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1、 第一章 概率统计基础知识北京理工大学珠海学院北京理工大学珠海学院吴浩然吴浩然第一章第一章 概率统计基础知识概率统计基础知识概率基础知识1随机变量及其分布2统计基础知识3参数估计4假设检验5 第一节 概率基础知识事件与概率1概率的古典定义与统计定义2概率的性质及其运算法则31.1.事件与概率事件与概率确定性现象确定性现象随机现象随机现象在一定条件下必然会发生的现象。【如】：水100C沸腾。在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。【如】：（1）掷一枚硬币，出现正面或反面？（2）一批产品中，不合格品的数量；（3）机械加工中出现的误差；样本空间样本空间随机现象一切可能结果（样本点）构成的全体，称为
2、样本空间 。【如】：（1）掷一枚硬币。正面，反面；（2）一批产品中，不合格品的数量。0，1，2，3，；随机事件随机事件随机现象的某些样本点构成的集合，称为事件，用大写英文字母A、B、表示。表示。【如】：（1）掷一颗骰子，出现奇数点。A 1，3，5；事件之间的关系及运算事件之间的关系及运算若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作 。用图形表示为：事件的包含事件的包含AB掷一颗骰子，A表示点数为1，B表示点数小于3，则 。例如例如若 且 ，则称事件B与事件A相等，记作 。事件的相等事件的相等掷一颗骰子，A表示点数小于3，B表示点数为1或2，则 。例如例如若事件A与事件B同时发生，
3、则为事件A与事件B的交，记作 。用图形表示：事件的交事件的交掷一颗骰子，A表示点数为1、2或3,B表示点数为1、3或5，则 表示点数为1或3。例如例如BA两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”是一个事件，称为A与B的并（和），记作 。用图形表示：事件的并事件的并A=1,2,3,B=1,3,5，则 1,2,3,5。例如例如AB事件的差事件的差事件A发生而事件B不发生，称为A与B的差，记作AB。用图形表示：ABA=1,2,3,B=1,3,5，则 AB2，例如例如概率概率事件A发生可能性的数量指标，以P(A)表示。【如】：1.1.如果一个骰子是公平的，那么掷一次骰子会以等可能(概率1/6，6种
4、可能之一)得到1至6点的中的每一个点。2.2.抛一个公平的硬币，则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。定义定义2.2.概率的古典定义与统计定义概率的古典定义与统计定义利用等可能事件，P(A)k/n，其中k 为事件A的样本点数目，n为 的样本点数目。【如】：1.1.如果一个骰子是公平的，那么掷一次骰子会以等可能(概率1/6，6种可能之一)得到1至6点的中的每一个点。2.2.抛一个公平的硬币，则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。概率的古典定义概率的古典定义如果进行N次重复试验，事件A发生的次数为n，我们将频率n/N 看作是事件A的概率。【如】：1.1.刮发票的中奖密封时，大多得到“谢谢”。如
5、果你刮了150张发票，只有3张中奖，你会认为，你的中奖概率大约是3/150=0.02；概率的统计定义概率的统计定义 性质性质；3.3.概率的性质及其运算法则概率的性质及其运算法则条件概率及概率的乘法法则条件概率及概率的乘法法则在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，记作P(A|B)。其中：P(A|B)条件概率条件概率掷一颗骰子，事件A表示点数为3，事件B表示点数为6，则P(A|B)表示第一次骰子的点数为6，第二次点数为3的概率。例如例如独立性和独立事件的概率独立性和独立事件的概率 如果事件A和事件B有如下关系：则称事件A和事件B相互独立。定义定义如果你有一个固
6、定电话和一个手机，假定固定电话出毛病的概率为0.01，而手机出问题的概率为0.05，那么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？例如例如 第二节 随机变量及其分布随机变量1随机变量的分布2随机变量分布的均值、方差3常用分布及中心极限定理41.1.随机变量随机变量表示随机现象各种结果的变量，一般大写英文字母X、Y、Z表示。随机变量随机变量抛一枚硬币，X表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0或1两个值。例如例如2.2.随机变量的分布随机变量的分布随机变量取一切可能值的概率称为概率分布(probability distribution)，简称分布。概率分布可以用各种图或表来表示；一些可以用公式来表示。
7、定义定义掷一颗骰子，随机变量 X 表示出现的点数，X 可取1、2、3、4、5和6六个值，则 X 的分布为：X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6例如例如离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布如果随机变量X只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称X为离散型随机变量。一般列成概率分布表：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 定义定义1.2.性质性质 一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用X 1表示产品为废品，X 0表示产品为合格品。则：X 0 1 P 0.95 0.05例如例如连续型
8、随机变量的分布连续型随机变量的分布随机变量 X 如果能够在一区间内取任何值，则该变量称为在此区间内是连续的，其分布称为连续型概率分布，用密度函数 表示。定义定义逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。3.3.随机变量分布的均值、方差随机变量分布的均值、方差均值用来表示分布的中心位置，用 表示。其中如：X 0 1 P 0.95 0.05均值均值，离散分布，连续分布方差用来表示分布的离散程度，用 表示。其中如：X 0 1 P 0.95 0.05方差方差，离散分布，连续分布（1）（2）（3）（4）均值、方差的性质均值、方差的性质4.4.常见的离散分布常见的离散分布如果随机变量 X 的密度
9、函数为：X 0 1 P p 1-p则称随机变量 X 服从二项分布，记为：其均值、方差分别为：、二项分布二项分布1.每一个进入某商场的顾客是否购买某商品；2.每一个新出婴儿的性别；应用应用如果随机变量 X 取 x的概率为：则称随机变量 X 服从泊松分布，记为：其均值、方差分别为：、泊松分布泊松分布1.在一定时间内，操作系统发生的故障数；2.一平方米玻璃上气泡的个数；应用应用常见的连续分布常见的连续分布如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution)，记为：正态分布正态分布正态分布的曲线及性质正态分布的曲线及性质（1）标准差不变，不同的均值，
10、正态分布曲线的形状相同，位置不同；均值不变，不同的标准差，正态分布曲线的位置相同，形状不同；（2）（3）正态分布曲线正态分布曲线其它连续分布其它连续分布如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从均匀分布，记为：其均值、方差分别为：均匀分布均匀分布均匀分布密度函数曲线如果随机变量 X 的密度函数为：则称随机变量 X 服从指数分布，记为：其均值、方差分别为：指数分布指数分布指数分布的密度函数曲线（0，0）中心极限定理中心极限定理 不论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样本均值 的分布都大致服从正态分布：第三节 统计基础知识总体与样本1直方图2统计量3抽样分布41.1.总体与样本总体
11、与样本总体：总体：研究对象的全体；个体：个体：构成总体的每个单位；总体与个体总体与个体某饮料生产企业用自动罐装机罐装饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。总体：某一批饮料；个体：该批中每一罐饮料；例如例如从总体中抽取部分个体所组成的集合。如：某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。现抽得10罐，测得其含量为(单位:ml)495,510,498,503,492,502,505,512,497,506。样本：10罐饮料的含量。样本样本2.2.直方图直方图200
12、7年某地区年某地区农村居民家庭纯收入数据农村居民家庭纯收入数据按纯收入分组（元）户数比重（%）500以下500100010001500150020002000250025003000300035003500400040004500450050005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94频数（频率）表频数（频率）表2007年某地区年某地区农村居民家庭纯收入农村居民家庭纯收入10001000500500150015002000200025002500300030003500350040004000 450045005000500
13、0结论结论结论结论：收入较少的家庭占据多数，而收入较高的家庭则占少数。纯收入纯收入(元元)252520201515105 5户户数数比比重重(%)直方图：直方图：1.用于表示连续性变量的频数（频率）分布；2.横轴表示分组，纵轴表示频数或频率。3.3.统计量统计量不含总体未知参数的样本函数称为统计量。如：某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料，每罐标准含量为500ml，为保证产品的稳定性，需要每隔一定时间检查每罐饮料的含量情况。现抽得10罐，测得其含量为(单位:ml)495,510,498,503,492,502,505,512,497,506。统计量统计量描述样本集中位置的统计量描述样本集中位
14、置的统计量（1 1）样本均值：）样本均值：设样本数据为：x1，x2，xn，样本均值的计算公式为：（2 2）中位数：）中位数：样本数据排序后，处于中间位置上的值，用Me表示；（3 3）众数：）众数：样本数据中出现次数最多的值，用Mod表示；描述样本分散程度的统计量描述样本分散程度的统计量（1 1）极差：）极差：样本数据中的最大值与最小值之差：R=max(xi)-min(xi)（2 2）方差与标准差：）方差与标准差：（3 3）变异系数：）变异系数：用于对不同总体或同一总体不同量纲数据离散程度的比较，目的是消除数据水平高低和量纲的影响；4.4.抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 某个样本统计量的抽样分
15、布，从理论上说就是在抽取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的频数分布或概率分布。重复抽样分布重复抽样分布 样本均值的分布样本均值的分布 一个总体5，8，7，4。对该总体进行容量为2的重复抽样，则样本个数有16个，如下表所示：5 58 87 74 45 556.5 64.58 86.587.567 767.575.54 44.565.54样本均值的频数分布表样本均值的频数分布表样本均值的直方图样本均值的直方图中心极限定理中心极限定理 不论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样本均值 的分布都大致服从正态分布：中心极限定理中心极限定理三大抽样分布三大抽样分布t 分布分布0分布密度曲
16、线 分布分布分布的密度曲线F 分布分布分布密度函数曲线 第四节 参数估计点估计1区间估计2参数估计参数估计某企业某天生产了6000个灯泡，从中抽取10个进行寿命测试，得到的数据如下：(单位：小时)1050 1080 1100 1030 1120 1200 1210 1130 1170 1040 问：该天生产的灯泡平均寿命大约是多少？引例引例 根据样本统计量估计总体的未知参数，这类问题称为参数估计。定义定义 点估计：点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。区间估计：区间估计：依据样本把总体的参数确定在某一范围内，要求它以足够大的概率包含待估参数真值。两种方法两种方法1.1.点估计点
17、估计-矩估计法矩估计法利用样本的数字特征作为总体数字特征的估计，即用样本的均值 估计总体的均值 ，用样本的方差 估计总体的方差 ，其中：定义定义某企业某天生产了6000个灯泡，从中抽取10个进行寿命测试，得到的数据如下：(单位：小时)1050 1080 1100 1030 1120 1200 1210 1130 1170 1040 请用矩估计法估计该天生产灯泡的平均寿命。解：样本的平均寿命：所以，该天生产灯泡平均寿命的矩估计量为1113小时。例例2.2.区间估计区间估计 依据样本把总体的未知参数确定在某一范围内，要求它以足够大的概率包含待估参数真值。区间估计区间估计区间区间总体未知参数总体未知
18、参数区间下界区间下界区间上界区间上界单一总体均值的区间估计总结单一总体均值的区间估计总结 课堂练习课堂练习 某商店抽出36名顾客组成一个随机样本，调查他们在一段时间内对某种商品的需求量。根据以往的经验，这种商品的需求量服从正态分布，标准差为2，从调查结果算出样本平均数为20，试求总体平均数为95%的置信区间。（）求解过程求解过程1.已知 n=36，=2；2.样本均值 20；3.由1-=0.95，查标准正态分布概率表得：4.在95%的置信水平下的置信区间为：5.即在95%的置信水平下，该种商品平均需求量的置信区间为19.3520.65课堂练习课堂练习 一房地产公司在某日随机抽取16位二手房购买者
19、，得到二手房交易价格如下表所示（万元）。根据以往交易情况得知：二手房交易价格服从正态分布，但总体方差未知。试在95%的置信水平下估计该日二手房交易平均价格的置信区间。（）63.422.6554879.437.542.84836.52745.233.54136.230.549求解过程求解过程1.已知n=16；计算得到样本均值 ；2.样本标准差S=14.175；3.由1=0.95，查表得：4.于是在95%的置信水平下的置信区间为：5.在95%的置信水平下，二手房价格的置信区间为35.923万元51.027万元；即该公司可以有95%的把握认为，二手房交易价格介于35.923万元到51.027万元之间。