值的中误差为:即:二、观测值的改正数二、观测值的改正数采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差2.算术平均值的算术平均值的中误差中误差【例4-7】设对某角进行了5次等精度观测,观测结果如表4-4所示,试求其观测值的中误差及算术平均值的中误差。二、观测值的改正数二、观测值的改正数采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差2.算术平均值的算术平均值的
27、中误差中误差【例4-7】设对某角进行了5次等精度观测,观测结果如表4-4所示,试求其观测值的中误差及算术平均值的中误差。解:根据表中数据,可算得观测值的中误差为：算术平均值的中误差为：算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。因此算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。因此,增加观测次数可以提高增加观测次数可以提高算术平均值的精度算术平均值的精度。二、观测值的改正数二、观测值的改正数采4-5等精度直接观测平差等精度直接观测平差2.算术平均值的算术平均值的中误差中误差u观测次数观测次数n与算术平均值与算术平均值中误差中误差M的关系的关系当观测次数达到了一定数值后当观测次数达到了一定数值后(
28、如如10次以后次以后),随着观测次数的增加随着观测次数的增加,中误差中误差减小得愈来愈慢。此时减小得愈来愈慢。此时,再增加观测次数再增加观测次数,工作量增加了不少工作量增加了不少,但提高精度但提高精度的效果就不太明显了的效果就不太明显了。因此因此,测量一般精度的角测量一般精度的角,要求观测要求观测13个测回个测回;对于中等精度要求的角对于中等精度要求的角,观观测测36个测回即可个测回即可;只有对精度要求很高的角只有对精度要求很高的角,才观测才观测924个测回。个测回。一、权一、权采4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差1.权的定义权的定义设有一组不等精度观测值为li,相应的中误差为mi
29、(i=1,2,n),选定任一大于零的常数,定义权Pi为:Pi为观测值li的权。对一组已知中误差的观测值而言,选定一个值,就有一组对应的权，各观测值权之间的比例关系:4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差一、一、权权 2.权权的的性质性质采二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差1.等精度观测值的算术平均值的权等精度观测值的算术平均值的权二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差1.等精度观测值的算术平均值的权等精度观测值的算术平均值的权二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方
30、法4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差2.权在水准测量中的应用权在水准测量中的应用二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差3.权在距离丈量中的应用权在距离丈量中的应用三、加权算术平均值三、加权算术平均值4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差对某一未知的观测量,L1、L2、Ln为一组不等精度的观测值,其中误差为m1、m2、mn,其权为P1、P2、Pn，其加权算术平均值x,作为该观测量的最或是值:四、加权算术平均值的中误差四、加权算术平均值的中误差4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差不等精度观测值的加权算术平均值的计算公式可以写成线性函数的形式:根据线性函数的中误差传播公式,可得加权算术平均值的中误差:五、单位权中误差的计算五、单位权中误差的计算4-6不等不等精度直接观测平差精度直接观测平差对于同一观测量,若有n个不等精度观测值,则单位权中误差:求和真误差i代替中误差mi,真值已知的情况下，单位权中误差公式用观测值改正值vi代替真误差i,真值未知的情况下，单位权中误差公式第五章第五章 教学内容回顾教学内容回顾v1.测量误差概述v2.偶然误差的特性v3.衡量精度的指标v4.误差传播定律v5.等精度直接观测平差v6.不等精度直接观测平差