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1、第三节第三节 视觉系统的几何特性视觉系统的几何特性 在任何特定的理论中，只有其中在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。包含数学的部分才是真正的科学。康德 相关的数学基础相关的数学基础o齐次坐标齐次坐标o射影几何射影几何o2D变换变换o3D变换变换o相机内参数相机内参数1 1、点的齐次坐标、点的齐次坐标二个齐次坐标如相差一个非零因子，则这二二个齐次坐标如相差一个非零因子，则这二个齐次坐标相同个齐次坐标相同2 2、无穷远直线上的点、无穷远直线上的点如点如点 为无穷远直线上的点，为无穷远直线上的点，则则 t t=0=01.1.齐次坐标齐次坐标3 3、直线的齐次坐标表示、直线的齐次
2、坐标表示 直线方程可表示为直线方程可表示为 规范化直线参数向量后，规范化直线参数向量后，直线的齐次坐标直线的齐次坐标可表示为：可表示为：1.1.齐次坐标齐次坐标4 4、通过二点的直线、通过二点的直线 如果如果 为二图象点，则通过为二图象点，则通过该二点的直线的参数向量为：该二点的直线的参数向量为：L Lx x1 1x x2 21.1.齐次坐标齐次坐标5 5、平行线可以相交、平行线可以相交 1.1.齐次坐标齐次坐标笛卡尔坐标系下，两条直线的方程为：笛卡尔坐标系下，两条直线的方程为：齐次坐标系下，两条直线的方程为：齐次坐标系下，两条直线的方程为：可以解出可以解出w=0w=0，即两条直线相交于无穷远
3、点。，即两条直线相交于无穷远点。6 6、二次圆锥曲线的齐次坐标表示为：、二次圆锥曲线的齐次坐标表示为：1.1.齐次坐标齐次坐标2.2.2D变换变换2D 变换的基本组合变换的基本组合2D2D变换变换 2D 2D平移变换可描述为：平移变换可描述为：或者：或者：2D 2D旋转、平移变换可描述为：旋转、平移变换可描述为：2D2D变换变换 2D 2D旋转、平移、尺度变换可描述为：旋转、平移、尺度变换可描述为：2D 2D仿射变换可描述为：仿射变换可描述为：2D 2D透视变换可描述为：透视变换可描述为：2D2D变换的层次变换的层次3.3.3D变换变换3D 变换的层次变换的层次三维刚体变换三维刚体变换其中其中
4、 p p点在第一个视场中的坐标点在第一个视场中的坐标p1p1通过旋转和平移，通过旋转和平移，变换到第二个视场中的坐标变换到第二个视场中的坐标p2p2旋转矩阵旋转矩阵 用直角坐标系中的欧用直角坐标系中的欧拉角描述空间角拉角描述空间角 光轴俯仰角光轴俯仰角(pitch)(pitch)：绕绕x x轴的旋转角轴的旋转角 光轴偏航角光轴偏航角(yaw)(yaw)：绕：绕y y轴的旋转角轴的旋转角 光轴扭转角光轴扭转角(twist)(twist)：绕绕z z轴的旋转角轴的旋转角旋转矩阵旋转矩阵数值解不稳定性数值解不稳定性单位正交矩阵单位正交矩阵旋转轴旋转轴o坐标系的旋转可视为逆时针绕单位矢量坐标系的旋转可
5、视为逆时针绕单位矢量 的旋转的旋转.o直接使用旋转轴和旋转角来产生令人满直接使用旋转轴和旋转角来产生令人满意的数值解意的数值解 旋转矩阵旋转矩阵基于齐次坐标系，基于齐次坐标系，3D3D旋转可以由坐标轴旋转可以由坐标轴n n和转角和转角描描述，或者等效描述为：述，或者等效描述为：旋转矩阵旋转矩阵对于向量对于向量v v旋转旋转9090度度,等效于做一次叉乘：等效于做一次叉乘：当转角当转角很小时，可以简化为很小时，可以简化为单位四元数单位四元数o单位圆上任意一点对应一个旋转角单位圆上任意一点对应一个旋转角o单位球上任意一点对应两个旋转角单位球上任意一点对应两个旋转角 四元数四元数o四维单位球可以表示
6、三维空间中的三四维单位球可以表示三维空间中的三个旋转角个旋转角 一个旋转矩阵对应四维单位球上一点一个旋转矩阵对应四维单位球上一点四元数四元数 设旋转轴的单位矢量为设旋转轴的单位矢量为 绕该轴逆时针旋转角绕该轴逆时针旋转角 的单位四元数为：的单位四元数为：则旋转轴单位矢量可以表示为：则旋转轴单位矢量可以表示为：四元数四元数o四元数乘法定义四元数乘法定义o刚体变换可以很方便地用七个元素表示刚体变换可以很方便地用七个元素表示4.射影几何射影几何o一般的成象系统通常将三维场景变换成二维一般的成象系统通常将三维场景变换成二维灰度或彩色图像，这种变换可以用一个从三灰度或彩色图像，这种变换可以用一个从三维空
7、间到二维空间的映射来表示：维空间到二维空间的映射来表示：o四维空间四维空间o五维空间，更高维空间五维空间，更高维空间透视投影透视投影 o透视投影透视投影(perspective projection)(perspective projection)是最常用的成像是最常用的成像模型，可以用针孔（模型，可以用针孔（pinholepinhole）成像模型来近似表示）成像模型来近似表示 o透视投影方程：透视投影方程：o点在图像平面中的位置点在图像平面中的位置：o正交投影（正交投影（orthogonal projectionorthogonal projection）指用平行于光）指用平行于光轴的光将场
8、景投射到图像平面上轴的光将场景投射到图像平面上,因此也称为平行因此也称为平行投影（投影（parallel projectionparallel projection）o投影方程为：投影方程为：正交投影正交投影 5.5.相机内部几何参数相机内部几何参数o单应矩阵单应矩阵（Homography matrix）o内部矩阵内部矩阵（Intrinsic matrix）2D像素与像素与3D场景点关系场景点关系Oc：镜头光心镜头光心Cs：图像坐标系原点图像坐标系原点Sx,Sy：像素间距像素间距Xs,Ys：图像平面图像平面2D像素与像素与3D场景点关系场景点关系Oc：镜头光心镜头光心Cs：图像坐标系原点图像坐
9、标系原点Sx,Sy：像素间距像素间距Xs,Ys：图像平面图像平面Rs：3D旋转旋转Ms：单应矩阵单应矩阵摄摄摄摄像像像像机机机机的的的的内内内内部部部部参参参参数数数数n n从世界坐标系到计算机图像坐标系的变换从世界坐标系到计算机图像坐标系的变换从世界坐标系到计算机图像坐标系的变换从世界坐标系到计算机图像坐标系的变换 P Pu u(X(Xu u,Y,Yu u)X X X Xi i i iY Y Y Yi i i iOOi iY YX XZ ZX XWWY YWWZ ZWW(X XWW,Y YWW,Z ZWW )P(X,Y,Z)P(X,Y,Z)或或P PP Pu u(X(Xu u,Y,Yu u)
10、P Pd d(X(Xd d,Y,Yd d)X Xi i-Y Yi i平平面面世界坐标系世界坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系OOWWOOX X X Xi i i iY Y Y Yi i i i假想的图像坐标轴假想的图像坐标轴假想的图像坐标轴假想的图像坐标轴X X X Xi i i iY Y Y Yi i i iX X X Xi i i iY Y Y Yi i i i与与与与实实实实际际际际图图图图像像像像一一一一致致致致的的的的图图图图像坐标轴像坐标轴像坐标轴像坐标轴X X X Xi i i iY Y Y Yi i i iOOOOi i i i实际图像实际图像实际图像实际图像的左上角的左上角的左上
11、角的左上角顺时针顺时针顺时针顺时针转转转转0 0 0 0平移平移平移平移 =y yx xc cc cT TX X X Xi i i iY Y Y Yi i i iOOOOi i i ic cx xc cy yP P P Pd dd d(X(X(X(Xd dd d,Y,Y,Y,Yd dd d)P P P Pd dd d(X X X Xd dd d,Y Y Y Yd dd d)(0,0)(0,0)(M-1,N-1)(M-1,N-1)X X X Xf f f fY Y Y Yf f f fOOOOf f f fP Pd d(X(Xf f,Y,Yf f)P Pd d(X(Xd d,Y,Yd d)X X
12、 X Xi i i iY Y Y Yi i i iOOi iX X X Xi i i iY Y Y Yi i i i数字化数字化数字化数字化摄摄摄摄像像像像机机机机的的的的内内内内部部部部参参参参数数数数(M-1,N-1)(M-1,N-1)X X X Xf f f fY Y Y Yf f f fOOOOf f f fP Pd d(X(Xf f,Y,Yf f)(0,0)(0,0)d d d dx x x x .X.X.X.X方向上相邻像素间距方向上相邻像素间距方向上相邻像素间距方向上相邻像素间距 .X.X.X.X方向上实际的像素间距方向上实际的像素间距方向上实际的像素间距方向上实际的像素间距N
13、N N Ncx cx cx cx .X.X.X.X方向上的像素数方向上的像素数方向上的像素数方向上的像素数N N N Nfx fx fx fx .X.X.X.X方向上采样的像素数方向上采样的像素数方向上采样的像素数方向上采样的像素数d dd dN NN Nx xx xcxcxfxfx=xxd d s s s sx x x x .模糊度因子模糊度因子模糊度因子模糊度因子(x x x x向尺度补偿因子向尺度补偿因子向尺度补偿因子向尺度补偿因子)d d d dx x x xxxd d 考虑考虑考虑考虑s s s sx x x x摄摄摄摄像像像像机机机机的的的的内内内内部部部部参参参参数数数数相机内部
14、参数矩阵相机内部参数矩阵K1.1.摄像机常数摄像机常数：投影中心到摄像机平面的：投影中心到摄像机平面的距离，近似于透镜焦距长度距离，近似于透镜焦距长度2.2.主点主点：光轴与图像平面的交点，接近图：光轴与图像平面的交点，接近图像中心点像中心点3.3.透镜变形系数透镜变形系数 径向变形：光线弯曲径向变形：光线弯曲 偏心：透镜中心偏离光轴偏心：透镜中心偏离光轴4.4.比例因子比例因子：行和列上的单位距离：行和列上的单位距离径向变形对称性示意图径向变形对称性示意图径向变形导致图像变形径向变形导致图像变形径向径向变形模型变形模型o变形的修正量用多项式建模变形的修正量用多项式建模 o图像坐标可以修正为真实坐标图像坐标可以修正为真实坐标 径向变形径向变形切向变形切向变形