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1、-1-一 大数定律 要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础 是什么？答复大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理第1页/共61页-2-设为一随机变量,其数学期望和方差都存在，则对于任意有1)切比雪夫不等式切比雪夫不等式2)A.L.CauchySchwarz不等式.准备工作第2页/共61页-3-设事件 在每次试验中出现的概率为 p,在n次重复独立试验中出现的频率为 且贝努里（Bernoulli）大数定律证证 引入 r.v.序列Xk设则第3页/共61
2、页-4-记由 Chebyshev 不等式相互独立，第4页/共61页-5-故第5页/共61页-6-在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义第6页/共61页-7-大数定律设 r.v.序列或则有是常数序列，则称服从大数定律第7页/共61页-8-Chebyshev 大数定律则有或两两不相关的随机变量,又设第8页/共61页-9-两两不相关,且方差有界，则可得到第9页/
3、共61页-10-辛钦大数定律 为一列相互独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望 设在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：注注相互独立的条件可以去掉，代之以（Markov）大数定律第10页/共61页-11-如果对于任意的 有，二随机变量的收敛性定义定义1存在常数 使得对于任意的 有设为一列随机变量，如果 记为 则称依概率收敛于 定义定义2设为一列随机变量,X是随机变量记为 则称 依概率收敛于 第11页/共61页-12-定义:设 是一列分布函数,如果对F(x)每个连续点x，都有则称分布函数列弱收敛于分布函数F(x)，记为定义：如果则称依分布收敛于X，记为第12页/共61页-
4、13-可以证明：（）若则，（）设C为常数，则充分性：F(x)是X=C的分布函数，即第13页/共61页-14-：r阶收敛定义：设对随机变量Xn及X，r0为常数，如果且，则称r阶收敛于X,记作特别：阶收敛为平均收敛，阶为均方收敛第14页/共61页-15-：以概率收敛定义：若存在一随机变量X,使我们称随机序列 以概率为收敛于X,或说几乎处处收敛于X，并记为四种收敛关系：以概率收敛或r-阶收敛 依概率收敛依分布收敛第15页/共61页-16-中心极限定理讨论：随机变量序列对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理三、中心极限定理第16页/共61页-17-的随机变量，且具有数学期望和方差，定理1 1（
5、独立同分布的中心极限定理）任意实数 有其中为标准正态分布的分布函数。设为一列相互独立相同分布则对于第17页/共61页-18-若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从正态分布，标准化后就服从标准正态分布。近似近似服从第18页/共61页-19-对任意 有，第19页/共61页-20-中心极限定理的意义前面讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，则是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和 ，而这个总和
6、服从或近似服从正态分布.结果.第20页/共61页-21-对此现象还可举个有趣的例子高尔顿钉板试验 加以说明.03 钉子层数第21页/共61页-22-表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象联系的随机变量，满足中心极限定理条件，独立投入个小球，第22页/共61页-23-有其中为标准正态分布的分布函数。这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布项分布的概率。很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二当定理 2（德莫佛拉普拉斯）则对于任意实数设第23页/共61页-24-对任意 有，第24页/共61页-25-某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机
7、是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X部分机同时使用外线，则有设有N 条外线。由题意有例例第25页/共61页-26-由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得故N应满足条件 即 第26页/共61页-27-对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性数数理理统统计计的的分分类类描述统计学推断统计学第第2 2章章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第27页/共61页-28-参数估计(第3章)假设检验(第4章)推断 统计学方差分析(第6章)回归分析(第5
8、章)第28页/共61页-29-总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.总体和样本 2.1 基本概念基本概念第29页/共61页-30-样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.第30页/共61页-31-则称 为简单随机样本.若总体 X 的样本
9、 满足:(1)与X 有相同的分布(2)相互独立简单随机样本简单随机样本它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示。若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为F(x1)F(x2)F(xn)第31页/共61页-32-设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义统计量统计量第32页/共61页-33-例例 是未知参数,若 ,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.第33页/共61页-34-常用的统计量常用的统计量为样本均值样本均值为修正样本方差样本
10、方差为修正样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第34页/共61页-35-为样本的k 阶原点矩原点矩为样本的k 阶中心矩中心矩例如第35页/共61页-36-注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同关系式关系式1）第36页/共61页-37-常见统计量的性质：第37页/共61页-38-2）第38页/共61页-39-顺序统计量与极差顺序统计量与极差设为样本,为样本值,且当取值为时,定义 r.v.则称统计量为顺序统计量顺序统计量.其中,称为极差极差第39页/共61页-40-1 1）样本的经验分布函数）样本的经验分布函数样本值样本值 样本值小于
11、样本值小于x x的个数，作的个数，作 样本的经验分布函数样本的经验分布函数非降，左连续；非降，左连续；第40页/共61页-41-若子样为若子样为n n维维r.vr.v，那么对于每一样本值，那么对于每一样本值就可作一个经验分布函数，故就可作一个经验分布函数，故是随机变量是随机变量-n-n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件发生的频率。发生的频率。由大数定律，由大数定律，第41页/共61页-42-这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据.格列汶科进一步证明了：当格列汶科进一步证明了：当n n时，时，F Fn n(x x)以概率以概率1 1关于关于
12、x x一致收敛于一致收敛于F F(x x)，即，即这就是著名的这就是著名的格列汶科定理格列汶科定理.定理告诉我们，当样本容量足够大时，对所有的定理告诉我们，当样本容量足够大时，对所有的x x,F Fn n(x x)与与F F(x x)之差的绝对值都很小，这件事发生的之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为概率为1.1.第42页/共61页-43-直方图离散型表示在n n次试验中出现的次数，设为n次独立重复样本则第43页/共61页-44-定义函数：当称为在区间a,b)的图形为a,b)的频率直方图第44页/共61页-45-第45页/共61页-46-第46页/共61页-47-第47页/共61页-48-.
13、抽样分布定理：则为两随机向量，且第48页/共61页-49-第49页/共61页-50-特别：若相互独立且服从那么也是正态随机变量若为正交矩阵，那么：随机变量也是相互独立且均值为的正态随机变量第50页/共61页-51-几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理取自正态总体的样本,则有 定理 1 (1 (样本均值的分布)设X1,X2,Xn 是第51页/共61页-52-定理定理2.(样本方差的分布样本方差的分布)设 X1,X2,Xn 是取自正态总体样本,分别为样本均值和修正样本方差则有的和 相互独立。证明：设第52页/共61页-53-而第53页/共61页-54-第54页/共61页-55-定理定理3(3(与样本均值和样本方差有关的一个分与样本均值和样本方差有关的一个分布布)设 X1,X2,X n 是取自正态总体分别为样本均值和样本修正方差.则有的样本,证明:第55页/共61页-56-(II)两个正态总体两个正态总体相互独立的简单随机样本.令设与分别是来自正态总体与的第56页/共61页-57-则若则第57页/共61页-58-则相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的第58页/共61页-59-与相互独立第59页/共61页-60-第60页/共61页-61-感谢您的观看！第61页/共61页