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1、5.2插值法的基本原理设函数y=f(x)定义在区间a,b上,是a,b上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即 若存在一个f(x)的近似函数 ,满足则称 为f(x)的一个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,称(5.1)式为插值条件,而误差函数R(x)=称为插值余项,区间a,b称为插值区间,插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插(5.1)第1页/共144页插值函数 在n+1个互异插值节点 (i=0,1,n)处与 相等,在其它点x就用 的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用 的
2、值作为f(x)的近似值,不仅希望 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。第2页/共144页满足则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示 第3页/共144页定理5.1n次代数插值问题的解是存在且惟一的证明:设n次多项式是函数 在区间a,b上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,n)。由插值条件:(i=0,1,2,n),可得 第4页/共144页 这是一个
3、关于待定参数 的n+1阶线性方程组,其系数矩阵行列式为 称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xixj（当ij），故V0。根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(5.1)其结果都是相互恒等的。第5页/共144页5.3拉格朗日（Lagrange）插值 为了构造满足插值条件(i=0,1,2,n)的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。线性插值与抛物插值（1）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)在
4、两个互异的点 ，的值，,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。选择参数a和b,使 。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。第6页/共144页线性插值的几何意义:用通过点 和 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为为了便于推广，记 这是一次函数,且有性质 第7页/共144页 与 称为线性插值基函数。且有于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例5.1 已知 ,求 解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值 第8页/共144页（2）抛物插值抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0
5、，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式使满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点 的抛物线 近似代替曲线 ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。第9页/共144页P(x)的参数直接由插值条件决定，即 满足下面的代数方程组：该三元一次方程组的系数矩阵的行列式是范德蒙行列式，当 时，方程组的解唯一。第10页/共144页为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：求二次式 ,使其满足条件：这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:是 的两个零点。于是 再由另一条件 确定系数 从而导出 第
6、11页/共144页类似地可以构造出满足条件：的插值多项式及满足条件：的插值多项式这样构造出来的 称为抛物插值的基函数 取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得 容易看出,P(x)满足条件 第12页/共144页拉格朗日插值多项式 我们看到,两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的已知点,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足即 由条件 ()知,都是n次 的零点,故可设 第13页/共144页其中 为待定常数。由条件 ,可求得于
7、是 代入上式,得称 为关于基点 的n次插值基函数(i=0,1,n)第14页/共144页以n+1个n次基本插值多项式为基础,就能直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数都是n次值多项式,所以他们的线性组合是次数不超过n次的多项式,称形如（5.8）式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 （5.8）第15页/共144页例5.2已知y=f(x)的函数表求线性插值多项式,并计算x=1.5的值X13y12解:由线性插值多项式公式得第16页/共144页例5.3 已知x=1,4,9 的平方根值,用抛物插值公式,求(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x
8、0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(14)(19)(74)(79)*1+(41)(49)(71)(79)*2+(91)(94)(71)(74)*3=2.7p2(x)=第17页/共144页例5.4已知函数y=f(x)在节点上满足xx0 x1x2yy0y1y2求二次多项式p(x)=a0+a1x+a2x2使之满足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系数法,将各节点值依次代入所求多项式,得解上述方程,将求出的a0,a1,a2代入p(x)=a0+a1x+a2x2即得所求二次多项
9、式第18页/共144页例5.5求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式解:由Lagrange插值公式（给定的三个点在一条直线上）第19页/共144页例5.6已知f(x)的观测数据x0124f(x)19233 构造Lagrange插值多项式解四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为第20页/共144页Lagrange插值多项式为为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(5.8)改写成第21页/共144页例5.7已知f(x)的观测数据x1234f(x)0-5-63构造插值多项式解:四个点可以构造三次插值多项式,将数据代入插值公式，有这个例子说明p(x)的项数不超过n+1项
10、，但可以有缺项。第22页/共144页拉格朗日插值算法实现第23页/共144页x0 x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间a,b上用插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)-p(x)则R(x)就是用p(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。插值多项式的误差第24页/共144页定理5.2设f(x)在a,b有n+1阶导数，x0,x1,xn为a,b上n+1个互异的节点,p(x)为满足 p(xi)=f(xi)(i=1,2,n)的n 次插值多项式，那么对于任
11、何x a,b有插值余项其中ab且依赖于x证明(略)第25页/共144页对于线性插值，其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为第26页/共144页例5.8已知 =100,=121,用线性插值估计 在x=115时的截断误差解:由插值余项公式知因为第27页/共144页例5.9已知x0=100,x1=121,x2=144,当用抛物插值求在x=115时的近似值，估计其的截断误差解=第28页/共144页例5.10设f(x)=x4,用余项定理写出节点-1,0,1,2的三次插值多项式解:根据余项定理第29页/共144页第30页/共144页5.4牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用
12、基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。第31页/共144页由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式,都可以表示成函数的线性组合,也就是说,可以把满足插值条件p(xi)=yi(i=0,1,n)的n次插值多项式,写成如下形式其中ak(k=0,1,2,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即（5.12）第32页/共144页可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插
13、值多项式p(x)的另一种表示形式,与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点,且可以节省乘除法运算次数,同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.它满足其中ak(k=0,1,2,n)为待定系数，形如（5.12）的插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。第33页/共144页5.4.1 差商及其性质差商及其性质定义 函数y=f(x)在区间xi,xi+1上的平均变化率自变量之差和因变量之差之比叫差商称为f(x)关于xi,xi+1的一阶差商,并记为fxi,xi+1二阶差商m阶差商第34页/共144页fxi,x
14、j,xk是指fxi,xj,xk=fxj,xk-fxi,xjxk-xi一般的,可定义区间xi,xi+1,xi+n上的n阶差商为5.4.1 差商及其性质差商及其性质第35页/共144页差商表xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3 fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3fx1,x2-fx0,x1x2x0第36页/共144页xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+2002832751256216例5.11
15、 求 f(xi)=x3在节点 x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表第37页/共144页在n+1个节点处各阶差商的计算方法5.4.1差商及其性质第38页/共144页这个性质可用数学归纳法证明性质1函数f(x)的n 阶差商fx0,x1,xn可由函数值f(x0),f(x1),f(xn)的线性组合表示,且5.4.1差商及其性质第39页/共144页fx0,x1=fx1,x0f(x1)-f(x0)x1x0f(x0)-f(x1)x0 x1=性质2 差商具有对称性,即在k阶差商中 任意交换两个节点 和 的次序,其值不变。例如第40页/共144页性质3若fx,x0,x1,xk是x的m 次多项式,
16、则fx,x0,x1,xk,xk+1是x 的m-1次多项式证：由差商定义右端分子为m 次多项式,且当x=xk+1时,分子为0,故分子含有因子xk+1x，与分母相消后，右端为m-1次多项式。第41页/共144页4.4.1差商及其性质性质4若f(x)是n次多项式,则f x,x0,x1,xn恒为0证：f(x)是n次多项式，则f x,x0是n-1次多项式,f x,x0,x1是n-2次多项式,依次递推，f x,x0,x1,xn-1是零次多项式，所以fx,x0,x1,xn0第42页/共144页性质5 k阶差商 和k阶导数之间有下 列关系 这个性质可直接用罗尔（Rolle）定理证明第43页/共144页牛顿(N
17、ewton)插值多项式的系数可根据插值条件推出,即由有这是关于 的下三角方程组,可以求得第44页/共144页一般，用数学归纳法可证明所以n次牛顿(Newton)插值公式为 其余项第45页/共144页为牛顿插值多项式的误差。由插值多项式的存在惟一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式P(x)与牛顿插值多项式Nn(x)实际上是同一个多项式，仅是同一插值多项式的不同表达形式而已，因此得到牛顿插值多项式的误差与拉格朗日插值多项式的误差也完全相等。故有 可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，只要多计算一项，而Nn(x)的各项系数恰好是各阶差商值，很有规律第46页/共144页fx0,x
18、(x-x0)=f(x)-f(x0)f(x)+fx0,x(x-x0)=f(x0)fx1,x0,x(x-x1)=fx0,x-fx1,x0fx0,x+fx1,x0,x(x-x1)=fx1,x0f(x)+(x-x0)fx1,x0=f(x0)+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,x第47页/共144页f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,xfx1,x0,x=(x-x2)fx2,x1,x0,x+fx2,x1,x0f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0+(x-x0)(x-x1)fx2,x1,x0 +(x-x0)(x-x1)(x-x2)fx2,x1,x
19、0,x第48页/共144页Nn(x)Rn(x)如当n=1时，f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,xNn(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0其中Nn(x)称为牛顿插值多项式Rn(x)称为牛顿插值余项第49页/共144页xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3第50页/共144页xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2114293N2(7)=
20、1+(7-1)*0.33333+(7-1)*(7-4)*(-0.01667)=2.69992+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,x+(x-x0)fx1,x0=f(x0)N(x)例 5.12 已知 x=1,4,9 的平方根值，求解：第51页/共144页由建起了差商和导数的关系用导数代替牛顿插值多项式中的差商，有差商和导数的关系也可用罗尔定理证出，余项R(x)=f(x)-P(x)R(xi)=f(xi)-P(xi)=0i=0,1,n第52页/共144页Rn(n)(x)=f(n)(x)-Pn(n)(x)=f(n)(x)-f(x0)+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x
21、2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n)=f(n)(x)-n!fx0,x1,xnRn(xi)=0(i=0,1,.,n)Rn(i)=0(i=0,1,.,n-1)Rn(n)()=0(x0,x1,xn)Rn(n)()=0=f(n)()-n!fx0,x1,xn即R(x)在x0,xn有n+1个零点，根据罗尔定理R(n)(x)在x0,xn有1个零点，设为，即有Rn(n)()=0第53页/共144页增加新节点x，并且f(x)为(n+1)阶可导时，有(x0,x1,xn)(x0,x1,xn,x)|f(x)(n+1)|Mn+1第54页/共144页4.4.1差商及其性质例5.13已知x=
22、0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5,作三次Newton插值多项式。xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商0123132-1-2/3553/25/63/10所求的三次Newton插值多项式为第55页/共144页4.4.1差商及其性质例5.14已知f(x)=x7+x4+3x+1求f20,21,27及f20,21,27,28分析：本题f(x)是一个多项式,故应利用差商的性质解:由差商与导数之间的关系第56页/共144页例5.15 求 并估计其误差解：作函数f(x)=取x0=4,x1=9,x2=6.25,建立差商表xf(x)f xi,xi+1,fxi,xi+1,xi+242936.25 2
23、.5N2(7)=2+(7-4)*0.2+(7-4)*(7-9)*(-0.00808)=2.64848第57页/共144页f 3(x)=Rn(x)在区间 4,9 上，余式近似0.5*10-2,N2(7)=2.64848可舍入为2.65|f(x)(n+1)|Mn+1由第58页/共144页等距节点 xi+1-xi=h，函数在等距节点上的值为y0,y1,yn，称 yi-1=yi-yi-1为函数f(x)在xi-1,xi上的一阶差分。称 2yi-1=yi-yi-1=yi+1-2yi +yi-1为函数f(x)在xi-1,xi+1上的二阶差分。称 kyi-1=k-1yi-k-1yi-1为函数f(x)在xi-1
24、,xi+k-1上的 k 阶差分。当插值节点等距分布时,被插值函数的变化率就可用差分来表示,这时牛顿插值公式的形式更简单,计算量更小第59页/共144页xy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1x2y2x3y3x4y4y0=y1y0y1=y2y1y2=y3y2y3=y4y32y0=y1-y02y1=y2-y12y2=y3-y23y0=2y1-2y03y1=2y2-2y14y0第60页/共144页y0=y1 y0y1=y2 y1y2=y3 y2=y22y1+y02y0=y1-y03y0=2y1-2y0=y32y2+y1(y22y1+y0)=y33y2+3y1y02y1=y2-y1=y32y2+y
25、1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0=3y1-3y0=y43y3+3y2y1-(y33y2+3y1y0)=y44y2+6y24y1+y0(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3结论：各阶差分中函数值的系数正好等于 (a-b)r展开式中的系数第61页/共144页等距节点情况下xi=x0+ih，用差分表示差商：=y1y0h=y01!hfx1,x2=y2y1h=y11!hfx0,x1,x2=fx1,x2-fx0,x1x2x0=y11!hy01!h2h=y1-y02h2=2y02!h2fx1,x2,x3=fx3,x2-fx2,x1x3x1
26、=y21!hy11!h2h=y2-y12!h2=2y12!h2fx0,x1,x2,x3=2y12!h22y02!h23h=2y1-2y02*3h3=3y03!h3ny0n!hnnNn(x)=常量第62页/共144页例5.16 计算 f(x)=x3在等距节点0，1，2，3,4上的各 阶差分值xy y 2y 3y001128327464 4y17193761218660第63页/共144页取间距为h,等距节点 x0 x1 xn 顺序建立牛顿差商公式fx0,x1=y01!hfx0,x1,x2=2y02!h2fx0,x1,x2,x3=3y03!h3Nn(x)=y0+(x-x0)y01!h+(x-x0)
27、(x-x1)2y02!h2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)ny0n!hn牛顿前插公式第64页/共144页Nn(x)Rn(x)因 ,设 ,则第65页/共144页xy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1 y0 x2y2 y1 2y0 x3y3 y2 2y1 3y0 x4y4 y3 2y2 3y1 4y0第66页/共144页向后差分向后差分函数y=f(x),若记y-1=f(x0-h),y-2=f(x0-2h),则各阶向后差分一阶 y0=y0-y-1，y1=y1-y0，y2=y2-y1，二阶 2y0=y0-y-1=y0-y-1-(y-1-y-2)=y0-2y-1+y-2 2y1=y1-y
28、0 =y1-y0-(y0-y-1)=y1-2y0+y-1 K阶 ky0=k-1y0-k-1y-1 ky1=k-1y1-k-1y0 第67页/共144页同样利用向后差分可以得到牛顿向后插值公式其中 ,公式 称之为牛顿向后插值公式余项。第68页/共144页x-1 012y-11311解：建立差分表xy y 2y 3y-1-10121320211 866=-1+1+0+0.375=0.375例5.16 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5)的近似值N3(x)第69页/共144页例5.17 估计用线性插值法计算lg47时的误差限取x0=45,x1=48,=1.671898401解：应用n=1的拉格
29、朗日插值公式x424548lgx1.62324931.65321261.6812413第70页/共144页(45,48)误差限第71页/共144页 插值公式的唯一性及其应用插值公式的唯一性及其应用 插值公式的唯一性 若插值节点相同，则插值公式是唯一的。Pn(x)与Qn(x)有相同的插值节点，令Rn(x)=Pn(x)-Qn(x)对于x=x0,x1,xn,Rn(xi)=Pn(xi)-Qn(xi)=0第72页/共144页许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节点处与被插函数f(x)有相同的函数值p(xi)=f(xi)(i=0,1,2,n),而且要求在有些节点或全部节点上与f(x)的导数值也相等，
30、甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为埃尔米特插值(Hermite)5.5埃尔米特(Hermite)插值第73页/共144页定义定义已知已知 n n+1+1个互异点上个互异点上 的函数值的函数值 和导数值和导数值 ,若存在若存在 一个次数不超过一个次数不超过2 2n n+1+1的多项式的多项式H H(x x)，满足满足 则称则称H H(x x)为为f f(x x)的的2 2n n+1+1次埃尔米特次埃尔米特(HermiteHermite)插插值5.5埃尔米特插值上式给出了2n+2个条件，可惟一确定一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)，采用类似于求Lagrange插值
31、多项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插值多项式H2n+1(x)第74页/共144页次数不超过2n+1次的多项式的形式为：，H2n+1(x)=H(x),H2n+1(x)=a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1由2n+2个条件来确定2n+2个系数a0,a1,a2,a2n+1显然非常复杂,所以要用求Lagrange插值多项式的基函数的方法,求插值基函数i(x)及i(x)(i=0,1,2,n)共有2n+2个,设每一个基函数为次数不超过2n+1次的多项式，且满足条件(i,j=0,1,2,n)第75页/共144页Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式验证：第76页/共144页根
32、据插值条件可求出和H2n+1(x)为满足条件的2n+1次Hermite插值多项式。第77页/共144页定理5.3 满足插值条件 的Hermite插值多项式是惟一的。证:设 和 都满足上述插值条件,令则每个节点 均为 的二重根,即有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式，所以 ，即 惟一性得证。第78页/共144页定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为其中定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法请同学们自行证明 第79页/共144页实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即n=1的情况余项第80页/共144页例
33、5.18已知函数y=f(x)的数据如下表所示,求次数不超过三次的Hermite的插值多项式H3(x)使H3(xi)=yi(i=0,1,2)H3(xi)=yi解所求三次Hermite的插值多项式为第81页/共144页解所求三次Hermite的插值多项式为由插值条件得到以下方程组解上述方程组故得第82页/共144页另解由题意知：x=0是H3(x)的二重零点，故可令H3(x)=x2(ax+b)由H3(-1)=-1H3(-1)=1知b-a=-1a+b=1解之得a=1b=0故有H3(x)=x3微分和积分、差分、差商与求和这几种矛盾相互转化的运算规律如有图所示，表示近似表示互为逆运算。至于如何实现这些基本
34、运算之间的联系和转化，途径是多种多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无穷无尽的第83页/共144页5.6 5.6 分段线性插值分段线性插值 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。考察函数第84页/共144页考察函数右图给出了和 的图像,当n增大时,在两端会发出激烈的振荡,这就是所谓龙格现象。该现象表明,在大范围内
35、使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的第85页/共144页 另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象，采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插值区间分段的方法就是分段线性插值法。第86页/共144页 分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x)。设f(x)在n+1个节点 上的函
36、数值为 ,在每个小区间 (k=0,1,，n）上作线性插值，得 第87页/共144页在几何上就是用折线替代曲线,如右图所示若用插值基函数表示,则在a,b上其中第88页/共144页显然，是分段线性连续函数，且 称S(x)为f(x)的分段线性插值函数。由线性插值的余项估计式知,f(x)在每个子段上有误差估计式其中 第89页/共144页例5.19 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示304560901求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数S(x)解 将插值区间30,90分成连续的三个小区间 30,45,45,60,60,90 则S(x)在区间30,45上的线性插值为第90页/共144
37、页S(x)在区间45,60上的线性插值为S(x)在区间60,90上的线性插值为 第91页/共144页将各小区间的线性插值函数连接在一起，得第92页/共144页5.7 三次样条插值*我们知道,给定n+1个节点上的函数值可以作n次插值多项式,但当n较大时,高次插值不仅计算复杂,而且可能出现Runge现象,采用分段插值虽然计算简单、也有一致收敛性,但不能保证整条曲线在连接点处的光滑性,如分段线性插值,其图形是锯齿形的折线,虽然连续,但处都是“尖点”,因而一阶导数都不存在,这在实用上,往往不能满足某些工程技术的高精度要求。如在船体、飞机等外形曲线的设计中,不仅要求曲线连续,而且要有二阶光滑度,即有连续
38、的二阶导数。这就要求分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数。因此有必要寻求一种新的插值方法,这就是样条函数插值法第93页/共144页 定义5.4.设函数定义在区间a,b上，给定n+1个 节点和一组与之对应的函数值，若函数 满足:（1）在每个节点上满足 S(xi)=f(xi)(i=0,1,n)（2）在a,b上有连续的二阶导数 （3）在每个小区间 xi,xi+1(i=0,1,n-1)上是一个三次多项式。则称S(x)为三次样条插值函数。第94页/共144页其中四个待定系数为 ,子区间共有n个所以要确定S(x)需要4n个待定系数。另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数和 在整个插值区间a,b
39、上连续,则要求它们在各个子区间的连接点 上连续，即满足条件 由样条函数的定义可知,三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则第95页/共144页（1）插值条件 (5.29)（2）连接条件 (5.30)式(5.29),(5.30)共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上 各加一个条件,称为边界条件,常用边界条件有三种类型。第96页/共144页第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：第二种类型：给定两端点f(x
40、)的二阶导数值：作为特例,称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。第三种类型：当f(x)是以为 周期的函数时，则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足当 时，第97页/共144页这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi,xi+1上的表达式S(xi）(i=1,2,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。第98页/共144页设S(x)在节点xi处的二阶导数为因为在子区间xi-1,xi上 是三次多项式
41、,所以 在此小区间上是x的线性函数,且因为,用线性插值,可知其表达式为记 ，则有第99页/共144页其中,Ai,Bi为积分常数,可利用插值条件 确定,即要求Ai,Bi满足并记 ，则得连续两次积分得(5.31)将其代入（5.31）即得 第100页/共144页（5.32）由上讨论可知,只要确定 这n+1个值,就可定出三样条插值函数S(x)。为了求出 ,利用一阶导数在子区间连接点上连续的条件对式(5.32)求导一次,得在区间xi-1,xi上的表达式为（5.33）第101页/共144页也就是在右端点xi上有在左端点xi-1上有将上式中的i-1改为i,即得在子区间xi,xi+1上的表达式 ,并由此得 利
42、用 在内接点的连续性,即就可得到关于参数 的一个方程第102页/共144页（5.34）上式两边同乘以 ,即得方程若记（5.35）第103页/共144页则所得方程可简写成（5.36）即这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定 的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间a,b的两个端点处的边界条件来补充。边界条件的种类很多，常见的有以下3种：第104页/共144页第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值：则可得到包含Mi的两个线性方程,由(5.33)知,S(x)在子区间上的导数为由条件 得 即(5.37)同理,由条件 得 第105页/共14
43、4页(5.38)将式（5.36）和式（5.37）以及式（5.38）合在一起即得确定 的线性方程组(5.39)其中第106页/共144页第二种边界条件:即已知插值区间两端的二阶导数值:,由于在区间端点处二阶导数 ，所以方程（5.36）中实际上只包含有n-1个未知数 ，从而得方程组(5.40)第107页/共144页第三种边界条件:由 与 ，可得 和(5.41)(5.42)(5.43)其中第108页/共144页将式(5.36),(5.41),(5.42)合在一起，即得关于 的线性方程组。(5.44)利用线性代数知识,可以证明方程组（5.39）,（5.40）和（5.44）的系数矩阵都是非奇异的，因此有
44、惟一解。第109页/共144页例5.20 已知的函数值如下：x 1 2 4 5 f(x)1 3 4 2在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（5.40）所示，由已知边界条件,有 则得求解 的方程组为 第110页/共144页根据给定数据和边界条件算出 与则得方程组 第111页/共144页解得又 即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（5.32）知,S(x)在 上的表达式为代入式(5.32)将 代入上式化简后得同理S(x)在 上的表达式为第112页/共144页S(x)在 上的表达式为 故所求的三次样条插值函数S(x)在
45、区间上的表达式为 第113页/共144页 用三次样条函数S(x)逼近f(x)是收敛的,并且也是数值稳定的，但其误差估计与收敛定理的证明都比较复杂，这里只给出结论。定理5.5 设f(x)是a,b上二次连续可微函数,在a,b上,以 为节点的三次样条插值函数S(x)满足，其中 证明（略）第114页/共144页 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。第115页/共144页 5.8.曲线拟合的最小二乘法 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,
46、2,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。第116页/共144页为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求所得的近似
47、曲线能反映数据的基本趋势，如图5-7所示。图5-7 曲线拟合示意图 换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是最小二乘法。第117页/共144页 与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,
48、这就是最小二乘原理。两种逼近概念:插值:在节点处函数值相同.拟合:在数据点处误差平方和最小第118页/共144页 函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同,即 而曲线拟合函数 不要求严格地通过所有数据点 ,也就是说拟合函数 在xi处的偏差(亦称残差）不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势,要求 按某种度量标准最小。若记向量 ,即要求向量 的某种范数 最小,如 的1-范数 或-范数即 第119页/共144页或最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求的2-范数 即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。第120页/
49、共144页（1）直线拟合设已知数据点 ,分布大致为一条直线。作拟合直线 ,该直线不是通过所有的数据点 ,而是使偏差平方和为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取 和 使 有极小值，故 和 应满足下列条件：第121页/共144页即得如下正规方程组(5.45)例5.21 设有某实验数据如下：1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分 布可以用一条直线来近似地描述,设所求的 第122页/共144页拟合直线为 记x1=1.36,x
50、2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963则正规方程组为其中 将以上数据代入上式正规方程组,得解得即得拟合直线 第123页/共144页（2）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。对于给定的一组数据寻求次数不超过m(mN)的多项式，来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和为最小第124页/共144页由于Q可以看作是关于(j=0,1,2,m)的多元函数,故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令得即有第125页/共144页这是关