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1、学案学案2 空间几何体的表面空间几何体的表面 积与体积积与体积 一、棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.设直棱柱高为设直棱柱高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则直，则直棱柱侧面面积计算公式棱柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧直棱柱侧=.即直棱即直棱柱的侧面积等于它的柱的侧面积等于它的 .2.设正设正n棱锥的底面边长为棱锥的底面边长为a，底面周长为，底面周长为c，斜高，斜高为为h，则正，则正n棱锥的侧面积的计算公式棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧正棱锥侧=,即正棱锥的侧面积等于它的即正棱锥的侧面积等于它的 .ch 底面周长和高的乘积底面周长和高的乘积 nah=ch 底面的周长和斜高乘
2、积的一半底面的周长和斜高乘积的一半 3.设棱台下底面边长为设棱台下底面边长为a，周长为，周长为c，上底面边长，上底面边长为为a，周长为，周长为c，斜高为，斜高为h，则正，则正n棱台的侧面积公式棱台的侧面积公式:S正棱台侧正棱台侧=.4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于 .5.半径为半径为R的球的表面积公式的球的表面积公式:S球球=，即球面面积等于它的即球面面积等于它的 .大圆面积的四倍大圆面积的四倍 n(a+a)h=(c+c)h侧面积与底面积的和侧面积与底面积的和 4R2 6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.二、棱柱、棱
3、锥、棱台和球的体积 1.柱体柱体(棱柱、圆柱棱柱、圆柱)的体积等于它的的体积等于它的 ,即即V柱体柱体=.底面半径是底面半径是r，高是，高是h的圆柱体的体积的圆柱体的体积的计算公式是的计算公式是V圆柱圆柱=.2.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是，高是h，那么它的体积是，那么它的体积是V锥体锥体=.如果圆锥的底面半径是如果圆锥的底面半径是r，高是，高是h，则它的体积，则它的体积V圆锥圆锥=.3.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是积分别是S,S，高是，高是h，那么它的体积，那么它的体积V台体台
4、体=h(S+S).如果圆台的上、下底面的半径分别是如果圆台的上、下底面的半径分别是r,r，高是，高是h，则，则它的体积是它的体积是V圆台圆台=h(r2+rr+r2).底面积底面积S和高和高h的乘积的乘积 Sh r2h Sh r2h 4.如果球的半径为如果球的半径为R，则它的体积，则它的体积V球球=R3.5.柱、锥、台的体积公式的内在联系柱、锥、台的体积公式的内在联系.已知一个正三棱台的两底面边长分别为已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.【分析分析分析分析】求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台
5、求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素元素.考点一考点一考点一考点一 多面体的表面积问题多面体的表面积问题多面体的表面积问题多面体的表面积问题 【解析解析】如图所示，正三棱台如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，中，O,O1为两底面中心，为两底面中心，D，D1为为BC和和B1C1的中点，的中点，DD1为为棱台的斜高棱台的斜高.设设A1B1=20，AB=30，则，则OD=5 ,O1D1=，由由S侧侧=S上上+S下下，得，得 （20+30）3DD1=(202+302),DD1=.在直角梯形在直角梯形O1
6、ODD1中中,O1O=棱台的高为棱台的高为 cm.求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系与条件中已知几何元素间的联系.对应演练对应演练对应演练对应演练已知正三棱锥的侧棱长为已知正三棱锥的侧棱长为10cm，侧面积为，侧面积为144cm2，求棱锥的底面边
7、长和高求棱锥的底面边长和高.设斜高为设斜高为xcm，则则x =1443，x2=36或或64.x=6或或8（cm）.底面边长为底面边长为2 =16或或12（cm）.OC1=16=（cm）.OC2=12=4 （cm）.在在RtSOC中中,SO2=答答:棱锥的底面边长为棱锥的底面边长为16cm,高为高为 cm或底面边长为或底面边长为12cm,高为高为2 cm.如如 图图 7-2-3,在在ABC中中，若若AC=3，BC=4，AB=5，以以AB所所在在直直线线为为轴轴，将将此此三三角角形形旋旋转转一一周周，求求所所得得旋旋转转体体 的的 表表 面面 积积 和和 体体 积积.【分析分析分析分析】首先要弄清
8、该旋转体是由哪些基本的几何首先要弄清该旋转体是由哪些基本的几何体组成的，再通过轴截面分析和解决问题体组成的，再通过轴截面分析和解决问题.考点二考点二考点二考点二 旋转体的表面积旋转体的表面积旋转体的表面积旋转体的表面积 【解析解析解析解析】如图所示，所得旋转体如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于底面半径等于CO=，所以所得旋转体的表面积为，所以所得旋转体的表面积为S=OC（AC+BC）=(3+4)=；其体积为其体积为V=OC2AO+OC2BO=OC2AB=.解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴解决旋转体的表面积问题，要利用
9、好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可几何要素，代入公式求解即可.对应演练对应演练对应演练对应演练如如 图图 所所 示示，在在 直直 径径AB=4的的 半半 圆圆 O内内 作作一一个个内内接接直直角角三三角角形形ABC，使使BAC=30,将将 圆圆 中中阴阴影影部部分分，以以 AB为为旋旋转转轴轴旋旋转转 180形形 成成一一个个几几何何体体，求求该该几几何何 体体 的的 表表 面面 积积.AB=4,R=2,S球球=4R2=16,设设DC=x,则则AC=2x,BC=.在在RtABC中中,4x2+=16,
10、x=.S锥侧上锥侧上=rl=2 =6,S锥侧下锥侧下=rl=2=2 .S表表=（S球球+S锥侧上锥侧上+S锥侧下锥侧下）=(11+).如如 图图 所所 示示，长长 方方 体体ABCD-ABCD中中，用用截截 面面 截截 下下 一一 个个 棱棱 锥锥 C-ADD，求求棱棱锥锥 C-ADD的的体体积积与与剩剩余余部部分分的的体体积积之之比比.【分析分析分析分析】选择适当的量，分别表示出两个几何体的选择适当的量，分别表示出两个几何体的体积体积.考点三考点三考点三考点三 多面体的体积多面体的体积多面体的体积多面体的体积 【解析解析解析解析】已知长方体可以看成直四棱柱已知长方体可以看成直四棱柱ADDA-
11、BCCB.设它的底面设它的底面ADDA面积为面积为S，高为，高为h，则它的体积为，则它的体积为V=Sh.而棱锥而棱锥C-ADD的底面面积为的底面面积为 S，高是，高是h,因此，棱锥因此，棱锥C-ADD的体积的体积 VC-ADD=Sh=Sh.余下的体积是余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥所以棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为的体积与剩余部分的体积之比为1:5.求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地思求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地思考，特别是对几何体的考，特别是对几何体的“割割”与与“补补”，是在求几何，是在求几何体体 体积时常用的思想方法体积时常用的思想方法.在平面几何中
12、对不规则图在平面几何中对不规则图形面积的求解也是该思想的具体应用形面积的求解也是该思想的具体应用.A.B.C.D.对应演练对应演练对应演练对应演练如如图图，在在多多面面体体 ABCDEF中中，已已知知 ABCD是是边边长长为为 1的的 正正 方方 形形，且且 ADE，BCF均均 为为 正正 三三 角角 形形，EFAB，EF=2，则则该该多多面面体体的的体体积积为为 ()A（如如图图，分分别别过过 A，B作作EF的的 垂垂 线线 AG，BH,垂垂 足足 分分别别 为为 G，H,连连 结结 HC，GD，则则ADGBHC为为直直棱棱柱柱.过过G 作作 G PA D于于 P，则则AP=DP=，在在 R
13、tAG E中中，E G=，A E=1，AG=,在在RtAPG中，中，GP=.SAGD=,VAGDBHC=，VEAGD=VFBHC=SAGD EG=，V=VAGDBHC+2VEAGD=.故应选故应选A.）如如图图所所示示,半半径径为为 R的的 半半圆圆内内的的阴阴影影部部分分以以直直径径AB所所在在直直线线为为轴轴,旋旋 转转一一周周得得到到一一个个几几何何体体,求求该该几几何何体体的的体体积积(其其 中中B A C=3 0 ).【分析分析分析分析】先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状，先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状，再求表面积再求表面积.考点四考点四考点四考点四 旋转体的体积旋转体的体积
14、旋转体的体积旋转体的体积 【解析解析解析解析】如图所示，过如图所示，过C作作CO1AB于于O1，在半圆中可得在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,又又V球球=R3,V圆锥圆锥 =AO1 =R2AO1，V圆锥圆锥 =BO1 =BO1R2，V几何体几何体=V球球-(V圆锥圆锥 +V圆锥圆锥 )=R3-R3=R3.解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图 形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算公式进行计算.对应演练对应演练对应演练对应演练已知一个组合
15、体的三视图如图已知一个组合体的三视图如图7-2-10所示，请根据具体所示，请根据具体数据求几何体的体积数据求几何体的体积(单位单位:cm).由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部又是一个圆柱部是一个圆柱，下部又是一个圆柱.由条件中的尺寸可由条件中的尺寸可知知:V圆锥圆锥=Sh=222=(cm3);V圆柱中圆柱中=Sh=2210=40(cm3);V圆柱下圆柱下=Sh=421=16(cm3).所以此组合体体积所以此组合体体积V=V圆锥圆锥+V圆柱中圆柱中+V圆柱下圆柱下=+40+16=(cm3).如如 图图，在在 直直 三三
16、棱棱 柱柱ABCA1B1C1中中，底底面面为为 直直 角角 三三 角角 形形，ACB=90,AC=6,BC=CC1=,P是是BC1上上 一一动动点点，则则 CP+PA1的的最最小小值值 为为 .【分析分析分析分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最值问题，易解决值问题，易解决.考点五考点五考点五考点五 曲面最值曲面最值曲面最值曲面最值 【解析解析】由直三棱柱的性质得由直三棱柱的性质得A1B=2 ,又又A1C1B=90,A1C1=6,BC1=2,将将A1C1B与与BC1C沿沿BC1折放在同一平面内，则折放在同一平面内，则A1C为所求为所求.将将A1PC1与与
17、BC1C放在同一平面内，放在同一平面内，找到找到A1C为所求最小值为所求最小值.如图所示，长方体如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且，并且abc0.求沿着长方体的表面自求沿着长方体的表面自A到到C1的最短线路的长的最短线路的长.对应演练对应演练对应演练对应演练将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：的长分别为：abc,abacbc0.故最短线路的长为故最短线路的长为 .1.1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用
18、公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大.2.2.要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题.3.3.当给出的几何体比较复杂，
19、有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用“割割割割”、“补补补补”的技巧，的技巧，的技巧，的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（
20、柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利.4.4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接外接外接外接.解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形 ，明确切点和接点的位明确切点和接点的位明确切点和接点的位明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置
21、，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图图图图 ，如球内切于正方体，如球内切于正方体，如球内切于正方体，如球内切于正方体 ，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面 的的的的 中心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体径；球外接于正方体径；球外接于正方体径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径球的直径球的直径球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或和球心，或和球心，或和球心，或“切点切点切点切点”“”“接点接点接点接点”作出截面图作出截面图作出截面图作出截面图.