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1、第七章 其它问题v一、奇偶性分析v二、推理问题第一节第一节 奇偶性分析奇偶性分析v问题问题7.1.17.1.1 7 7个学生围成一圈，依逆时针方向依次编个学生围成一圈，依逆时针方向依次编号为号为1 1，2 2，7 7号老师按下述规则叫号，设某一号老师按下述规则叫号，设某一次叫到第次叫到第k k（1k71k7）号，则下一次被叫到的是第）号，则下一次被叫到的是第k k号后面的第号后面的第k k个学生试说明不论第一次叫到哪一号，个学生试说明不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到至少有一个学生永远叫不到 v解：设第解：设第k k号学生后面被叫到的是第号学生后面被叫到的是第n n号学生，则号学生
2、，则 2k72k7时，时，n n2k2k；2k2k7 7时，时，n n2k-72k-7 故当故当k k7 7时，时，n n7,7,即除了第即除了第7 7号学生外号学生外,其余学生都其余学生都叫不到叫不到 当当k7k7时，时，2k 72k 7，2k-772k-77，所以第，所以第7 7号学生永远号学生永远叫不到叫不到 综上所述，说明不论第一次叫到哪一号，至少有一综上所述，说明不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到个学生永远叫不到 v问题问题7.1.27.1.2有七个杯口全部向上的杯子，每次将其有七个杯口全部向上的杯子，每次将其中四个同时中四个同时“翻转翻转”问能否经过这样有限多次的问能否
3、经过这样有限多次的“翻转翻转”使杯口全部向下？为什么？使杯口全部向下？为什么？v解：要把七个杯子翻得杯口向下，每个杯子要翻奇解：要把七个杯子翻得杯口向下，每个杯子要翻奇数次，而七个（奇数个）奇数的和仍是奇数，即不数次，而七个（奇数个）奇数的和仍是奇数，即不管怎么管怎么“翻转翻转”，七个杯子，七个杯子“翻转翻转”次数的总和是次数的总和是奇数奇数.v 但是，问题要求每次都是四个杯子同时但是，问题要求每次都是四个杯子同时“翻转翻转”,因此无论怎么因此无论怎么“翻转翻转”，最终杯子，最终杯子“翻转翻转”次次数总和一定是偶数这与上面所述数总和一定是偶数这与上面所述“翻转翻转”次数的次数的总和是奇数发生矛
4、盾总和是奇数发生矛盾v因此，按规定不可能经过有限多次的因此，按规定不可能经过有限多次的“翻转翻转”，使得七个杯子的杯口全部向下，使得七个杯子的杯口全部向下 v问题问题7.1.37.1.3在如图在如图49491 1所示的所示的“十字形十字形”图图中，已填入两个数字中，已填入两个数字1 1与与8 8问在其余的格子问在其余的格子中能否填满整数，使得横行任相邻二数左边中能否填满整数，使得横行任相邻二数左边减右边所得之差都相等，使得纵列任二相邻减右边所得之差都相等，使得纵列任二相邻二数下面减上面所得之差也都相等二数下面减上面所得之差也都相等分析：具有上述性质的一列数：分析：具有上述性质的一列数：a，ad
5、，a2d，a3d，无论无论a a的奇偶性如何，的奇偶性如何，a a与与a a2d2d的奇的奇偶性总相同设图中的横行与纵列偶性总相同设图中的横行与纵列相交处所填的数字为相交处所填的数字为p p，则根据分析，则根据分析中所指出的性质，中所指出的性质，p p与与8 8的奇偶性相的奇偶性相同，同，p p应为偶数，又应为偶数，又p p也应与也应与1 1的奇偶的奇偶性相同，性相同，p p应为奇数，于是发生矛盾应为奇数，于是发生矛盾v问题问题7.1.47.1.4设有一线段，设有一线段，A A点涂以红色，点涂以红色，B B点涂以蓝点涂以蓝色，在线段色，在线段ABAB中任选中任选1010个点，任意涂上红色或蓝色
6、，个点，任意涂上红色或蓝色，这样就构成了这样就构成了1111条小线段如果小线段的两个端点条小线段如果小线段的两个端点颜色不同，则称这小线段为颜色不同，则称这小线段为“甲等的甲等的”；如果两个；如果两个端点颜色相同，称为端点颜色相同，称为“乙等的乙等的”问问“甲等的甲等的”线线段的条数是奇数还是偶数？说明理由段的条数是奇数还是偶数？说明理由 分析：每增加一个点，不论涂什么颜色，分析：每增加一个点，不论涂什么颜色，“甲等的甲等的”线段增加的条数为线段增加的条数为0 0或或2 2 设增加设增加2 2的点数为的点数为n n，则增加，则增加0 0的点数为的点数为10n10n 1 12n2n00（10n1
7、0n）2n2n1 1 所以所以“甲等的甲等的”线段的条数是奇数线段的条数是奇数 v问题问题7.1.57.1.5甲、乙二人做游戏，先任意指定甲、乙二人做游戏，先任意指定5 5个整数个整数（允许有相同的）甲先把这（允许有相同的）甲先把这5 5个整数以任意的顺个整数以任意的顺序填在图序填在图49493 3中第一行的方格内，然后乙再将这中第一行的方格内，然后乙再将这5 5个数以任意的顺序填在第二行的方格内，最后将所个数以任意的顺序填在第二行的方格内，最后将所有同一列的两个数的差（共有有同一列的两个数的差（共有5 5个差）相乘约定：个差）相乘约定：如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜如果积为偶数，
8、算甲胜；如果积为奇数，算乙胜你能判断谁胜吗？你能判断谁胜吗？解：因为在解：因为在5 5个整数中，奇数的个数与偶数的个数个整数中，奇数的个数与偶数的个数是不相等的，所以每一列的两个数不可能奇偶性是不相等的，所以每一列的两个数不可能奇偶性都不相同（否则，这都不相同（否则，这5 5个整数中奇数的个数与偶数个整数中奇数的个数与偶数的个数相等，但这是不可能的），即至少有一列的个数相等，但这是不可能的），即至少有一列的两个数的奇偶性相同，这两个数的差是偶数的两个数的奇偶性相同，这两个数的差是偶数因此，所有同一列的两个数的差相乘的积为偶数，因此，所有同一列的两个数的差相乘的积为偶数，故甲必胜故甲必胜第二节第
9、二节 推理问题推理问题v问题问题7.2.17.2.1有有A A、B B、C C、D D、E E、F F六人坐在一张六人坐在一张圆桌周围打牌已知圆桌周围打牌已知B B与与A A相隔一人，并在相隔一人，并在A A的的右面；右面；D D坐在坐在E E的对面，的对面，C C与与F F相隔一人并坐在相隔一人并坐在F F的右面；的右面；F F与与E E不相邻你能从不相邻你能从A A开始按顺时针开始按顺时针方向排出六人的位置吗？方向排出六人的位置吗？分析：已知分析：已知B B与与A A相隔一人并坐在相隔一人并坐在A A的右面，便可定出的右面，便可定出B B的位置的位置D D坐在坐在E E的对面，则的对面，则
10、D D或或E E夹在夹在A A、B B两人之间如果两人之间如果D D夹在夹在A A、B B之间，之间，E E坐在坐在D D的对面，而的对面，而F F的位置只能在的位置只能在E E的左边或右边，的左边或右边，即即F F与与E E相邻，与题设矛盾，所以相邻，与题设矛盾，所以D D不能夹在不能夹在A A、B B之间如果之间如果E E夹在夹在A A、B B之间，之间，D D坐在对面，坐在对面，C C与与F F相隔一人并在相隔一人并在F F的右边，那的右边，那么么C C必在必在A A、D D之间，之间，F F在在B B的右边的右边综合上面的分析知，从综合上面的分析知，从A A开始，六人位置按顺时针排列为
11、开始，六人位置按顺时针排列为A A、C C、D D、F F、B B、E E v问题问题7.2.27.2.2某小学开田径运动会，其中一个项目是由某小学开田径运动会，其中一个项目是由5 5名运动员进行名运动员进行100100米短跑比赛赛后米短跑比赛赛后5 5名观众介绍了名观众介绍了这场比赛的结果：这场比赛的结果：v甲说：甲说：A A是第二名，是第二名，B B是第三名；是第三名；v乙说：乙说：C C是第三名，是第三名，D D是第五名；是第五名；v丙说：丙说：D D是第一名，是第一名，C C是第二名；是第二名；v丁说：丁说：A A是第二名，是第二名，E E是第四名；是第四名；v戊说：戊说：B B是第一名，是第一名，E E是第四名是第四名v他们最后都声明：他们最后都声明：“我的话只有一半靠得住！我的话只有一半靠得住！”问这问这5 5名运动员的名次究竟各是多少？名运动员的名次究竟各是多少？所以，所以，A A、B B、C C、D D、E E的名次依次分别为的名次依次分别为1 1、3 3、2 2、5 5、4 4