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1、第七章第七章弯曲变形弯曲变形7-1 7-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题 挠度和转角挠度和转角一、度量弯曲变形的物理量一、度量弯曲变形的物理量ABCCByPyx1、挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线2、挠度：、挠度：轴线上各点在垂直于变形前轴线方向的线位移挠曲线方程3、转角：、转角：各横截面绕着各自的中性轴转动的角度转角方程4、挠度和转角的关系：、挠度和转角的关系：因为是小变形挠曲线在某处的一阶导数就等于梁对应截面的转角5、挠度和转角的符号：、挠度和转角的符号：以梁的左端点为原点；X轴水平向右为正；Y轴竖直向上为正；坐标系的选取：挠度：向上为正；向下为负转角：从变形前到变形后，逆时针转动为正；顺
2、时针转动为负二、梁挠曲线的近似微分方程二、梁挠曲线的近似微分方程（纯弯曲）（横力弯曲）中性层的曲率半径若挠曲线作为一条平面曲线已确定，其曲率半径为：由于轴线就在中性层上，所以挠曲线的曲率半径和中性层的曲率半径相等MMM 0y 0yxM 0y b时，极值点在时，极值点在 AC 段：段：a=b 时，极值点在时，极值点在 C 点点注意：可以证明，当载荷注意：可以证明，当载荷P向某一支座靠近时，梁内最大挠向某一支座靠近时，梁内最大挠度的位置趋近于度的位置趋近于L/3 L/3=0.577L0.577L，很接近很接近梁中点位置。梁中点位置。因此，因此，工程中可近似用工程中可近似用梁中点位置的挠度代替最大挠
3、度。梁中点位置的挠度代替最大挠度。5）计算最大转角和挠度最大转角最大转角应发生在两端截面；最大挠度最大挠度应发生在转角等于0的截面；例：具有中间铰链约束的悬臂例：具有中间铰链约束的悬臂简支梁简支梁边界条件边界条件qabACB连续条件连续条件分析：需要分成两部分，因此有分析：需要分成两部分，因此有4 4个待定的积分常数个待定的积分常数l计算图示悬臂梁自由端截面的挠度和转角。计算图示悬臂梁自由端截面的挠度和转角。解：1)梁的弯矩方程AC段：CB段：2)梁的近似挠曲线微分方程AC段CB段3)由积分定解条件确定积分常数：边界条件边界条件:连续条件连续条件:4)计算自由端的挠度转角：l解：1)梁的弯矩方
4、程AC段：2)梁的近似挠曲线微分方程3)由边界条件确定积分常数：5)计算C截面挠度转角：4）AC段：6)计算自由端的挠度转角：用这种方法求变形时，先用这种方法求变形时，先求大小，再判断符号；求大小，再判断符号；积分法求解积分法求解变形的优点：变形的优点：对于整个梁，我们可以求解处完整的转角方对于整个梁，我们可以求解处完整的转角方程和挠曲线方程，利用这两个方程可以求解程和挠曲线方程，利用这两个方程可以求解任一截面的转角和挠度；任一截面的转角和挠度；积分法求解积分法求解变形的缺点：变形的缺点：如果梁上的载荷或支座比较复杂，列弯矩方如果梁上的载荷或支座比较复杂，列弯矩方程时就要分若干段，每一段积分出
5、现程时就要分若干段，每一段积分出现2个积个积分常数，则积分常数的确定就是一件非常繁分常数，则积分常数的确定就是一件非常繁琐的工作；琐的工作；7-4 7-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形P2ABP1ABP1P2AB=+在在小变形小变形和和材材料满足胡克定料满足胡克定律律的前提下的前提下挠曲线的近似挠曲线的近似微分方程是微分方程是线线性方程性方程微分方程微分方程的解可以的解可以叠加叠加梁在几种载荷共同作用下引起的总变形就等于梁在几种载荷共同作用下引起的总变形就等于梁在每种载荷分别单独作用下引起的变形的代数和；梁在每种载荷分别单独作用下引起的变形的代数和；在计算每种载荷单独作用引起的变形时，
6、可以查书在计算每种载荷单独作用引起的变形时，可以查书P190页的表格页的表格解：例例1 求梁的挠度和转角，求梁的挠度和转角，yc,A。aaP=q aABqCaaABqCaaABCP=+在查书在查书P190的表格时，一定要保证题中梁的种的表格时，一定要保证题中梁的种类与载荷的种类与表中的对应情况一致，类与载荷的种类与表中的对应情况一致，而且还要注意必要的符号判断；而且还要注意必要的符号判断；作业：7-1（c）7-2（d）7-3（c）7-4（b）7-10 在分段的交界处，由于在分段的交界处，由于连续性，两段方程在连续性，两段方程在一一截面的挠度和转角相等截面的挠度和转角相等。RARBlabPACB
7、连续条件连续条件例例4 4：简支梁：简支梁例例7-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角解：解：弯矩方程弯矩方程边界条件边界条件：qlEIzx小结：小结：yxPABy挠曲线，挠曲线，y=y(x)拉压变形：拉压变形：l l扭转变形：扭转变形：弯曲变形弯曲变形截面形心的竖向位移截面形心的竖向位移 y y挠度挠度转角转角截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度 y y (x x)挠曲线方程挠曲线方程 (x x)转角方程转角方程 弯曲变形：弯曲变形：1、梁变形的特征、梁变形的特征公式应用的条件公式应用的条件:1)1)材料服从虎克定律；材料服从虎克定律；2)2)小变形，忽略剪力对挠度的影响；小变形，忽略剪力对挠度的影响；小结：小结：2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程