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1、两种初等分析方法两种初等分析方法第1页，共59页，编辑于2022年，星期三正式教学内容正式教学内容v数学建模课堂能力需求数学建模课堂能力需求数学建模没有高深的理论，但需要广博的知识数学建模没有高深的理论，但需要广博的知识成绩好的同学，不一定适合建模成绩好的同学，不一定适合建模学习数学建模需要想象力、创造力学习数学建模需要想象力、创造力模型好坏的唯一标准是实际问题的解决程度。模型好坏的唯一标准是实际问题的解决程度。第2页，共59页，编辑于2022年，星期三数学建模课堂与基础课课堂的差别数学建模课堂与基础课课堂的差别v基础课：基础课：不懂不懂老师讲授老师讲授80%懂了懂了练习巩固练习巩固收获：该知
2、识点的题目会做了收获：该知识点的题目会做了v数学建模课：数学建模课：门外汉门外汉介绍情况介绍情况发现一堆问题发现一堆问题发现自己有很多发现自己有很多不懂不懂课下查找资料自学课下查找资料自学 解决问题。解决问题。收获：解决了实际问题，自学了知识收获：解决了实际问题，自学了知识第3页，共59页，编辑于2022年，星期三v清华的学生清华的学生上一次课，需要上一次课，需要56倍上课时间去消化吸收。倍上课时间去消化吸收。没有统一的教材，所有学习资料都由学生自己搜索没有统一的教材，所有学习资料都由学生自己搜索每次留有大量的作业每次留有大量的作业作业不完成就不能完成学分，进一步不能毕业。作业不完成就不能完成
3、学分，进一步不能毕业。第4页，共59页，编辑于2022年，星期三v自己如何查找资料？自己如何查找资料？图书馆（基础知识）图书馆（基础知识）期刊数据库（维普，万方，知网）期刊数据库（维普，万方，知网）Google搜索搜索“如何下载期刊如何下载期刊”Google学术搜索学术搜索Google 关键词关键词+filetype：pdf（ppt，doc）找地方高校的同学找地方高校的同学建议：找到资料后可以放在网站大家共享！建议：找到资料后可以放在网站大家共享！第5页，共59页，编辑于2022年，星期三 量纲分析方法；量纲分析方法；案例分析：点热源的热扩散问题；案例分析：点热源的热扩散问题；集合分析方法；集
4、合分析方法；案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 第二章第二章 两种初等分析方法两种初等分析方法第6页，共59页，编辑于2022年，星期三v古希腊哲学家亚里士多德认为，重的物古希腊哲学家亚里士多德认为，重的物体比轻的物体下落的要快。体比轻的物体下落的要快。v15901590年将两个重量不同的球体从相同年将两个重量不同的球体从相同的高度同时扔下，结果两个铅球几乎的高度同时扔下，结果两个铅球几乎同时落地。同时落地。v用所学的物理知识解释原因？用所学的物理知识解释原因？v如何解释亚里士多德的结论？如何解释亚里士多德的结论？第7页，共59页，编辑于2022年，星期三v忘掉一切物
5、理知识，回到忘掉一切物理知识，回到15901590年！年！v怎样设计实验验证这一结论？怎样设计实验验证这一结论？V，m，h，g的关系是如何的？的关系是如何的？第8页，共59页，编辑于2022年，星期三v实验一实验一不同的物体从相同的高度落下，计算末速度。不同的物体从相同的高度落下，计算末速度。hv1mv第9页，共59页，编辑于2022年，星期三v实验二实验二相同的物体从不同的高度落下，计算末速度。相同的物体从不同的高度落下，计算末速度。h1h2h3v1v2v3hv第10页，共59页，编辑于2022年，星期三v，m，h，g的函数关系是如何的？的函数关系是如何的？v=V(m，h，g)?v =mhg
6、？v =m+hg？v =m/hg？有没有简便的方法判断是否正确？有没有简便的方法判断是否正确？第11页，共59页，编辑于2022年，星期三V m/sm kgh mg m/s2各变量的单位各变量的单位v =mhg？v =m+hg？v =m/hg？第12页，共59页，编辑于2022年，星期三结论结论单位错误的关系一定是错误的关系！单位错误的关系一定是错误的关系！单位正确的关系，不一定是正确的关系！单位正确的关系，不一定是正确的关系！此时如何解决问题？此时如何解决问题？第13页，共59页，编辑于2022年，星期三 第二章第二章 两种初等分析方法两种初等分析方法 用量纲分析法建立的数学模型一般用量纲分
7、析法建立的数学模型一般都有明确的物理意义或现实意义。都有明确的物理意义或现实意义。第14页，共59页，编辑于2022年，星期三v m/sm kgh mg m/s2v2 m2/s2hg m2/s2v2=hg?第15页，共59页，编辑于2022年，星期三More Difficult Example!空间点热源的热扩散问题空间点热源的热扩散问题第16页，共59页，编辑于2022年，星期三 引例：空间点热源的热扩散问题引例：空间点热源的热扩散问题 一、量纲分析方法一、量纲分析方法讨论：如何来刻画热扩散规律？如何来刻画热扩散规律？这些规律与那些因素有关？这些规律与那些因素有关？第17页，共59页，编辑于
8、2022年，星期三研究这个问题能做什么？研究这个问题能做什么？第18页，共59页，编辑于2022年，星期三研究这个问题能做什么？研究这个问题能做什么？指导你们买指导你们买CPUCPU风扇风扇哪种材料好，哪种形状好。哪种材料好，哪种形状好。指导核电站的热交换系统指导核电站的热交换系统钠的流动速度控制。钠的流动速度控制。第19页，共59页，编辑于2022年，星期三对于这个问题的定性描述对于这个问题的定性描述“铜的热传递性好，热很快就传导过来了。铜的热传递性好，热很快就传导过来了。”“水的比热容大，可以吸附更多的热量水的比热容大，可以吸附更多的热量”“泡沫塑料的隔热性好，热不能传出来。泡沫塑料的隔热
9、性好，热不能传出来。”如何定量描述这种规律？如何定量描述这种规律？需要研究哪些量之间的关系？需要研究哪些量之间的关系？第20页，共59页，编辑于2022年，星期三如果所有泵都停了，距离反应堆如果所有泵都停了，距离反应堆5m5m处的钠管的温度随时间处的钠管的温度随时间变化的规律是如何的？变化的规律是如何的？第21页，共59页，编辑于2022年，星期三 引例：空间点热源的热扩散问题引例：空间点热源的热扩散问题热量热量er时刻时刻t温度温度u 一、量纲分析方法一、量纲分析方法第22页，共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法 1、量纲、量纲232023年4月7日第23页，
10、共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法 1、量纲、量纲242023年4月7日第24页，共59页，编辑于2022年，星期三长度：l=时间：t=T常数:=例如，常用的基本量纲有：例如，常用的基本量纲有：M,L,T,1质量：m=MV,a,F,Pw?一、量纲分析方法一、量纲分析方法252023年4月7日第25页，共59页，编辑于2022年，星期三 用数学公式表示一个物理定律时，等号两用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致性，这种性质称之为端必须保持量纲的一致性，这种性质称之为量纲量纲齐次性齐次性。、量纲齐次原则、量纲齐次原则 当方程中的各项具有相同的量纲
11、时，这个当方程中的各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是方程被称为是量纲齐次的量纲齐次的，也只有具有相同量纲，也只有具有相同量纲的量才能作比较或的量才能作比较或相加、减相加、减，即物理定律必须是，即物理定律必须是量纲齐次的。量纲齐次的。一、量纲分析方法一、量纲分析方法262023年4月7日第26页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲齐次原则、量纲齐次原则 一、量纲分析方法一、量纲分析方法272023年4月7日第27页，共59页，编辑于2022年，星期三 假设要研究假设要研究q1，q1,q1之间的关系之间的关系第28页，共59页，编辑于2022年，星期三第29页，共59页，编辑于2022
12、年，星期三基本量纲：基本量纲：时间：时间：T长度：长度：L温度：温度：质量：质量：M第30页，共59页，编辑于2022年，星期三 量纲分析步骤量纲分析步骤第31页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法热量热量er时刻时刻t温度温度u基本量纲：基本量纲：时间：时间：T长度：长度：L温度：温度：质量：质量：M322023年4月7日第32页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法332023年4月7日第33页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析
13、的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法342023年4月7日第34页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法352023年4月7日第35页，共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法362023年4月7日第36页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法372023年4月7日第37页，共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法382023年4月7日第38页，共59页，编辑于20
14、22年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法第39页，共59页，编辑于2022年，星期三 、量纲分析的一般步骤、量纲分析的一般步骤 一、量纲分析方法一、量纲分析方法402023年4月7日第40页，共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法412023年4月7日第41页，共59页，编辑于2022年，星期三 一、量纲分析方法一、量纲分析方法思考题：思考题：量纲分析法一般能用于解决什么样的问题？量纲分析法一般能用于解决什么样的问题？使用量纲分析法需要那些条件？使用量纲分析法需要那些条件？量纲分析法的优缺点有哪些？量纲分析法的优缺
15、点有哪些？422023年4月7日第42页，共59页，编辑于2022年，星期三 第二章第二章 两种初等分析方法两种初等分析方法432023年4月7日第43页，共59页，编辑于2022年，星期三用集合表述有什么好处？用集合表述有什么好处？二、集合分析方法二、集合分析方法442023年4月7日第44页，共59页，编辑于2022年，星期三 1.问题的提出问题的提出 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题AnTostal公司的一次会议的参加者为公司的一次会议的参加者为29位公司董事会位公司董事会成员，其中成员，其中9位是在职董事位是在职董事(即公司的雇员即公司的雇员)会议要开一天会
16、议要开一天,每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开45分分钟，从上午钟，从上午9:00到下午到下午5:00每整点开始开会，中午每整点开始开会，中午12:00午午餐餐 二、集合分析方法二、集合分析方法452023年4月7日第45页，共59页，编辑于2022年，星期三 1.问题的提出问题的提出 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 上午每段会议都有上午每段会议都有6个小组讨论会，每个小组都由公司个小组讨论会，每个小组都由公司的一位资深高级职员来主持这些资深高级职员都不是董事的一位资深高级职员来主持这些资深高级职员都不是董事会的成
17、员因此，每位资深高级职员都要主持三个不同的小会的成员因此，每位资深高级职员都要主持三个不同的小组会这些资深高级职员不参加下午的讨论会，而且下午的组会这些资深高级职员不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有每段会议只有4个不同的小组会个不同的小组会 二、集合分析方法二、集合分析方法462023年4月7日第46页，共59页，编辑于2022年，星期三 二、集合分析方法二、集合分析方法 公司董事长需要一份由公司董事参加的公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分组段分组会议的每个小组的分配名单这份搭配名单要尽可能多会议的每个小组的分配名单这份搭配名单要尽可能多地把董事均匀搭配地把董事均匀搭配 理想的搭
18、配应是任意两位董事同时参加一个小组理想的搭配应是任意两位董事同时参加一个小组讨论会的次数相同讨论会的次数相同,与此同时，要使在不同时段的小组会与此同时，要使在不同时段的小组会中同在一起开过会的董事总数达到最小中同在一起开过会的董事总数达到最小 1.问题的提出问题的提出 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题472023年4月7日第47页，共59页，编辑于2022年，星期三名单中的成员搭配还应满足下列名单中的成员搭配还应满足下列两个准则两个准则：(1)在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议位资深高级职
19、员主持的两次会议 (2)每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到各小每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到各小组中组中 二、集合分析方法二、集合分析方法 1.问题的提出问题的提出 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题482023年4月7日第48页，共59页，编辑于2022年，星期三请给出一份请给出一份19号在职董事、号在职董事、1029号董事、号董事、16号公司资深高级职员的分组搭配名单并说明该名单在号公司资深高级职员的分组搭配名单并说明该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和规则。多大程度上满足了前面提出的各种要求和规则。因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，
20、也可因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此，一个能使秘书在能不在名单上的董事将出席会议。因此，一个能使秘书在会前一小时接到参会与否的通知情况下，来调整搭配分组会前一小时接到参会与否的通知情况下，来调整搭配分组的算法定会得到赏识的算法定会得到赏识如果算法还能用于不同水平的与会者同参加后面如果算法还能用于不同水平的与会者同参加后面会议中的每一类与会者搭配，那么就更理想了会议中的每一类与会者搭配，那么就更理想了 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法492023年4月7日第49页，共59页，编辑于20
21、22年，星期三 2.模型的假设模型的假设（）各场会议间及各个小组之间是相对独立的；（）各场会议间及各个小组之间是相对独立的；（）所有的高级职员和董事会成员都严格遵守派遣方（）所有的高级职员和董事会成员都严格遵守派遣方案；案；（）若能够满足每位董事出席会议的次数都相等（）若能够满足每位董事出席会议的次数都相等,则模型则模型被认为是最理想的；被认为是最理想的；（）（）6位资深高级职员之间无差异位资深高级职员之间无差异,同样同样9位在职董事之位在职董事之间、间、20位外部董事之间也无差异位外部董事之间也无差异 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析
22、方法502023年4月7日第50页，共59页，编辑于2022年，星期三 3.符号的说明符号的说明 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法512023年4月7日第51页，共59页，编辑于2022年，星期三 二、集合分析方法二、集合分析方法 3.符号的说明符号的说明 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题522023年4月7日第52页，共59页，编辑于2022年，星期三 二、集合分析方法二、集合分析方法 3.符号的说明符号的说明 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题532023年4月7日第53页，
23、共59页，编辑于2022年，星期三 二、集合分析方法二、集合分析方法 3.符号的说明符号的说明 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题542023年4月7日第54页，共59页，编辑于2022年，星期三 4.4.问题分析问题分析 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法 根据问题要求可有两个分派原则根据问题要求可有两个分派原则:(1)均衡分派原则：均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人数相尽可能使得各讨论组成员人数相等，该原则将确保各讨论组人数大致相等等，该原则将确保各讨论组人数大致相等(2)分派比例原则：分派比例原则：
24、各会议讨论组在职董事和外部董事的各会议讨论组在职董事和外部董事的比例大致相等比例大致相等552023年4月7日第55页，共59页，编辑于2022年，星期三方案方案I：每场上午的分组会议共分为每场上午的分组会议共分为6组，一个组由位董事组，一个组由位董事成员组成，其他个组每组由位董事成员组成其中成员组成，其他个组每组由位董事成员组成其中3个组每个组每组有组有2位在职董事位在职董事,而另外而另外3个组每组只有个组每组只有1位在职董事位在职董事.具具体对于每一个组成员的分派都是随机的体对于每一个组成员的分派都是随机的 如果公司总裁更希望使各讨论组的成员人数尽可能如果公司总裁更希望使各讨论组的成员人数
25、尽可能相等相等,建采用这个方案，即可满足他的要求建采用这个方案，即可满足他的要求 4.4.问题分析问题分析 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法562023年4月7日第56页，共59页，编辑于2022年，星期三方案方案II：由均衡分派原则，每组中在职董事和外部董事的比例由均衡分派原则，每组中在职董事和外部董事的比例应该近似相等，即应大致为由所给数据和题目要求可应该近似相等，即应大致为由所给数据和题目要求可知知,不存在恰好比例为的分派方案不存在恰好比例为的分派方案,在这里可以从以下结在这里可以从以下结果中挑选最接近的分派方案果中挑选最接近
26、的分派方案 4.4.问题分析问题分析 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法572023年4月7日第57页，共59页，编辑于2022年，星期三模型模型:第一种分派方案：第一种分派方案：第一步：上午第一场会议的分派方案；第一步：上午第一场会议的分派方案；第二步：上午第二场会议的分派方案第二步：上午第二场会议的分派方案；第第三三步步：类类似似上上述述方方法法分分派派上上午午第第三三场场会会议议的的分分组组结果结果第四步：下午分组会议的分派方案安排。第四步：下午分组会议的分派方案安排。5.5.模型的建立与求解模型的建立与求解 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法582023年4月7日第58页，共59页，编辑于2022年，星期三 5.5.模型的建立与求解模型的建立与求解 案例分析：合理分派与会成员问题案例分析：合理分派与会成员问题 二、集合分析方法二、集合分析方法模型模型：第二种分派方案：第二种分派方案：第一步：上午会议的分派方案；第一步：上午会议的分派方案；第二步：下午会议的分派方案第二步：下午会议的分派方案:两种分派方案的具体方法和结果见教材。两种分派方案的具体方法和结果见教材。592023年4月7日第59页，共59页，编辑于2022年，星期三