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1、第五章 勒让德多项式首先应用分离变量法，在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，导出勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质，指出勒让德方程在区间上的有界解构成了一类正交函数系勒让德多项式。第1页/共13页5-1 勒让德方程的导出 三维拉普拉斯方程的球坐标形式：式中令 第2页/共13页5-1 勒让德方程的导出分离变量：欧拉方程：通解为式中，A，B为任意常数。第3页/共13页5-1 勒让德方程的导出通解为引入新的变量 第4页/共13页5-2 勒让德方程的求解伴随（或连带）的勒让德（Legendre）方程勒让德方程：设解为 ，代入得：第5页/共13页5-2 勒让德方程的求解得递推公式：在 内
2、，勒让德方程的通解为式中第6页/共13页5-3 勒让德多项式及其递推公式 当n不是整数时，与 都是无穷级数，它们在 内绝对收敛。在n等于整数时，与 中有一个是多项式，另一个是无穷级数。n次的勒让德多项式（第一类勒让德函数）第7页/共13页5-3 勒让德多项式及其递推公式 勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式：性质：第二类勒让德函数：勒让德方程的通解为：第8页/共13页5-3 勒让德多项式及其递推公式 关于勒让德多项式，有以下五个递推公式：（1）（2）（3）（4）（5）第9页/共13页5-4 勒让德级数解 勒让德方程的固有值问题勒让德多项式在区间 上正交：第10页/共13页5-4 勒让德级数解函数 的傅立叶-勒让德级数其中，第11页/共13页 谢谢！Thank you!再见！Good bye!第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页