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1、第四章第四章 三角形三角形第第1616课三角形的基础知识课三角形的基础知识1.三角形的边、角关系：三角形的边、角关系：(1)三角形任意两边的和_第三边，三角形任意两边 的差_第三边；(2)三角形三个内角的和等于_.直角三角形的两个锐角_(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_一、考点知识一、考点知识 2.等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两个底角_(简写成“_ ”) (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高_，简称_ (3)是轴对称图形，有_条对称轴(腰与底边不等的等腰 三角形)大于小于180互余和相等等边对等角互相重合三线合一一3等腰三角形的判定：
2、等腰三角形的判定： 有_边相等的三角形是等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_(简写成“_ ”)4等边三角形的性质：等边三角形的性质： (1)等边三角形的三条边都_三个内角都_，并且每一个内角都等于_.(2)是轴对称图形，有_条对称轴(3)等边三角形的中线、角平分线、高各有_条5等边三角形的判定：等边三角形的判定： 三边都_的三角形是等边三角形三个角都_的三角形是等边三角形；有一个角是60 的_是等边三角形两相等等角对等边相等相等相等相等相等相等相等等腰三角形【例1】如图，在ABC中，A70，ABAC，CD平分ACB.求ADC的度数【考点考点1】等边对等角，三角形的内角
3、与外角等边对等角，三角形的内角与外角二、例题与变式二、例题与变式解：在ABC中，A=70，AB=AC，B=ACB= =55.又CD平分ACB，DCB=ACD=27.5.ADC为BCD的外角， ADC=B+DCB=82.5180702【变式变式1】如图，在ABC中， ABAC, BDBC， 若A40，求ABD的度数解：在ABC中，A=40，AB=AC，ABC=C= =70.又BD=BC，BDC=C=70.BDC为BAD的外角, ABD=BDCA=30.180402【考点考点2】等边三角形的性质等边三角形的性质【例例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，过顶点B作直线BFDE
4、，边BC与BF所夹锐角CBF20，求的度数解：ABC是等边三角形，ABC=A =60.DBF=60+20=80. BFDE， ADE=DBF =80.在ADE中，AED=1808060=40， =AED =40.【变式变式2】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分 别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE， 交BC的延长线于点F.(1)求F的度数； (2)若CD2，求DF的长解：（1）ABC是等边三角形， B=60. DEAB，EDC=B=60 EFDE，DEF=90. F=90EDC=30. （2）ACB=60，EDC=60， EDC是等边三角形.ED=DC=2. DEF=90，F=
5、30， DF=2DE=4.【考点考点3】等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一【例3】如图，在ABC中，A90，ABAC 4，D为BC边的中点，E，F分别在AB，AC上， 且DEDF.求AEAF的值解：连接AD，ABAC，D为BC中点，ADBC.A90，ABAC， BC45.BAD45，CAD45.ADBDCD.EDF90，EDAADF90，又由ADBC,得BDEADE90. BDEADF.在BDE和ADF中，BDAF45，BDAD，BDEADF， BDEADF.BEAF. AEAFAEBEAB4.【变式变式3】如图，在ABC中，ACB90，ACBC，M是AB上一点求证：AM2BM22CM2.解
6、： 过C作CDAB于点D， ACB90，ACBC，CDAB， AB45，ACDBCD45. AACD，BBCD. ADBD，BDCD.即ADBDCD. CDAB，DM2+CD2=CM2. 在RtCMD中， AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2.A组 1. 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果底边是4 cm时，那么腰是_cm； (2)如果腰是8 cm时，那么底边是_cm； (3)如果一边的长为7 cm时，那么另外两边的长分别是_三、过关训练三、过关训练 3如图，在ABC中，A36，ABAC，BD是ABC的角平分线若在边AB上截取B
7、EBC，连接DE，则图中等腰三角形共有() A2个 B3个 C4个 D5个2有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数最多有()A1个B2个C3个D4个DC7cm，4cm或 5.5cm，5.5cm274如图，在ABC中，A40，点D是ABC和ACB的平分线的交点求BDC的度数解：D点是ABC和ACB的平分线的交点， CBD= ABC, BCD= ACB. ABC+ACB=18040=140， DBC+DCB=70. BDC=18070=110.12125如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，若B35，ACE60.求A的度数 解：
8、ACE=60，CE是ABC的外角ACD的平分线， ACD=2ACE=120. ACD=A+B，B=35， A=ACDB=85.B组6如图，已知ABCD，BCDE.若A20， C120，求AED的度数解：延长DE交AB于点F，ABCDC+B=180 C120，B=60 BCDE，AFD=B=60. AED=A+AFD=80.7.如图，在ABC中，ABAC，点O在ABC内，OBOC.求证：AOBC.解：延长AO交BC于点D，ABAC，OBOC，OAOA， ABOACO. BAOCAO， 即BADCAD. ADBC，即AOBC. 8如图，在ABC中，点O是AC边上的一点过点O作直线MNBC，设MN交
9、BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于F.(1)求证：EOFO；(2)若CE4，CF3，求EF的长解：（1）CE是ACB的平分线，1=2.MNBC，1=3.2=3.OE=OC.同理可得OF=OC.OE=OF.（2）CE平分ACB，CF平分ACD，1=2，4=5.2+4=90.ECF=2+4=90. 在RtECF中，由勾股定理,得 EF= .2222435CECFC组9如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.(1)求点B的坐标；(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与O重合)时，ABQ为定值解：（1）过点B作BCy轴于点C， A（0，2），AOB为等边三角形， AB=OB=OA=2，BAO=60. BC= ，OC=AC=1，即B（ ，1）.（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性， PAQ=OAB=60，PAO=QAB， 在APO和AQB中，APAQ, PAOQAB, AOAB， APOAQB（SAS）.ABQ=AOP=90总成立. 当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ABQ为定值90.33