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1、2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法第1页/共20页第2页/共20页引例引例：四边形：四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，求证：求证：AB=CDAB=CD，BC=DABC=DAA AB BC CD D1 13 34 42 2证明证明 连结连结ACAC，因为四边形，因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形所以所以AB/CDAB/CD，BC/DABC/DA又又AC=CAAC=CA故故 AB=CDAB=CD，BC=DABC=DA本题条件本题条件已知定义已知定义已知定理已知定理已知公理已知公理本题结论本题结论从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发
2、，以已知定义、公理、定理等为依据为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)第3页/共20页从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:特点:“由因导果”第
3、4页/共20页例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:第5页/共20页符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言
4、转换找出隐含条件找出隐含条件例例2 2：在：在中，三个内角、对应中，三个内角、对应的边分别为的边分别为a a、b b、c c，且、成等差数，且、成等差数列，列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边为等边三角形三角形第6页/共20页第7页/共20页分析分析基本不等式：基本不等式：证明证明:要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立所以所以 成立成立(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.第8页/共20页 从要证明的结论出发，逐步从要证明的结论出发，逐步寻求寻求推证过程中，推证过程中，使每一步结论成立的使每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把，
5、直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：这个明显成立的条件可以是：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等执果索因执果索因即：即：要证结果要证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P第9页/共20页解解:要证要证只需证只需证展开展开,只需证只需证只需证只需证 2125因为因为 210,b0)(a0,b0)的证明的证明.证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需
6、证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立还原成还原成综合法综合法：第11页/共20页例例2.如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线,垂垂足为足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明:要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只
7、需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以.AF.AFSCSC成立成立第12页/共20页例例3:设设a,b,ca,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,且且s2=2ab,试证：试证：s 2a解解:欲证欲证s2a,只需证只需证即证即证bs,也即证也即证即证即证ba+c因为因为a,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,所以所以ba+c成立成立.故故s b a+c b 所以所以 cosB0 cosB0 因此因此第14页/共20页证证:第15页/共20页第16页/共20页用用P表示已知条件表示已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用
8、Q表表示要证的结论示要证的结论,则上述过程可用框图表示为则上述过程可用框图表示为:第17页/共20页小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性.第18页/共20页 3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点.第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页