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1、5-1插值法概述 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据
2、，这些数据只是某些离散点得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 x xi i上的值（上的值（包括函数值包括函数值f f(x xi i)，导数值，导数值f f (x xi i)等等,i i=0,1,2,=0,1,2,n n),),虽然其函虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。用比较简单的表达式近似地给出
3、整体的描述。第1页/共63页5-2插值法概述(续1）如行星在太空中的定位问题：如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间可通过精密观测仪器在不同的时间t ti i(i i=1,2,=1,2,)观测到行观测到行星所在位置星所在位置S S(t ti i)，无论花费多少人力物力，所得到的只，无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据是一批离散数据(t ti i,S S(t ti i),),i i=1,2,)=1,2,)，而行星是在作连续运，而行星是在作连续运动，它在任一时间动，它在任一时间t t（与（与t ti i不同）的位置不同）的位置S
4、S(t t)，我们只能再，我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(t ti i,S S(t ti i)构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（用它可求任何时间的函数值（称为插值称为插值），对这个近似），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。解析表达式也能求导，讨论其各种性质。又如：又如：据资料记载，某地区每隔据资料记载，某地区每隔1010年进行一次人口普查，年进行一次人口普查，自自19301930年到年到19901990年的统计结果如下：年的统计结果
5、如下：第2页/共63页5-3插值法概述（续2）另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分如在积分中，当中，当f f(x x)很复杂，要计算很复杂，要计算积分积分I I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分使之离散化能上机计算求出积分I I，都要用到插值逼近。，
6、都要用到插值逼近。年年 份份:1930194019501960197019801990:1930194019501960197019801990人口人口（百万）（百万）:123132151180203227252:123132151180203227252 通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这六十年期间任何一年（例如六十年期间任何一年（例如19651965年）的人口总数，或者年）的人口总数，或者预测预测20002000年该地区的人口数量年该地区的人口数量。利用插值方法就可以解。利用插值方法就可以解决这一类问题。决这一类问题。第3页/共63
7、页5-4代数插值解决上述问题的方法有解决上述问题的方法有两类两类：一类一类是对于一组离是对于一组离散点散点(x xi i,f f(x xi i)(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)，选定一个便于计算的，选定一个便于计算的函数形式函数形式(x x)，如多项式，分段线性函数，有理式，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求三角函数等，要求(x x)通过点通过点(x xi i)=)=f f(x xi i)()(i i=0,12,0,12,n n),),由此确定函数由此确定函数(x x)作为作为f f(x x)的近似。这就的近似。这就是是插值法插值法。另。另一类方法一类方法在选定近似函
8、数的形式后，不在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）曲线（数据）拟合法拟合法，将在下一章介绍。，将在下一章介绍。本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘函数。因
9、为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。第4页/共63页5-5代数插值（续1）用多项式作为研究插值的工具，称为用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值代数插值，其，其基本问题是：基本问题是：已知函数已知函数f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上上n n+1+1个不同点个不同点x x0 0,x x1 1,x xn n处的处的函数值函数值y yi i=f f(x xi i)()(i i=0,1,=0,1,n n),),求一个次数不超过求一个次数不超过n n的多项式：的多项式：使其满足在给定点
10、处与使其满足在给定点处与f f(x x)相同，即满足相同，即满足插值条件插值条件：n n(x x)称为称为插值多项式插值多项式，x xi i(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)称为称为插值节点插值节点，a a,b b 称为称为插值区间插值区间。第5页/共63页5-6代数插值（续2）从几何上看（如图从几何上看（如图5-15-1所示），所示），n n次多项式插值就是次多项式插值就是过过n n+1+1个点个点y yi i=f f(x xi i)()(i i=0,1,=0,1,n n)，作一条多项式曲线，作一条多项式曲线y y=(x x)近似曲线近似曲线y y=f f(x x):):y yx
11、xy0yny2x0 x1x2xny1（图（图5-15-1）因此，所谓插值，即是在因此，所谓插值，即是在x x0 0,x x1 1,x xn n中任意插入一个中任意插入一个x x，要求对应的要求对应的f f(x x)，具体做法是按上述方法构造，具体做法是按上述方法构造 n n(x x)以以 n n(x x)近似近似f f(x x)。-第6页/共63页5-7代数插值（续3）插值法是插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼
12、近方法，本身也进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计有广泛的应用价值，如在拱桥建设中，拱轴，拱腹的设计节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-25-2所示。所示。假定假定：设计给出的节点为设计给出的节点为x xi i=2,4,6,8,10=2,4,6,8,10，施工，施工设计拱架点为设计拱架点为x xi i=1.5,3.5,5.5,8,10,=1.5,3.5,5.5,8,10,部分节点不重部分节点不重合，此时合，此时y y=f f(x xi i)如何求？这就是如何求？这就是插值问题插值问题
13、。246810 xy（图（图5-25-2）第7页/共63页5-8又如在软土地区修建铁路，公路，将不可避免地会出现后期沉降（工后沉降）问题，其工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进行严格控制。通过对已建成路基面标高（路肩）进行测量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分析（包括作插值），可推算出：某一时刻路基沉降（如3年，5年）的沉降值；不同时期路基沉降速率；最终沉降值。代数插值应用举例第8页/共63页5-9代数插值应用举例（续）插值用于数码相机增加图像的分辩率：如果要将一幅数码图像放大，也就是使其具有更多的像素，而多出来的像素原本是不存在的,需要根据周围
14、像素的色值计算出来，这个计算的过程即为插值。第9页/共63页5-101 拉格朗日（Lagrange）插值1.11.1插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件（5-25-2）的插值多次式的插值多次式 n n(x x)是否存在？如果存在，是否唯一？是否存在？如果存在，是否唯一？n n次次多项式多项式 n n(x)(x)有有n n+1+1个待定系数，利用给出的个待定系数，利用给出的n n+1+1个不同的个不同的节点节点x x0 0,x x1 1,x xn n，由插值条件（，由插值条件（5-25-2）可得关于系
15、数）可得关于系数a0,a1,an的的n n+1+1个方程个方程：第10页/共63页5-11插值多项式的存在性和唯一性（续）其系数行列式其系数行列式：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：由唯一性的上述简单证明，可以得到下面几点：第11页/共63页5-12关于唯一性证明的几点说明1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误差也一样。一定会相
16、同，当然误差也一样。2：n n+1+1组节点只能确定一个不超过组节点只能确定一个不超过n n次的多项式，若次的多项式，若 n n次，如设为次，如设为 n n+1+1(x x)，则有，则有n n+2+2有待定参数有待定参数a a0 0,a a1 1,a an n,a an n+1+1需确定，而需确定，而n n+1+1个组节点，只构成个组节点，只构成n n+1+1个插值条个插值条 件，即件，即构成构成n n+1+1个方程，只能确定个方程，只能确定n n+1+1个变量的方程组。个变量的方程组。3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以以通过解线性方程
17、组来确定插值多项式，但这种方法的计通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。的方法。第12页/共63页5-13 1.2 插值多项式的误差估计 插值多项式与被插函数之间的差：插值多项式与被插函数之间的差：称为称为截断误差截断误差，又称为，又称为插值余项插值余项。假定假定f f(x x)在区间在区间 a a,b b 上上n n+1+1次连续可导，对次连续可导，对 a a,b b 上任意点上任意点
18、x x，且且x x x xi i(i i=0,1,=0,1,n n)，构造辅助函数：，构造辅助函数：第13页/共63页5-14插值多项式的误差估计（续）在（在（a a,b b）内至少有一个零点，设为）内至少有一个零点，设为，即：，即：因为因为 n n(t)(t)为至多为至多n n次多项，次多项，n n+1+1(t t)为最高次项系数为为最高次项系数为1 1的的n n+1+1次多项式，因而：次多项式，因而：又由插值条件（又由插值条件（5-25-2），），R Rn n(x xi i)=0)=0(i i=0,1,=0,1,n n)，故函数，故函数(t t)在区间在区间 a a,b b 内至少有内至少
19、有n n+2+2个零点个零点x x,x x0 0,x x1 1,x xn n。由罗尔。由罗尔（RolleRolle）中值定理，函数中值定理，函数在在(a a,b b)内至少有内至少有n n+1+1个个零点零点。反复使用。反复使用RolleRolle中值定理，可以得出：中值定理，可以得出：第14页/共63页5-15插值多项式的误差估计（续）于是有：于是有：所以：所以：当当x x=x xi i (i i=0,1,=0,1,n n)，时，上式自然成立，因此，上式对，时，上式自然成立，因此，上式对 a a,b b 上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估
20、计。第15页/共63页5-16插值余项定理定理定理5.15.1设设x x0 0,x x1 1,x xn n是区间是区间 a a,b b 上的互异节点，上的互异节点，n n(x x)是过是过这组节点的这组节点的n n次插值多项式。如果次插值多项式。如果f f(x x)在在 a a,b b 上上n n+1+1次连续可导，则对次连续可导，则对 a a,b b 内任意点内任意点x x，插值余项为：，插值余项为：观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（TaylorTaylor）余项有相似之外。事实上，插值余项（余项有相似之外。事实上，插值余项（5-45-4
21、）的导出过程与）的导出过程与TaylorTaylor余项余项的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研究用多项式近似一个函数的误差。只是究用多项式近似一个函数的误差。只是TaylorTaylor多项式多项式要求要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不同点上函数值相等。同点上函数值相等。第16页/共63页5-17插值余项定理（续）另外，从余项另外，从余项R Rn n(x)(x)中的中的 n+1n+1(x)(x)知，当点知，当点x x位于位于x x0 0,x x1 1,x xn n的中部时，比较小
22、，精度要高一些；而位于两端时，精度的中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度要差一点；若要差一点；若x x位于位于x x0 0,x x1 1,x xn n的外部，一般称为外插，的外部，一般称为外插，此时精度一般不理想，使用时必须注意。此时精度一般不理想，使用时必须注意。为更好理解误差估计式（为更好理解误差估计式（5-45-4），来看一下，若），来看一下，若f f(x x)为一为一个个n n次多项式，对于区间次多项式，对于区间 a a,b b，从上选取，从上选取n n+1+1个点个点x xi i(i i=0,1,2=0,1,2,n n)，由，由y yi i=f f(x xi i)可得一组
23、点可得一组点(x xi i,y yi i)(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)，由它们按，由它们按插值条件（插值条件（5-25-2）构成一个）构成一个n n次插多项式次插多项式 n n(x x)，问，问f f(x x)（n n次次多项式）与多项式）与 n n(x x)之间相差多少之间相差多少(n n(x x)f f(x x)？第17页/共63页5-181.3 Lagrange插值多项式 对对(x xi i,y yi i)(i=0,1,2,)(i=0,1,2,n n)按插值条件（按插值条件（5-25-2）构造）构造n n次插次插值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下值多项式，有几
24、种方法，可得相应的插值多项式，下面从最简单的情形开始。面从最简单的情形开始。n n=1=1时，只有两个节点，时，只有两个节点，x x0 0,x x1 1，对应于，对应于y y0 0,y y1 1，由前所，由前所述，插值多项式应设为述，插值多项式应设为 1 1(x x)=)=a a0 0+a a1 1x x，且满足插值条件，且满足插值条件：所以，所以，n n=1=1时两个节点的插值多项式为：时两个节点的插值多项式为：（紧接下屏）（紧接下屏）第18页/共63页5-19Lagrange插值多项式（续1）其几何意义，就是以过两点其几何意义，就是以过两点(x x0 0,y y0 0)，(x x1 1,y
25、 y1 1)的直线的直线y=y=1 1(x)(x)近似曲线近似曲线y y=f f(x x)，故这种插值又称为，故这种插值又称为线性插值线性插值，如图如图5-35-3所示所示：x图图5-35-3 x x0 0 x x1 1由于由于 1 1(x)(x)为直线，由过两点的直线的点斜式可得：为直线，由过两点的直线的点斜式可得：第19页/共63页5-20Lagrange插值多项式（续2）显然，显然，1 1(x)(x)，N N1 1(x)(x)与与L L1 1(x x)都是同一条直线，应相同，都是同一条直线，应相同，也可以验证也可以验证 1 1(x)(x)，N N1 1(x x)和和L L1 1(x x)
26、满足插值条件（满足插值条件（5-25-2）。）。线性插值多项式的上述几种形式中，式（线性插值多项式的上述几种形式中，式（5-65-6）与式）与式（5-75-7）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到）由于形式上较简单，将以它们为基础，推广到n n+1+1个节点的一般情况，分别得到个节点的一般情况，分别得到牛顿插值多项式牛顿插值多项式N Nn n(x)(x)和和拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式L Ln n(x)(x)。为了将两点插值公式为了将两点插值公式L L1 1(x x)推广到一般情况，引入推广到一般情况，引入插值基函数插值基函数l l0 0(x x)，l l1 1(x x)，则：，则
27、：L L1 1(x x)是两个函数值的线性是两个函数值的线性组合，组合系数为组合，组合系数为两个插值基函数：两个插值基函数：第20页/共63页5-21式（式（5-75-7）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值）揭示了拉格朗日插值方法的特点，即将插值多项式表示为插值节点多项式表示为插值节点x x0 0，x x1 1对应的函数值对应的函数值y y0 0，y y1 1的线性的线性组合，而组合系数就是插值基函数组合，而组合系数就是插值基函数l l0 0(x x),),l l1 1(x x)。所以插值问。所以插值问题可分解为基函数的插值问题。题可分解为基函数的插值问题。插值基函数这里，这里，l l0
28、0(x x),),l l1 1(x x),),l l2 2(x x)是二次插值基函数，应满足插值条件：是二次插值基函数，应满足插值条件：当当n n=2=2时，已知函数表如下，时，已知函数表如下，,求满足插值条件求满足插值条件L L2 2(x xi i)=)=y yi i(i i=0,1,2,)=0,1,2,)的二次的插值多项式的二次的插值多项式L L2 2(x x)xx0 x1x2y(x)y0y1y2第21页/共63页5-22插值基函数（n=2）（续1）按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，按此插值条件，每个基函数的零点都是插值节点，借助零点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，借助零
29、点构造多项式，可写出三个插值基函数。例如，由于由于x x1 1,x x2 2为为l l0 0(x x)的两个零点，故可设：的两个零点，故可设：同理可得：同理可得：第22页/共63页5-23插值基函数（续2）所以：所以：L L2 2(x x)=)=l l0 0(x x)y y0 0+l l1 1(x x)y y1 1+l l2 2(x x)y y2 2满足插值条件（满足插值条件（5-5-2 2）由多项式插值的唯一性知，）由多项式插值的唯一性知，L L2 2(x x)即为所求的二次插即为所求的二次插值多项式，由于其几何意义为以抛物线值多项式，由于其几何意义为以抛物线L L2 2(x x)近似曲线近
30、似曲线y y=f f(x x)，如图，如图5-45-4所示，故又称为抛物插值。所示，故又称为抛物插值。将上述利用插值基函数将上述利用插值基函数求插值多项式的方法推广到求插值多项式的方法推广到一般情况，当节点增多到一般情况，当节点增多到n n+1+1个时，对个时，对(x xi i,y yi i)(i=0,1,2,)(i=0,1,2,n n)设设n n次插值多项式：次插值多项式：xx1x2x0y图图5-45-4第23页/共63页5-24插值基函数（续3）即即l li i(x x)有有n n个零点个零点x xj j(j j=0,1,=0,1,n n,j j i i)且且l li i(x xi i)=
31、1)=1，故它必定是以下形式：，故它必定是以下形式：其中其中l li i(x x)为插值基函数为插值基函数(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)，它们的次数不超过它们的次数不超过n n，且满足：，且满足：第24页/共63页5-25Lagrange插值多项式 代入（代入（5-95-9）式，得）式，得:第25页/共63页5-26Lagrange插值多项式（续）事实上，因为每个插值基函数事实上，因为每个插值基函数 l li i（x)x)(i i=0,1,=0,1,n n)都是都是n n次多项式，次多项式，故故L Ln n(x x)是至多是至多n n次多项式，由次多项式，由:即即L Ln n(x
32、 x)满足插值条件（满足插值条件（5-25-2），称式（），称式（5-105-10）为）为Lagrange插值多项式，具优点是形式对称，含义直观，具优点是形式对称，含义直观，便于在计算机上实现，式（便于在计算机上实现，式（5-45-4）为插值余项。）为插值余项。第26页/共63页5-27插值举例例例1 1 已知函数已知函数 y y=ln=lnx x的函数表如下：的函数表如下：2.63912.63912.56492.56492.48492.48492.39792.39792.30262.3026y=lnxy=lnx14141313121211111010 x x解线性插值线性插值。取两个节点。取
33、两个节点x x0 0=11=11，x x1 1=12=12，插值基函数为，插值基函数为:分别用分别用LagrangeLagrange线性插值和抛物线插值求线性插值和抛物线插值求ln11.5ln11.5的近似值的近似值，并估计截断误差。，并估计截断误差。第27页/共63页5-28例1(续）抛物线插值抛物线插值。取。取x x0 0=11=11，x x1 1=12=12，x x2 2=13=13，插值多项式为，插值多项式为:第28页/共63页5-29插值举例（续）例例2 2 证明证明 上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为均为1 1。显然，函数显
34、然，函数f f(x x)11在这在这n n+1+1个节点取值为个节点取值为1 1，即，即y yi i=f f(x xi i)1(1(i i=0,1,=0,1,n n)由式（由式（5-105-10）知，它的）知，它的n n次次LagrangeLagrange插值多项式为：插值多项式为：对任意对任意x x，插值余项为：，插值余项为：所以：所以：第29页/共63页5-302 牛顿（Newton）插值 LagrangeLagrange插值多项式是从直线的对称式出发，利用插插值多项式是从直线的对称式出发，利用插值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直线的点值基函数的方法得到的，但从计算的角度来说，直
35、线的点斜式（斜式（5-65-6）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计）更为方便，因此，能否由此出发，构造一类计算简单的插值公式呢？算简单的插值公式呢？第30页/共63页5-31牛顿（Newton）插值（续1）这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的这是一个递推公式，它表明当增加一个节点时，新的插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况插值多项式只在原插值多项式基础上增加一项，这种情况如果能推广到如果能推广到n n次多项式次多项式N Nn n(x x)，则，则N Nn n(x x)可写作为：可写作为：上述插值多项式的系数上述插值多项式的系数a a0 0,a a1 1,a an
36、n如何求，是否有如何求，是否有规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：规律？事实上，这些系数的确定，可利用插值条件：第31页/共63页5-32牛顿（Newton）插值（续2）第32页/共63页5-332.1 差商 定义定义5.15.1 类似于类似于高阶导数高阶导数的定义，称的定义，称一阶差商的差商一阶差商的差商:为为f f(x x)关于点关于点x xi i,x xj j,x xk k的的二阶差商二阶差商，记为，记为f f x xi i,x xj j,x xk k。称为称为f f(x x)关于点关于点x x0 0,x x1 1,x xk k的的k k阶差商阶差商。一般地：一般地：第33页/
37、共63页5-34差商计算第34页/共63页5-35差商的性质（1 1）各阶差商均具有线性性质，即若各阶差商均具有线性性质，即若f f(x x)=)=a a (x x)+)+b b (x x)，则对任意常数则对任意常数k k，都有：，都有：（2 2）k k阶差商阶差商f f x x0 0,x x1 1,x xk k 可表成可表成f f(x x0 0),),f f(x x1 1),),f f(x xk k)的线性的线性组合：组合：第35页/共63页5-36差商的性质（续）（3 3）各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变，如差商值不变，如:（4 4
38、）若若f f(x x)是是n n次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商f f x x,x xi i 是是n n 11次次多项式。多项式。事实上，如果事实上，如果f f(x x)是是n n次多项式，则次多项式，则p p(x x)=)=f f(x x)f f(x xi i)也是也是n n次多项式，且次多项式，且p p(x xi i)=0,)=0,x xi i为其零点为其零点p p(x x)可分解为可分解为p p(x x)=()=(x x x xi i)p pn n 1 1(x x)，其中其中p pn n 1 1(x x)为为n n 1 1次多项式，次多项式，所以：所以：为为n n 1 1次多项式
39、。次多项式。第36页/共63页5-37差商表的计算计算各阶差商，可以按照下表进行：计算各阶差商，可以按照下表进行：表表5-15-1x xi if f(x xi i)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商x x0 0f f(x x0 0)x x1 1f f(x x1 1)f f x x0 0,x x1 1 x x2 2f f(x x2 2)f f x x1 1,x x2 2 f f x x0 0,x x1 1,x x2 2 x x3 3f f(x x3 3)f f x x2 2,x x3 3 f f x x1 1,x x2 2,x x3 3 f f x x0 0,x x
40、1 1,x x2 2,x x3 3 x x4 4f f(x x4 4)f f x x3 3,x x4 4 f f x x2 2,x x3 3,x x4 4 f f x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 f f x x0 0,x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 x x5 5f f(x x5 5)f f x x4 4,x x5 5 f f x x3 3,x x4 4,x x5 5 f f x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5 f f x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5 第37页/共63页5-382.2 New
41、ton插值公式 由各阶差商的由各阶差商的定义，依次可定义，依次可得得:记：记：（紧接下屏）（紧接下屏）第38页/共63页5-39Newton插值多项式及其余项显然，显然，N Nn n(x x)是至多是至多n n次的多项式。而由：次的多项式。而由：即得即得f f(x xi i)=)=N Nn n(x xi i)()(i i=0,1,=0,1,n n)。这表明。这表明N Nn n(x x)满足插值满足插值条件（条件（5-25-2），因而它是），因而它是f f(x x)的的n n次插值多项式。这种次插值多项式。这种形式的插值多项式称为形式的插值多项式称为Newton插值多项式。所需差插值多项式。所需
42、差商为表商为表5-15-1第一条斜线上的含第一条斜线上的含x x0 0的各阶差商。的各阶差商。Newton插值的优点是：每增加一个节点，插每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即：值多项式只增加一项，即：因此便于递推运算。而且因此便于递推运算。而且NewtonNewton插值的计算量小于插值的计算量小于LagrangeLagrange插值。插值。第39页/共63页5-40Newton插值多项式及其余项（续）由插值多项式的唯一性可知，由插值多项式的唯一性可知，n n次次NewtonNewton插值多插值多项式与项式与n n次次LagrangeLagrange插值多项式是相等的，即插值多项式是相等
43、的，即N Nn n(x x)=)=L Ln n(x x)，它们只是表示形式不同。因此，它们只是表示形式不同。因此NewtonNewton余项与余项与LagrangeLagrange余项也是相等的，即：余项也是相等的，即：由此可得由此可得差商与导数的关系差商与导数的关系：第40页/共63页5-41Newton插值多项式的计算 表表5-25-2 NewtonNewton插值多项式可按表插值多项式可按表5-25-2计算。计算。x xi iy yi i=f f(x xi i)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商n n阶差商阶差商 x x0 0y y0 0 1 1x x1 1y y1 1f f x x0 0
44、,x x1 1 x x-x x0 0 x x2 2y y2 2f f x x1 1,x x2 2 f f x x0 0,x x1 1,x x2 2 x x3 3y y3 3f f x x2 2,x x3 3 f f x x1 1,x x2 2,x x3 3 x xn ny yn nf f x xn n-1-1,x xn n f f x xn n-2-2,x xn n-1-1,x xn n f f x x0 0,x x1 1,x xn n n n次次NewtonNewton插值多项式插值多项式N Nn n(x x)为表为表5-25-2中对角线上的差商值中对角线上的差商值与右端因子乘积的和。与右端
45、因子乘积的和。第41页/共63页5-42Newton插值公式计算举例例例33用用NewtonNewton插值公式计算例插值公式计算例1 1中的中的ln11.5ln11.5。解解 如果仍取点如果仍取点x x0 0=11,=11,x x1 1=12,=12,x x2 2=13,=13,作抛物线插值，作抛物线插值，按表按表5-25-2计算，结果如下：计算，结果如下：x xi iy yi i=lnlnx xi i一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商 11112.39792.3979 1 112122.48492.48490.08700.0870 x x-11-1113132.56492.56490.080
46、00.0800-0.0035-0.0035(x x-11)(-11)(x x-12)-12)第42页/共63页5-43Newton插值公式计算例3续 若加节点若加节点x x=10,14,=10,14,lnln10=2.3026,10=2.3026,lnln14=2.639114=2.6391，用，用lnln x x的的四次四次NewtonNewton插值多项式近似插值多项式近似,则则:x xi iy yi i=f f(x xi i)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商 1 10 02.30262.3026 1 111112.39792.39790.09530.095
47、3 x x-10-101 12 22.48492.48490.08700.0870-0.00415-0.00415 (x x-10)(-10)(x x-11)-11)1 13 32.56492.56490.08000.0800-0.00350-0.003500.000220.00022 1 14 42.63912.63910.07420.0742-0.00290-0.002900.000200.00020-0.00005-0.00005 按表按表5-25-2计算结果如下计算结果如下:第43页/共63页5-442.3 差分上面讨论的是节点任意分布的上面讨论的是节点任意分布的NewtonNewto
48、n插值公式，但在插值公式，但在实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节实际应用中，经常碰到等距节点的情形，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，这时，点之差（称为步长）为常数，这时，NewtonNewton插值公式插值公式的的形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差形式会简单一些，而关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。商）可用函数值之差（差分）来表示，避免了除法运算。定义定义5.25.2 设有等距节点设有等距节点x xk k=x x0 0+khkh(k k=0,1,=0,1,n n)，步长，步长h h为为常数，常数，f fk k=f
49、f(x xk k)，称相邻两个节点，称相邻两个节点x xk k,x xk k+1+1处的函数值的增处的函数值的增量量f fk k+1+1 f fk k(k k=0,1,=0,1,n n-1)-1)为函数为函数f f(x x)在点在点x xk k处以处以h h为步长的为步长的一阶差分，记为一阶差分，记为 f fk k，称为，称为向前差分向前差分：第44页/共63页5-45定义5.2（续）一般，以一般，以k k阶差分定义阶差分定义k k+1+1阶差分：阶差分：常用的差分还有两种：向后差分：第45页/共63页5-46差分的其它种类它们的它们的mm阶差分：阶差分：对向后差分对向后差分第46页/共63页
50、5-47差分计算造表计算时可分别造表计算计算时可分别造表计算：表表5-35-3向前差分表向前差分表 x xk kf fk k=f=f(x xk k)f fk k 2 2f fk k 3 3f fk k 4 4f fk kx x0 0f f0 0 x x1 1f f1 1 f f0 0 x x2 2f f2 2 f f1 1 2 2f f0 0 x x3 3f f3 3 f f2 2 2 2f f1 1 3 3f f0 0 x x4 4f f4 4 f f3 3 2 2f f2 2 3 3f f1 1 4 4f f0 0 第47页/共63页5-48差分计算造表（续1）表表5-45-4x xk k