数学振动理论基础.pptx

《数学振动理论基础.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学振动理论基础.pptx（79页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、一、振动系统由刚性物块、线性弹簧和线性阻尼组成的振动系统称为线性振动系统。振动：是物体在其平衡位置附近所做的来回往复运动，描述最基本参数是频率和加速度。第1页/共79页一、振动系统动力学是研究系统动态行为的学科。包括：动力学是研究系统动态行为的学科。包括：动力学是研究系统动态行为的学科。包括：动力学是研究系统动态行为的学科。包括：已知振源和系统振动特性，求系统响应（输出）；已知振源和系统振动特性，求系统响应（输出）；已知振源和系统振动特性，求系统响应（输出）；已知振源和系统振动特性，求系统响应（输出）；已知系统振动特性和响应，求系统激励（输入）；已知系统振动特性和响应，求系统激励（输入）；已知

2、系统振动特性和响应，求系统激励（输入）；已知系统振动特性和响应，求系统激励（输入）；已知系统的输入和输出，确定系统动态特性（模态分析，已知系统的输入和输出，确定系统动态特性（模态分析，已知系统的输入和输出，确定系统动态特性（模态分析，已知系统的输入和输出，确定系统动态特性（模态分析，系统识别）。系统识别）。系统识别）。系统识别）。阻尼：阻碍物体振动的因素，如空气的阻力，材料的内阻，物体之间的摩擦等。振动是由振动是由振动是由振动是由振源振源振源振源向系统输入信号，系统所作的向系统输入信号，系统所作的向系统输入信号，系统所作的向系统输入信号，系统所作的响应响应响应响应。外因外因激励（振源）激励（振

3、源）内因内因系统振动系统振动第2页/共79页一、振动系统按系统自由度分单自由度系统振动 多自由度系统振动 按微分方程分线性振动 非线性振动按系统输入类型分自由振动 强迫振动（受迫振动）自激振动按输出规律分周期振动 随机振动第3页/共79页二、单自由度系统的自由振动 自由振动自由振动 给弹簧一个初始位移后，如果没有外力干扰，给弹簧一个初始位移后，如果没有外力干扰，它按自身的特性进行的有规律的往复运动。它按自身的特性进行的有规律的往复运动。第4页/共79页二、单自由度系统的自由振动作用在质量块上的弹性力总是指向平衡位置（恢复力）。若没有能量损耗，振动时离开平衡位置的最大位移不变，称之为振幅。自由振

4、动具有周期性。从某一位置开始运动，总是在一个固定的时间 内回到开始位置，这一时间 叫做振动的周期，单位为秒。为了描述振动的快慢程度，引入振动的频率 f，它定义为单位时间内振动的次数，单位为赫兹（Hz）。频率 f 和周期 互为倒数，即：第5页/共79页二、单自由度系统的自由振动1.单自由度系统无阻尼自由振动力学模型设弹簧的原长为L0，弹簧静变形运动方程的建立考虑到得：由图（d）可知，质量块受到的合力为：第6页/共79页1.单自由度系统无阻尼自由振动 运动方程的建立运动方程的建立弹簧总变形弹簧总变形物体所受物体所受弹性力弹性力二、单自由度系统的自由振动力学模型设弹簧的原长为L0，弹簧静 变形第7页

5、/共79页由牛顿第二定理得：第8页/共79页位移方程的求解第9页/共79页二、单自由度系统的自由振动无阻尼自由振动的固有频率和固有圆频率物块振动一次经历的时间称为周期。根据正弦函数的性质，时间每经历一个周期，正弦函数的相位角增加2，故：因为所以，周期为频率为第10页/共79页二、单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统自由振动的速度与加速度方程对位移方程 求一次导数，得系统自由振动的速度方程为对位移方程 求二次导数，得系统自由振动的加速度方程为第11页/共79页二、单自由度系统的自由振动例：已知一包装件的产品质量m=10 kg，缓冲垫等效弹性系数为k=100000 N/m，将其简化为无阻尼单自

6、由度模型，给缓冲垫一个初始位移x0=-0.01m，使之从静止开始振动，求固有频率和位移方程。解：由公式 得系统固有圆频率为：固有频率为：（Hz）第12页/共79页二、单自由度系统的自由振动又已知初始条件为：x0=-0.01m，v0=0。得：因此运动方程为：第13页/共79页建立运动方程质量块m作自由振动，在任一瞬时t，作用在质量块上的力有：重力 mg弹性力 阻力 二、单自由度系统的自由振动2、单自由度系统有阻尼自由振动由于包装缓冲系统都是有阻尼的，所以，分析有阻尼单自由度系统的自由振动具有十分重要的作用。力学模型根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：第14页/共79页二、单自由度系统的自由

7、振动将方程简化后得：令上式中 ，就得到有阻尼自由振动的运动微分方程的标准形式式中：是质量块弹簧系统的固有圆频率；n 是衰减系数，其单位为s-1 第15页/共79页二、单自由度系统的自由振动设特解为代入上式得：根据微分方程解方程得 n，称为大阻尼。质量块受初干扰离开平衡位置后又缓慢地回到平衡位置，不可能振动；n=，称为临界阻尼。n，称为小阻尼。质量块系统受干扰产生振动。因此我们只讨论这种情况位移方程的求解第16页/共79页二、单自由度系统的自由振动当n 时，设，故将上式代入 中得：将它按欧拉公式展开，得到两个特解：将这两个特解线性组合，即得通解为第17页/共79页二、单自由度系统的自由振动由上式

8、可以看出：小阻尼n 时质量块系统的运动规律为正弦波形；因为-1 1，所以质量块系统的位移被限制在两条曲线 和 之间；质量块系统的振动随时间的增加而逐渐衰减，是衰减振动。第18页/共79页二、单自由度系统的自由振动设初始条件为：，由此可确定常数A和 。计算公式为：，得：衰减振动虽然不是真正地周期性运动，但它仍具有等时性，因此质量块来回往复一次所经历的时间仍然称为周期，用 表示第19页/共79页二、单自由度系统的自由振动阻尼对自由振动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动的振幅分别为 和 ，则前后两次的振幅比为：d 称为振幅系数，由上式得：因为d 1，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减

9、。第20页/共79页二、单自由度系统的自由振动例：已知一包装件产品质量m=10kg，缓冲垫等效弹性系数为k=100000N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为 。给缓冲垫一个初始位移x0=0.01m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系统的固有圆频率为：得无阻尼固有圆频率为：阻尼系数为：振动周期为：第21页/共79页二、单自由度系统的自由振动又已知初始条件为：x0=0.01m，v0=0得得由公式 得位移方程为：因为 ，所以振幅系数为：有即要求第22页/共79页3、支座运动系统的自由振动设支座受到初干扰后，系统产生振动，但支座静止

10、不动，这时支座受到的初位移为 ，初速度为 。令 表示质量块对支座的相对运动，即弹性力得运动方程为二、单自由度系统的自由振动将 代入上式中得当 t=0 时，得振动位移方程为第23页/共79页二、单自由度系统的自由振动所以振幅为 初相位为因为 、均为负号，所以初相位应取代入位移方程得因为 ，所以得由此可见，支座运动系统的自由振动也是简谐振动，自由振动开始时质量块的运动方向总是与支座激励的方向相反。第24页/共79页作业1.已知一包装件的产品质量m=6 kg，缓冲垫等效弹性系数为k=600 N/m，作无阻尼自由振动，给一个初始位移 0.04 m，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方程和最大加速度

11、。2.已知一包装件产品质量 m=8 kg，缓冲垫等效弹性系数为k=500 N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为 。当其作有阻尼自由振动时初始振幅为 A=0.02 m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。第25页/共79页三、支座系统的受迫振动受迫振动：有周期性变化的外力（激振力）在振动过程中一直作用在系统上，则系统会产生响应。这种由激振力引起的振动就是受迫振动。涉及的内容有：1、支座系统的无阻尼受迫振动2、支座系统的有阻尼受迫振动第26页/共79页式中：ym 为最大简谐激振振幅；p 是简谐激振圆频率。在系统振动的任一瞬时，质量块所

12、受的弹性力为：三、支座系统的受迫振动1、支座系统的无阻尼受迫振动建立力学模型：运动方程：设支座系统作持续的简谐运动：根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：第27页/共79页上式的解是由两部分组成的：式中：x1 为与运动方程对应的齐次方程的通解；x2 为运动方程的特解。三、支座系统的受迫振动令 化简得运动方程为：运动方程的齐次方程是：若加上初始条件，就成为单自由度系统的无阻尼自由振动方程，它的通解就是位移方程的求解第28页/共79页三、支座系统的受迫振动将上式代入质量块运动微分方程得化简得所以运动微分方程的特解为：根据实验知道，系统的响应频率与激振频率相等。因此设第29页/共79页三、支座系

13、统的受迫振动因此，运动微分方程的解（也就是位移方程）为：由于x1 是自由振动，在实际情况中会很快衰减，故稳态强迫振动的位移方程可写为：上式表明，系统在外部简谐力激励作用下的稳态强迫振动也是简谐运动，其频率与激励频率相同。振幅与系统本身及外部激励的性质有关，与运动的初始条件无关。第30页/共79页三、支座系统的受迫振动受迫振动的振幅放大系数振幅的大小反映系统振动的强弱，因此要推导振幅放大系数。系统响应圆频率与系统固有圆频率之比为：将 改写成令响应振幅与输入振幅之比为：则上式可写成如下形式：取为横坐标，为纵坐标，画出一条曲线，称为幅频函数。第31页/共79页三、支座系统的受迫振动强迫振动系统的响应

14、频率等于激振频率，都是 ；式 为放大系数，也叫幅频函数；放大系数中 表示激振频率与系统固有频率之比。当 时，这种现象叫共振，这时响应加速度也趋于无穷大，从而振动产生的动态力也趋于无穷大，所以一般振动破坏都发生在产生共振的时刻。第32页/共79页支座系统无阻尼受迫振动的加速度与速度激振输入的最大加速度为：响应的最大加速度为：所以响应最大加速度与输入最大加速度之比为：同理，响应速度与输入速度的关系为：三、支座系统的受迫振动第33页/共79页三、支座系统的受迫振动例：有一包装件，产品质量为m=1kg，衬垫的弹性系数为k=200N/m。将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为2.5Hz，最大输

15、入加速度为0.01g，求产品响应的最大位移和最大加速度值。解：包装件的固有频率为：已知f=2.5Hz，所以 放大系数为：式中负号表示输入与输出方向相反第34页/共79页三、支座系统的受迫振动最大响应加速度为：因为 ，所以最大位移为：第35页/共79页三、支座系统的受迫振动2、支座系统的有阻尼受迫振动建立力学模型：运动方程：设支座作持续的简谐运动：式中：为外部激励的最大振幅；是外部激励的振动圆频率。在系统振动的任一瞬时，物块所受的弹性力为：质量块所受的阻尼力为：根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：化简得：第36页/共79页三、支座系统的受迫振动为将上式等号的右边化简成一个正弦函数的形式，令

16、运动微分方程就化成：第37页/共79页三、支座系统的受迫振动再令运动微分方程又可化成：上式的解是由两部分组成的：相对应的齐次方程的通解是：由于阻尼的影响，上式很快衰减。是稳态的强迫振动的特解，设其为将其代入式 ，得第38页/共79页三、支座系统的受迫振动因为 可表示为将其代入本页最上面公式中式中化简得：第39页/共79页三、支座系统的受迫振动因为在振动的任一瞬时，上式都成立。所以 前的系数都应为 0。即：从而求得：第40页/共79页将式 代入式 ，就得到质量块稳态强迫振动的振幅公式：三、支座系统的受迫振动令 ，再将 代入得式中：xm 为质量块稳态强迫振动的振幅；为质量块稳态强迫振动对外部激励的

17、相位差。第41页/共79页三、支座系统的受迫振动同理将式可得到质量块稳态强迫振动的相位差的正切为：代入第42页/共79页三、支座系统的受迫振动支座受迫振动的放大系数与幅频函数令响应振幅与输入振幅之比为：系统响应圆频率与系统固有圆频率之比为：阻尼比为：于是系统的幅频函数为：为了便于分析，取 为参变量，取为横坐标，为纵坐标，绘出一系列不同 的 曲线，就是幅频特性曲线。第43页/共79页三、支座系统的受迫振动受迫振动的幅频特性曲线第44页/共79页三、支座系统的受迫振动由上图可看出如下规律：当=0 时，=1，即各条 曲线有共同的起点；当=时，又有=1，即各条 曲线相交于这个公共点。当0 时，1，且

18、曲线有最大值；当 较小而又接近于 1 时，系统会产生强烈的振动，这种现象称为共振。当 时，放大系数小于 1，并逐渐趋于 0，即激振频率越高系统响应振幅越小。所以对包装件来说，损坏基本都发生在低频区域。第45页/共79页三、支座系统的受迫振动为求共振时的放大系数，令 ，求导得：共振时的频率比为：将上式代入幅频函数中，就可求得max。当 不是很大时当 很小时（0.15）时，可近似取可见max随 的增加而减小，所以增加阻尼是降低共振振幅的主要措施。第46页/共79页三、支座系统的受迫振动相频曲线将 ，代入得：根据上式绘出曲线，称为相频特性曲线。在 较小的情况下，曲线在=1 时有突变，这一特征可用于测

19、试系统的共振频率。时，曲线无共同的渐近线；在 1的区间内，值越大，值 越小。第47页/共79页加速度曲线支座在简谐激励下的运动规律为所以支座的输入加速度为质量块在简谐激励下的稳态振动为所以质量块的响应加速度为三、支座系统的受迫振动所以第48页/共79页三、支座系统的受迫振动例：设有一个包装件系统，其固有频率f=30Hz，阻尼比 ，试求这个系统发生共振时的激振频率；已知外部激励振幅为0.8cm，试求系统共振时的振幅；当阻尼比 时，再次求系统共振时的振幅。解：系统发生共振时的频率比为 系统发生共振时的激振频率为当 时，共振时的放大系数为第49页/共79页三、支座系统的受迫振动系统共振时的振幅为当

20、时，系统共振时的放大系数为系统共振时的振幅为由此可见，阻尼能有效地衰减振动的幅度。第50页/共79页1.试根据无阻尼受迫振动放大系数与关系图分析：当 1、=1、1这三种情况下放大系数的特点。2.试根据有阻尼受迫振动的幅频特性曲线分析：当=0、0 、=、这四种情况下幅频特性曲线的特点。3.有一包装件，产品质量为m=2 kg，衬垫的弹性系数为k=600N/m。将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为3Hz，最大输入加速度为0.02g，求产品响应的最大加速度值。作业第51页/共79页作业1.一个包装件系统，其固有频率 f=20Hz，阻尼比 ，试求这个系统发生共振时的激振频率；已知外部激励振幅

21、为0.5cm，试求系统共振时的振幅；当阻尼比 时，再次求系统共振时的振幅。2.有一包装件，产品质量为m=4 kg，衬垫的弹性系数为k=800N/m。阻尼比为 ，试求这个系统共振时的激振频率；当外部激励振幅为0.2cm时，求系统共振时的振幅。3.单自由度系统的自由振动和强迫振动有什么区别？4.将一个固有频率为 fm=16 Hz，阻尼比为 的有阻尼弹簧质量系统固定在作简谐振动的振动台上，其激振频率为 f =12 Hz，最大加速度为1g，求：振动台运动的振幅 ym；放大系数；产品响应最大位移 xm；产品响应最大加速度 。第52页/共79页四、二自由度系统的自由振动建立力学模型质量块1：静变形 弹性力

22、质量块2：静变形 弹性力所以得运动方程质量块1质量块2因为第53页/共79页四、二自由度系统的自由振动系统固有频率设方程组的特解为代入方程组中得将上式换成矩阵形式A1、A2有非零解的必要条件是第54页/共79页四、二自由度系统的自由振动按线性方程解得解上式得由上式可以看出：系统的固有频率完全取决于系统的弹性和惯性，与初干扰无关，因此系统有两个固有频率 、；设 ，所以称 为第一固有频率，为第二固有频率。第55页/共79页四、二自由度系统的自由振动系统的主振型将方程组改写成然后将 、分别代入式中，并设 和 为两个振幅之比，得第56页/共79页四、二自由度系统的自由振动由此可以看出：和 的性质与 和

23、 相同，因此称为系统的主振型；当系统以 振动时，两个振幅之比必等于 ；当系统以 振动时，两个振幅之比必等于 。系统的振幅与初相位两个主振型是方程组 的两个特解，其组合就是通解，所以得第57页/共79页对通解方程组求导，得两质量块的速度方程组当 t=0 时，所以，通解方程组可改写为速度方程组可改写为四、二自由度系统的自由振动第58页/共79页解得的振幅必须满足 的条件，由此可得二自由度系统自由振动的振幅和初相位。四、二自由度系统的自由振动二自由度系统的运动规律为：二自由度系统有两个固有频率，每个固有频率都对应有一个主振型，每个主振型都有确定的振幅比；一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的简谐

24、振动的叠加，叠加后就不再是简谐振动，也不是周期运动。第59页/共79页四、二自由度系统的自由振动例 设一个二自由度系统，k1=k2=k，m1=m2=m，当 t=0时，x1=x2=0，试分析这个系统的自由振动。解：求出系统的两个固有频率求系统的两个主振型所以得第60页/共79页四、二自由度系统的自由振动求系统的振幅与初相位将前面求得的参数代入上面的方程组中，得第61页/共79页四、二自由度系统的自由振动求两质量块的运动规律运动波形如图所示第62页/共79页1、二自由度支座系统的无阻尼受迫振动建立力学模型激扰力的变形质量块1：静变形 弹性力 其中 所以得质量块2：静变形 弹性力 其中 ，所以得五、

25、二自由度系统的受迫振动第63页/共79页五、二自由度系统的受迫振动运动方程质量块1质量块2振幅与放大系数设方程组的特解为代入方程组中得第64页/共79页五、二自由度系统的受迫振动将上式换成矩阵形式设所以 的两个根也是系统的固有频率 、。故得第65页/共79页五、二自由度系统的受迫振动同理，设由此得系统中两质量块的振幅为第66页/共79页因为 、都是系统的固有频率，而 为激振频率，所以二自由度系统的幅频曲线方程用 、表示。五、二自由度系统的受迫振动设两质量块的放大系数为 、因为所以得第67页/共79页从图中可以看出：因为 ，所以当 p=0 时，H11，H21，系统处于平衡状态；当 和 时，这时出

26、现共振现象。由于系统的固有频率有两个，所以通常的两个共振区；当 时，H10，此时质量块1处于平衡，只有质量块2在振动，相当于一个单自由度系统的自由振动；当 p 后，H1、H2均趋于零，此区域为安全区。五、二自由度系统的受迫振动第68页/共79页2、二自由度支座系统的有阻尼受迫振动建立力学模型激扰力的变形质量块1：静变形 弹性力 阻力质量块2：静变形 弹性力 阻力五、二自由度系统的受迫振动第69页/共79页因为所以令代入上式得五、二自由度系统的受迫振动运动方程质量块1质量块2第70页/共79页五、二自由度系统的受迫振动令代入上式得所以得到运动方程的最终化简为稳态振幅与放大系数使用复指数函数替代原

27、函数进行计算，得到系统的稳态受迫振动的振幅为其中第71页/共79页五、二自由度系统的受迫振动解得稳态最大振幅为其中所以第72页/共79页将 、代入上面各式中得系统的两个放大系数为五、二自由度系统的受迫振动当 、，并取 时得到系统的幅频曲线如下图。第73页/共79页五、二自由度系统的受迫振动由下图可以看出：阻尼能减缓系统的振动，特别是对第二次共振，振幅更为明显；当 时，质量块1不再静止不动。第74页/共79页五、二自由度系统的受迫振动例：设一个有阻尼的二自由度系统，且取 ，试求 和 时质量块m1系统的放大系数H1。解：求出系统的两个固有频率已知 ，第75页/共79页五、二自由度系统的受迫振动将已知项代入H1式中得分子项为左分母项为第76页/共79页五、二自由度系统的受迫振动右分母项为当 时，代入式中得系统放大系数为第77页/共79页五、二自由度系统的受迫振动当 时，代入式中得系统放大系数为第78页/共79页感谢您的观看。第79页/共79页