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1、 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1)|a|=|a|(2)当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同；当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反；特别地，当=0或a=0时,a=0复习回顾：数乘向量定义及运算律第1页/共24页 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有：(a)=()a (+)a=a+a (a+b)=a+b第2页/共24页 引例：引例：我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位
2、移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。第3页/共24页已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab第4页/共24页O正射影的数量：OO说明：（1）正射影是向量，正射影的数量是数（又称投影）如：而第5页/共24页学点一：向量在轴上的正射影的数量：推广：|a|cos
3、（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）正射影的数量。第6页/共24页 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a|b|cos规定:零向量与任一向量的数量积为0。|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量注意：向量的数量积结的数量积结果是一个数果是一个数量。量。第7页/共24页 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当0 90时ab为正；当90 180时ab为负。当=90时ab为零。第8页/共24页设设是非零向量，是非零向
4、量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1第9页/共24页解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=10例例2 2、（、（1 1）已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。学点二：数量积公式的应用-求数量积、夹角及向量的模第10页/共24页练习第11页/共24页OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。第12页/共24页练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非
5、零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有第13页/共24页二、二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注：第14页/共24页 则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量
6、分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)第15页/共24页例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.第16页/共24页练习：构造矩形第17页/共24页学点四：向量数量积的综合应用例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直。第18页/共24页例5、(3)当k为何值时求：与垂直第19页/共24页练习：解：总结：第20页/共24页小结：1.2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影第21页/共24页小结小结4.向量数量积的运算律向量数量积的运算律5.5.类似于多项式的乘法运算类似于多项式的乘法运算(3).a b a b=0(1).aa=|a|2或(2).cos =6.6.主要解决的问题主要解决的问题垂直问题垂直问题夹角的计算问题夹角的计算问题长度的计算问题长度的计算问题第22页/共24页作业：作业：第23页/共24页感谢您的观看。第24页/共24页