《我国中小学 概率统计教育的改革.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《我国中小学 概率统计教育的改革.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 数学命题教学设计数学命题教学设计 华东师大数学系华东师大数学系 李俊李俊第第六六讲讲数学命题（原理、规则）教学数学命题（原理、规则）教学数学中的命题主要包括公理、定理、法则、数学中的命题主要包括公理、定理、法则、公式，它们都是真命题。数学命题揭示了若公式，它们都是真命题。数学命题揭示了若干概念之间的联系。学习数学命题，不仅是干概念之间的联系。学习数学命题，不仅是为了掌握这些数学命题，而且是为了能运用为了掌握这些数学命题，而且是为了能运用它们解决实际问题或为进一步学习做必要的它们解决实际问题或为进一步学习做必要的准备。准备。与概念教学一样，也常常从具体例证开始。与概念教学一样，也常常从具体例证
2、开始。因为涉及几个概念以及它们之间的联系，所因为涉及几个概念以及它们之间的联系，所以学习层次和复杂程度会较概念学习高。以学习层次和复杂程度会较概念学习高。得出数学命题的一般顺序得出数学命题的一般顺序已有知识已有知识发现命题，教师并不直接给出命题，发现命题，教师并不直接给出命题，学生通过回顾已有知识，观察、研究例证，推导学生通过回顾已有知识，观察、研究例证，推导或概括出命题。教学中应注意联系学生已有的知或概括出命题。教学中应注意联系学生已有的知识，并为推导或概括铺设难度适中的台阶。识，并为推导或概括铺设难度适中的台阶。接受命题接受命题例证检核，教师先给出命题（可证明例证检核，教师先给出命题（可证
3、明也可不证明），再通过例证引导学生理解命题的也可不证明），再通过例证引导学生理解命题的意义，类似于概念的下位学习。教学中应特别注意义，类似于概念的下位学习。教学中应特别注意让学生体会命题自然合理的一面。意让学生体会命题自然合理的一面。数学命题学习的认知过程数学命题学习的认知过程观察例证发现命题接受命题例证检核建构解决问题反馈证明/分析命题命题的教学的教学虽然课本已经给出定理、公式，但是如果让学虽然课本已经给出定理、公式，但是如果让学生自己发现、创造，效果会更好生自己发现、创造，效果会更好要使学生了解要使学生了解命题命题的由来、解决什么问题的由来、解决什么问题要使学生认识要使学生认识命题命题的含
4、义的含义要使学生懂得要使学生懂得命题命题的证明的证明要使学生熟悉要使学生熟悉命题命题的使用的使用指导学生整理指导学生整理命题命题系统系统命题教学的一般过程命题教学的一般过程（1 1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预）发现或接受命题，为此，需要了解学生预备知识掌握情况；需要提供例证；需要引发认备知识掌握情况；需要提供例证；需要引发认知冲突或营造问题情境。知冲突或营造问题情境。变枯燥乏味为跃跃欲试变枯燥乏味为跃跃欲试合并同类项合并同类项今天，我们来一个点名做题比赛，我给出一个多项今天，我们来一个点名做题比赛，我给出一个多项式：式：对这个多项式，由一个同学给出对这个多项式，由一个同学给出x x、
5、y y各一个值，让另各一个值，让另一个同学说出这个多项式的值，好吗？如果回答正确，一个同学说出这个多项式的值，好吗？如果回答正确，就可以再给出就可以再给出x x、y y各一个值，去考他想考的同学。各一个值，去考他想考的同学。生生1 1：x=0.15x=0.15，y=10y=10，请生，请生2 2回答。回答。生生2 2：师：我来回答吧，是师：我来回答吧，是1.51.5，想知道我是怎么算出来的，想知道我是怎么算出来的吗？吗？命题教学的一般过程命题教学的一般过程（2 2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，）如需要证明，与学生一起研究证明方法，如不需要证明，则提供材料让学生体会命题规如不需要证明，则
6、提供材料让学生体会命题规定的合理性。定的合理性。命题教学的一般过程命题教学的一般过程（3 3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过程）认识命题的条件与结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。（4 4）循序渐进地应用（正用到逆用）命题，将命）循序渐进地应用（正用到逆用）命题，将命题纳入到已有的知识体系中去。题纳入到已有的知识体系中去。（5 5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教学）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教学对有兴趣继续钻研的学生具有开
7、放性和启发性。对有兴趣继续钻研的学生具有开放性和启发性。数学命题教学的设计重点数学命题教学的设计重点是什么是什么(条件、范围、结论）条件、范围、结论）为什么（推导为什么（推导/合理性）合理性）如何用（简单应用、逆用、变形等灵活应用）如何用（简单应用、逆用、变形等灵活应用）涉及例题和课堂练习的设计涉及例题和课堂练习的设计 引申和拓广：还有什么引申和拓广：还有什么结合案例，学习如何设计结合案例，学习如何设计公式教学公式教学法则教学法则教学定理教学定理教学公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程复习提问复习提问复习复习“直接开平方法直接开平方法”，如，如 x x2 2=4=4；(x-2)(x-2)2
8、 2=7=7；(x-2)(x-2)2 2=-7=-7这种解法的理论依据是什么？局限性是这种解法的理论依据是什么？局限性是什么？方程什么？方程2x2x2 2+7x-4=0+7x-4=0怎么解？配方成能怎么解？配方成能够够“直接开平方直接开平方”，要求学生说明每一，要求学生说明每一步的依据步的依据最关键是哪一步？它的运算依据是什么最关键是哪一步？它的运算依据是什么？若把二次项的系数若把二次项的系数2 2改为改为3 3，-2-2，一般地，一般地，改为改为a0a0，对方程，对方程axax2 2+7x-4=0+7x-4=0会配方吗？会配方吗？若把一次项系数若把一次项系数7 7变为变为b b，把常数项，把
9、常数项-4-4变为变为c c，对方程，对方程2x2x2 2+bx-4=0+bx-4=0，2x2x2 2+7x+c=0+7x+c=0，axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 会配方吗？会配方吗？公式推导公式推导 与课本不一样！与课本不一样！公式得出后的使用，要求说出公式得出后的使用，要求说出a,b,ca,b,c并解方并解方程程x x2 2-3x+2=0 2x-3x+2=0 2x2 2=4-7x x=4-7x x2 2-2-2 x+2=0 x+2=0小结使用公式法解方程的完整过程小结使用公式法解方程的完整过程 练习，达到熟练练习，达到熟练小结小结公式是什么？读法？根由方程的系数公式是什么？读
10、法？根由方程的系数a,b,ca,b,c完全完全确定，与未知数写成什么字母无关。它回答了确定，与未知数写成什么字母无关。它回答了解方程的三个基本问题：有没有解？多少解？解方程的三个基本问题：有没有解？多少解？解是什么。步骤？解是什么。步骤？公式怎么来的？配方，推导过程前半部分是公式怎么来的？配方，推导过程前半部分是“配方法配方法”，后半部分是，后半部分是“直接开方法直接开方法”，开方，开方的实质是把一个二次方程化归为两个一次方程。的实质是把一个二次方程化归为两个一次方程。公式法具有通用性和简单性。公式法具有通用性和简单性。公式之外还有什么？有了系数公式之外还有什么？有了系数a,b,ca,b,c，
11、就能求出，就能求出相应的根或者指出根不存在，那么，根与这三相应的根或者指出根不存在，那么，根与这三个系数之间应该有确定的关系，是什么呢？下个系数之间应该有确定的关系，是什么呢？下节课继续研究。节课继续研究。法则教学法则教学讲得不得法，容易给学生留下对数学的讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习的兴趣负面印象，失去学习的兴趣讲得好，也会让学生看到数学理性的一讲得好，也会让学生看到数学理性的一面，而且蕴含着数学之美面，而且蕴含着数学之美联系已有知识讲法则的道理很重要联系已有知识讲法则的道理很重要如何变枯燥乏味为跃跃欲试如何变枯燥乏味为跃跃欲试 一初中教师花一初中教师花9090秒介绍计
12、算法则，然后秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题是大量的例题加习题想到想到杂技节目杂技节目“抛盘子抛盘子”“过了这个村就没了那个店过了这个村就没了那个店”怎么教？怎么教？初中幂的除法初中幂的除法m,nm,n是正整数，是正整数，mn,mn,则有则有如何就幂的除法讲道理如何就幂的除法讲道理m,nm,n是正整数，是正整数，mn,mn,则有则有方法方法1 1：因为：因为 所以，一般地有所以，一般地有 方法方法2 2：因为：因为方法方法3 3：因为：因为n个am-n个a“有理数大小的比较有理数大小的比较”教材的安排：一周气温排序教材的安排：一周气温排序在数轴上描点体会数轴上排序在数轴上描点体会数轴上排
13、序规定的合理性（气温排序，正数排序）规定的合理性（气温排序，正数排序）练习练习教材设计缺乏层次，教材设计缺乏层次，“硬灌硬灌”成分多，可考虑重新设计。成分多，可考虑重新设计。可粗分为正数之间比、一正一负比、两个负数比三类可粗分为正数之间比、一正一负比、两个负数比三类可以设第一层次的问题：可以设第一层次的问题：“+6+6和和+2+2哪一个大？在数轴上，哪一个大？在数轴上，它们哪一个在右？它们哪一个在右？+6+6比比+2+2大，在数轴上，大，在数轴上，+6+6在在+2+2的右边。的右边。我们记作我们记作+6+6+2+2或或+2+2+6+6。”数轴有理数的表示刚学两个正有理数大小的比较在数轴上表示两
14、个正有理数，右边的总比左边的大比较两个正有理数可以看位置坐标法思想和数形结合坐标法思想和数形结合思想思想第一层次问题：谁大？谁在右？第二层次问题，第二层次问题，“想一想：甲地的温度是想一想：甲地的温度是+4+4，乙地的温度是，乙地的温度是-10-10，哪一个地方暖，哪一个地方暖和和?在数轴上在数轴上+4+4与与-10-10哪个在右边哪个在右边?”一致一致!生活经验生活经验+4比比-10暖和暖和没没学学过过+4与与-10哪个大哪个大?一一正正一负一负有理数大有理数大小的比较小的比较在数轴上表示在数轴上表示一一正正一负一负有理数，右边的总比左有理数，右边的总比左边的大边的大比较一比较一正正一负一负
15、有理数有理数也也可以看位置可以看位置第二层次第二层次问题：问题：哪哪一地暖和一地暖和？谁在右谁在右？第三层次问题：第三层次问题：“在数轴上，在数轴上，-3-3与与-8-8哪一个在右边？哪一个在右边？”两个负有理数的大小比较，不再用甲两个负有理数的大小比较，不再用甲乙两地温度比较的实际背景来引入，乙两地温度比较的实际背景来引入，抽象到在数轴上比较，突出绝对值的抽象到在数轴上比较，突出绝对值的几何意义。几何意义。类比类比思想思想、转化思想转化思想-8-3第四层次，归纳出结论第四层次，归纳出结论“在数轴上表在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边示的两个有理数，右边的数总比左边的大。的大。”以及以
16、及“正数都大于零，负数正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个都小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。负数，绝对值大的反而小。”归纳思想归纳思想数学知识教学的常见病数学知识教学的常见病没有形成基础，强加于人没有形成基础，强加于人对使用的条件印象模糊，不会应用对使用的条件印象模糊，不会应用死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，无法对付变化无法对付变化造成造成不让学生参与形成概念的生动过程，降低概括不让学生参与形成概念的生动过程，降低概括水平；水平；不揭示命题的形成过程，降低了理解水平；不揭示命题的形成过程，降低了理解水平；忽
17、视数学方法的探讨过程，加重学生记忆负担，忽视数学方法的探讨过程，加重学生记忆负担，降低了分析水平。降低了分析水平。学生只会复制，不能发展，因循守旧，不能开拓创新。学生只会复制，不能发展，因循守旧，不能开拓创新。定理的教学定理的教学定理因综合性更强而使教学更为复定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难杂和困难已有知识的熟练已有知识的熟练数学语言的听说读写数学语言的听说读写 形成逻辑推理的思维形成逻辑推理的思维 平面几何的语言入门教学平面几何的语言入门教学杨裕前杨裕前对常州对常州1010个学校个学校500500名学生作的调查名学生作的调查“你学习平面几何觉得什么最难？你学习平面几何觉得什么最难？”2
18、8.7%28.7%选择了选择了 “几何语言的理解和叙述几何语言的理解和叙述”，38.17%38.17%选择了选择了“讲清道理讲清道理”“过过A A、B B、C C三点（不在一直线上，给出图形）中每三点（不在一直线上，给出图形）中每两点画直线，可以画几条直线？两点画直线，可以画几条直线？”13.2%13.2%的学生虽能正确画图但答的学生虽能正确画图但答“可以画一条直线可以画一条直线”“读句画图：三条直线两两相交读句画图：三条直线两两相交”20.8%20.8%的学生不能正确画出图形的学生不能正确画出图形“任作直线任作直线ABAB，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C，在，在ABAB外任取一点外
19、任取一点D D，分别过，分别过C C、D D两点作两点作ABAB的垂线的垂线”30%30%的学生画成右图的学生画成右图。ABCD为何有困难？为何有困难？教学内容从教学内容从“数数”到到“形形”发生突变发生突变初中代数中更多借助符号下描述性定义，初中代数中更多借助符号下描述性定义，文字与符号对照着写，但是，动态的图形、文字与符号对照着写，但是，动态的图形、字母标识不定，使描述几何的文字语言无字母标识不定，使描述几何的文字语言无法如此统一成符号语言。法如此统一成符号语言。简炼、严密的几何语言在起始阶段大量简炼、严密的几何语言在起始阶段大量引进和使用引进和使用 日常生活语言对几何语言产生负迁移日常生
20、活语言对几何语言产生负迁移为何有困难？为何有困难？简炼、严密的几何语言在起始阶段大量引进简炼、严密的几何语言在起始阶段大量引进和使用和使用 分不清分不清“相邻相邻”、“互相互相”、“等量等量”、“等等边边”这类词语涉及几个图形或几个量。对于这类词语涉及几个图形或几个量。对于“连结连结”、“反向延长反向延长”、“延长延长到到，使，使=”等作图语言，学生更为陌生，常常在等作图语言，学生更为陌生，常常在转化为作图动作时发生困难或错误，若是独立转化为作图动作时发生困难或错误，若是独立写作法，更为困难和不规范。写作法，更为困难和不规范。“每两点每两点”、“两两两两”、“任意（画、取）任意（画、取）”、“
21、分别分别”等几等几何术语也困难何术语也困难日常生活语言对几何语言产生负迁移日常生活语言对几何语言产生负迁移“有有”与与“有且只有有且只有”，“平面平面”、“在在上上”相应的教学策略相应的教学策略不要过早地将精确的形不要过早地将精确的形式化强加给学生式化强加给学生铺设阶梯，减小难度铺设阶梯，减小难度重视文字语言、图形、符号语言的互译训练重视文字语言、图形、符号语言的互译训练通过比较、归类、辨析、判断等训练提高学生通过比较、归类、辨析、判断等训练提高学生理解和使用几何语言的精确性理解和使用几何语言的精确性“一划二画三写一划二画三写”“一划一划”就是用不同的线把定理的题设和结论就是用不同的线把定理的
22、题设和结论区分开来，要求在划线时突出定理的本质部分。区分开来，要求在划线时突出定理的本质部分。“二画二画”就是画出定理所对应的图形。就是画出定理所对应的图形。“三写三写”就是用符号语言表达题设和结论，允就是用符号语言表达题设和结论，允许采用等同的条件。许采用等同的条件。形成逻辑推理的思维形成逻辑推理的思维初学证明时，有的学生会初学证明时，有的学生会分不清何时举例可以证明，何时举例不能证分不清何时举例可以证明，何时举例不能证明明分不清要证明的结论，证明过程中条件、结分不清要证明的结论，证明过程中条件、结论一起用，用特殊图形解读一般条件论一起用，用特殊图形解读一般条件分不清应用定理前，先要陈述满足
23、所有条件，分不清应用定理前，先要陈述满足所有条件，不能缺也不能多不能缺也不能多对策对策勾股定理勾股定理的一个的一个设计设计日本教材的编排是在章首提出两个问题：日本教材的编排是在章首提出两个问题：Q1 Q1 下图下图,中，分别以直角三角形中，分别以直角三角形ABCABC的的3 3条边条边为边向外画正方形。为边向外画正方形。Q2 Q2 求出求出Q1Q1中各个正方形中各个正方形的面积，填入下表。并在图的面积，填入下表。并在图中画与中画与,不不同的直角三角形，用相同的方法求面积。同的直角三角形，用相同的方法求面积。以以BC为边的正方形的面积为边的正方形的面积 以以CA为边的正方形的面积为边的正方形的面
24、积 以以AB为边的正方形的面积为边的正方形的面积猜想猜想证明证明（三平方）定理（三平方）定理证法一证法一自由研究：勾股定理的其他证明自由研究：勾股定理的其他证明证法二证法二证法三证法三还有没有其他证明方法？利用还有没有其他证明方法？利用附录中附录中的图来考虑一下的图来考虑一下附附录录给给的的三三种种图图示示证证法法淡化发现与证明，注重应用淡化发现与证明，注重应用该日本教材还设立该日本教材还设立2 2小节讲定理在平面图小节讲定理在平面图形中的应用（求平面中如边长、弦长、形中的应用（求平面中如边长、弦长、圆心距等、求两点间的距离、探究在数圆心距等、求两点间的距离、探究在数轴上表示带根号的数字的方法
25、等问题）轴上表示带根号的数字的方法等问题）和它在空间图形中的应用（求空间中如和它在空间图形中的应用（求空间中如长方体对角线长等问题）。长方体对角线长等问题）。知道三边长，能求三角形面积吗？知道三边长，能求三角形面积吗？小明：小明：“不知道三角形的高就没法求面积。不知道三角形的高就没法求面积。”惠子：惠子：“作顶点作顶点A A到到BCBC的垂线的垂线AHAH，并设，并设BH=xcm BH=xcm。”小明：小明：“ABHABH和和ACHACH可以用勾股定理。那么可以用勾股定理。那么AHAH2 2可以表示成两个方程式，可以表示成两个方程式，x x的方程式可以表的方程式可以表示为示为 。”惠子：惠子：
26、“若知道若知道x x的值，则的值，则AHAH的值也可知。的值也可知。3 3边边的长都知道的话，那么三角形的面积也可以知的长都知道的话，那么三角形的面积也可以知道了！道了！”在圆锥中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥在圆锥中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥侧面绕行一周。请回答以下问题。侧面绕行一周。请回答以下问题。（1 1）求圆锥的高和体积。）求圆锥的高和体积。（2 2）求绕行轨迹的最短长度。）求绕行轨迹的最短长度。一般认知发展过程一般认知发展过程言语连锁学习水平：会说，会背，但不理解命题言语连锁学习水平：会说，会背，但不理解命题的本质的本质正向产生式水平（正用水平）：已在心理上形成正向产生式水平（正
27、用水平）：已在心理上形成“若若，则，则”这一正向产生式，能够由满足这一正向产生式，能够由满足命题的条件信息推出结论信息命题的条件信息推出结论信息逆向产生式水平（逆用水平）：已在心理上形成逆向产生式水平（逆用水平）：已在心理上形成“要要，就要，就要”这一逆向产生式，能够由结这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件论信息出发，追寻结论成立的充分条件变形产生式水平（变形使用水平）：已在心理上变形产生式水平（变形使用水平）：已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学命题模式，并根据当前解决问题的需相关的数学命题模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，解决问题。要对数学模式进行变形使用，解决问题。小结小结数学命题的教学要求，其基本精神与数学概数学命题的教学要求，其基本精神与数学概念教学是相同的，要联系学生的现实，最后念教学是相同的，要联系学生的现实，最后要在整体上建构，但它也还有自己的特点，要在整体上建构，但它也还有自己的特点，那就是更加重视从逻辑上去论证或分析，更那就是更加重视从逻辑上去论证或分析，更加重视证明与运用，寻求从多种角度去讲道加重视证明与运用，寻求从多种角度去讲道理。理。