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1、复变函数部分复变函数部分复数与复变函数复数与复变函数解析函数解析函数复变函数的积分复变函数的积分级数级数留数定理及其应用留数定理及其应用第1页/共98页第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数及运算复数及运算第二节第二节 区域区域第三节第三节 复变函数复变函数第四节第四节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性教科书：第一章第2页/共98页v典型例子典型例子求0,0r1经=iz变换后在平面上的图形。求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。计算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)求解sinz=0 和 sinz=2的全部根第3页
2、/共98页求0,0r1经=iz变换后在平面上的图形。z平面平面=iz=zexp(i/2)第4页/共98页求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。=ez注意第5页/共98页试确定函数 f(z)=z2-z 将z平面上的区域0Imz1映射为w平面上的图像f(z)=z2-z第6页/共98页计算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1求解sinz=0 和 sinz=2的全部根第7页/共98页求解方程第8页/共98页第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 导数导数第二节第二节 解析函数解析函数第三节第三节 解析函数的变换性质解析函数的变
3、换性质教科书：第二章第9页/共98页典型例子典型例子已知解析函数f(z)的实部为u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i 求此解析函数f(z)证明：x2-2xy不能成为的一个解析函数的虚部 证明：函数f(z)=zImz在点z=0可导，但不解析 已知某解析函数 f(z)的虚部求该解析函数。已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)求此解析函数f(z)第10页/共98页已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i 求此解析函数f(z)第11页/共98页已知某解析函数 f(z)的虚部求该解析函数。第12页/共98页
4、已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)求此解析函数f(z)第13页/共98页已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u=x+y求此解析函数的导数 第14页/共98页第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质第二节第二节 Cauchy定理定理第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式教科书：第三章第15页/共98页典型例子典型例子其中：(1)C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线；(2)C为由原点到(2,1)的直线证明：第16页/共
5、98页计算积分：路径C：第17页/共98页计算积分：路径C：第18页/共98页计算积分：奇点 z=0第19页/共98页a取何值时，函数是单值的？C：围原点的闭合曲线第20页/共98页第四章第四章 级数级数第一节第一节 复数项级数复数项级数第二节第二节 幂级数幂级数第三节第三节 Taylor级数表示级数表示第四节第四节 Laurent级数表示级数表示第五节第五节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类教科书：第四、五、六章第21页/共98页典型例子典型例子求函数分别在下列区域内的洛朗级数展开式求下列函数的孤立奇点，并指出类型第22页/共98页在指定点展成Taylor级数，并给出收敛半径在z=1展开：在z=
6、0展开（前四项）：第23页/共98页在z=0展开：第24页/共98页在z=0展开：第25页/共98页在指定点及区域展成Laurent级数第26页/共98页求下列方程在z=0领域内的级数解第27页/共98页第五章第五章 留数定理及其应用留数定理及其应用第一节第一节 留数及留数定理留数及留数定理第二节第二节 应用留数定理计算实函数的积分应用留数定理计算实函数的积分教科书：第七章第28页/共98页典型例子典型例子计算积分 计算积分计算积分计算积分第29页/共98页奇点 z=/2i,3/2i,计算积分：第30页/共98页其中00时杆上各点的温度分布。第89页/共98页利用Fourier变换方法求解一维
7、无界弦的受迫振动问题 第90页/共98页利用Fourier变换方法求解二维无界平面上的自由振动问题 第91页/共98页第十二章第十二章 Green函数法函数法第一节第一节 基本解和基本解和Green公式公式第二节第二节 边值问题的解的积分表示和边值问题的解的积分表示和Green函函数数第三节第三节 Green函数的求解函数的求解第四节第四节 特殊区域上边值问题的解特殊区域上边值问题的解第五节第五节 热传导方程的热传导方程的Green函数法函数法第六节第六节 波动方程的波动方程的Green函数法函数法教科书：第二十章第92页/共98页v典型例子上半空间上的Green函数球内的Green函数上半平面上的Green函数四分之一平面上的Green函数圆内的Green函数半圆内的Green函数第93页/共98页第94页/共98页一维热传导方程初边混合问题的一维热传导方程初边混合问题的Green函数：函数：一维热传导方程初始问题的一维热传导方程初始问题的Green函数：函数：第95页/共98页一维弦振动方程初边混合问题的一维弦振动方程初边混合问题的Green函数：函数：一维弦振动方程初始问题的一维弦振动方程初始问题的Green函数：函数：第96页/共98页Thanks!2017.8第97页/共98页感谢您的观看。第98页/共98页