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1、多元统计分析多元统计分析（Multivariate Statistical Analysis)多元统计分析多元统计分析uu课程性质课程性质课程性质课程性质：专业必修课专业必修课专业必修课专业必修课uu授课对象授课对象授课对象授课对象：统计学、金融学专业三年级以上学生统计学、金融学专业三年级以上学生统计学、金融学专业三年级以上学生统计学、金融学专业三年级以上学生uu使用教材使用教材使用教材使用教材：于秀林于秀林于秀林于秀林 任雪松任雪松任雪松任雪松 编著编著编著编著 多元统计分析多元统计分析多元统计分析多元统计分析中国统计出版社中国统计出版社中国统计出版社中国统计出版社uu学习指导书学习指导书学
2、习指导书学习指导书：自编自编自编自编 课课 前前 说说 明明一、课程设置目的一、课程设置目的一、课程设置目的一、课程设置目的：通过本课程的学习，使学生在理解多元统计的基本通过本课程的学习，使学生在理解多元统计的基本通过本课程的学习，使学生在理解多元统计的基本通过本课程的学习，使学生在理解多元统计的基本理论、方法的基础上，基本掌握多元分析的应用技能，理论、方法的基础上，基本掌握多元分析的应用技能，理论、方法的基础上，基本掌握多元分析的应用技能，理论、方法的基础上，基本掌握多元分析的应用技能，树立依据样本信息进行统计分析的意识，领会其基本思树立依据样本信息进行统计分析的意识，领会其基本思树立依据样
3、本信息进行统计分析的意识，领会其基本思树立依据样本信息进行统计分析的意识，领会其基本思路，掌握和运用其基本方法。路，掌握和运用其基本方法。路，掌握和运用其基本方法。路，掌握和运用其基本方法。二、二、课程要求课程要求课程要求课程要求 重点解释多元统计分析理论和方法的直观意义及应重点解释多元统计分析理论和方法的直观意义及应重点解释多元统计分析理论和方法的直观意义及应重点解释多元统计分析理论和方法的直观意义及应用条件，对其中的理论方法和培养学生动手操作能力相用条件，对其中的理论方法和培养学生动手操作能力相用条件，对其中的理论方法和培养学生动手操作能力相用条件，对其中的理论方法和培养学生动手操作能力相
4、并重，并使学生能够运用计算机软件完成分析计算，为并重，并使学生能够运用计算机软件完成分析计算，为并重，并使学生能够运用计算机软件完成分析计算，为并重，并使学生能够运用计算机软件完成分析计算，为今后的研究和实践奠定基础。今后的研究和实践奠定基础。今后的研究和实践奠定基础。今后的研究和实践奠定基础。三、学习方法：三、学习方法：1、课堂教学与自主学习相结合、加、课堂教学与自主学习相结合、加以适当的讨论。以适当的讨论。2、要做作业和练习，消化课堂内容。、要做作业和练习，消化课堂内容。特别是通过上机练习达到对知识的理解和特别是通过上机练习达到对知识的理解和运用，方熟能生巧。运用，方熟能生巧。3、广泛阅读
5、参考文献，借助各种资、广泛阅读参考文献，借助各种资源辅助学习。源辅助学习。4、互相帮助，共同进步。、互相帮助，共同进步。课课 前前 说说 明（续）明（续）四、教学和考核安排四、教学和考核安排:1.1.课程学时课程学时共共共共 48 48 48 48 学时。学时。学时。学时。其中：其中：其中：其中：（1 1 1 1）课堂讲授课堂讲授课堂讲授课堂讲授34343434学时；学时；学时；学时；（2 2 2 2）上机实验）上机实验）上机实验）上机实验SPSS SPSS SPSS SPSS 软件应用软件应用软件应用软件应用14141414学时（学时（学时（学时（共共共共7 7 7 7次上机实次上机实次上机
6、实次上机实验验验验）。）。）。）。2.2.课程考试成绩评定课程考试成绩评定：（1 1 1 1）平时成绩占平时成绩占平时成绩占平时成绩占20%20%20%20%（包括出勤、平时表现、撰写试验报告等）（包括出勤、平时表现、撰写试验报告等）（包括出勤、平时表现、撰写试验报告等）（包括出勤、平时表现、撰写试验报告等）；（2 2 2 2）理论知识和操作技能闭卷考试占）理论知识和操作技能闭卷考试占）理论知识和操作技能闭卷考试占）理论知识和操作技能闭卷考试占80%80%80%80%。课课 前前 说说 明（续）明（续）五、几点要求五、几点要求五、几点要求五、几点要求：1.1.1.1.“出勤出勤出勤出勤”：本课
7、程内容具有连贯性与渐进性，决：本课程内容具有连贯性与渐进性，决：本课程内容具有连贯性与渐进性，决：本课程内容具有连贯性与渐进性，决不可寄希望于期末突击，必须保证出勤，循序渐进，不可寄希望于期末突击，必须保证出勤，循序渐进，不可寄希望于期末突击，必须保证出勤，循序渐进，不可寄希望于期末突击，必须保证出勤，循序渐进，才能学好它。才能学好它。才能学好它。才能学好它。2.2.2.2.“出力出力出力出力”：课上认真听课、思考，课下及时复习：课上认真听课、思考，课下及时复习：课上认真听课、思考，课下及时复习：课上认真听课、思考，课下及时复习巩固。巩固。巩固。巩固。3.3.3.3.“几分耕耘几分耕耘几分耕耘
8、几分耕耘 ，几分收获，几分收获，几分收获，几分收获”，平时努力，打好基，平时努力，打好基，平时努力，打好基，平时努力，打好基础，才会提高能力和素质。础，才会提高能力和素质。础，才会提高能力和素质。础，才会提高能力和素质。课前说明（续）课前说明（续）第一章第一章 绪论绪论多元统计分析的重要性多元统计分析的重要性uu众所周知，当今社会是信息社会，而大量的众所周知，当今社会是信息社会，而大量的信息都是以多个指标的数据形式来表现的，信息都是以多个指标的数据形式来表现的，因而因而“用数据说话用数据说话”，挖掘数据背后所隐藏，挖掘数据背后所隐藏和揭示的信息，是时下我们做很多统计分析和揭示的信息，是时下我们
9、做很多统计分析和研究的基本手段和方法。和研究的基本手段和方法。uu例如，你们将来撰写毕业论文时，恐怕都离例如，你们将来撰写毕业论文时，恐怕都离不开数据分析的内容，否则，你们的专业性不开数据分析的内容，否则，你们的专业性质决定了是很难通过的。质决定了是很难通过的。uu 多多元元统统计计分分析析是是数数理理统统计计学学的的一一个个重重要要分分支支，具具有有很很强强的的应应用用性性，它它在在自自然然科科学学、社社会会科科学学和和经经济济学学等等各各领领域域中中得得到到了了越越来来越越广广泛泛的的应应用用，是一种非常有用的数据处理方法。是一种非常有用的数据处理方法。uu多元分析方法就是处理多维数据不可
10、缺少的重要工具，并日益多元分析方法就是处理多维数据不可缺少的重要工具，并日益多元分析方法就是处理多维数据不可缺少的重要工具，并日益多元分析方法就是处理多维数据不可缺少的重要工具，并日益显示出无比的魅力。但是，多元统计分析是依赖于计算机的发显示出无比的魅力。但是，多元统计分析是依赖于计算机的发显示出无比的魅力。但是，多元统计分析是依赖于计算机的发显示出无比的魅力。但是，多元统计分析是依赖于计算机的发展而迅速发展的，如果不使用计算机，多元统计分析中许多计展而迅速发展的，如果不使用计算机，多元统计分析中许多计展而迅速发展的，如果不使用计算机，多元统计分析中许多计展而迅速发展的，如果不使用计算机，多元
11、统计分析中许多计算几乎是不可能完成的。算几乎是不可能完成的。算几乎是不可能完成的。算几乎是不可能完成的。uu为了做到学以致用为了做到学以致用为了做到学以致用为了做到学以致用，在课程中我们将结合授课内容，在课程中我们将结合授课内容，在课程中我们将结合授课内容，在课程中我们将结合授课内容，使用国内外通用的统计软件使用国内外通用的统计软件使用国内外通用的统计软件使用国内外通用的统计软件SPSSSPSSSPSSSPSS（或者尝试使用（或者尝试使用（或者尝试使用（或者尝试使用SASSASSASSAS软件）进行上机练习，以加深对理论知识的理解。软件）进行上机练习，以加深对理论知识的理解。软件）进行上机练习
12、，以加深对理论知识的理解。软件）进行上机练习，以加深对理论知识的理解。uu 我们已经知道，时间序列分析是时间序列分析是根据系根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。和方法。uu它一般采用曲线拟合和参数估计方法它一般采用曲线拟合和参数估计方法（如非线性最小二乘法）进行。时间序（如非线性最小二乘法）进行。时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前量预测、气象
13、预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。方面。uu由于历史发展所形成的习惯，多元统由于历史发展所形成的习惯，多元统计数据分析被限制在一定的范围，它计数据分析被限制在一定的范围，它通常只处理所谓截面样本数据，即静通常只处理所谓截面样本数据，即静态数据，而不考虑多元复杂集合的时态数据，而不考虑多元复杂集合的时间迹向。统计学中将时序样本数据分间迹向。统计学中将时序样本数据分析归结为时间序列分析。析归结为时间序列分析。uu一些著名的统计学家认为，做这样的一些著名的统计学家认为，做
14、这样的区别，与其说是逻辑上的原因，倒不区别，与其说是逻辑上的原因，倒不如说是为了方便。将多元统计分析与如说是为了方便。将多元统计分析与时间序列动态趋势性研究有效地结合时间序列动态趋势性研究有效地结合起来，这是数据分析发展的新方向。起来，这是数据分析发展的新方向。因此可以说，因此可以说，时间序列分析时间序列分析多元统计分析多元统计分析还有还有计量经济学计量经济学这三门课这三门课是统计学和金融学专业必是统计学和金融学专业必不可少的必修专业课，希望大家通不可少的必修专业课，希望大家通过学习能够有所收获。过学习能够有所收获。本课程将重点介绍：本课程将重点介绍：多元统计中的最具有实用性的内容：多元统计中
15、的最具有实用性的内容：数据作图、数据作图、聚类分析、聚类分析、判别分析，判别分析，各种降维技术，将原始的多个指标约化各种降维技术，将原始的多个指标约化为少数几个综合指标，便于对数据进行为少数几个综合指标，便于对数据进行分析。分析。多元统计分析（简记为多元统计分析（简记为MVAMVA）是统计学中是统计学中一个非常重要的分支，在国外，从一个非常重要的分支，在国外，从2020世纪世纪3030年代开始，已经在自然科学、管理科学年代开始，已经在自然科学、管理科学和社会经济等领域得到了广泛应用。和社会经济等领域得到了广泛应用。我国自上世纪我国自上世纪8080年代开始，也在许多领年代开始，也在许多领域应用域
16、应用MVAMVA方法，它是一种重要和实用的方法，它是一种重要和实用的多元数据处理方法。多元数据处理方法。n1.1 1.1 什么是多元统计分析什么是多元统计分析 为什么我们需要它为什么我们需要它?在经济管理领域中，经常会遇到观测多个变量在经济管理领域中，经常会遇到观测多个变量或指标或指标.比如比如，考察国民经济运行状况需要用，考察国民经济运行状况需要用GDPGDP、总消、总消费、投资和进出口贸易额等指标共同来描述。费、投资和进出口贸易额等指标共同来描述。你若欲了解某班学生的学习情况，需要知道每个你若欲了解某班学生的学习情况，需要知道每个学生的若干门课程的学习成绩。学生的若干门课程的学习成绩。再如
17、再如,人们在体检时也需要检测诸如身高、体重、人们在体检时也需要检测诸如身高、体重、血压、体温、白血球等诸多生理指标的数值，以血压、体温、白血球等诸多生理指标的数值，以此来反映身体状况。此来反映身体状况。类似这样的含有多个指标或变量的例子不胜枚举。类似这样的含有多个指标或变量的例子不胜枚举。变量指标值的特点变量指标值的特点：具有随机性特：具有随机性特点，因为实际现象中任何事物都受到点，因为实际现象中任何事物都受到许多随机因素的影响，因而其取值有许多随机因素的影响，因而其取值有一定的随机性。一定的随机性。何谓何谓MVAMVA分析方法分析方法：同时对多个随：同时对多个随机变量的观测数据进行有效地分析
18、和机变量的观测数据进行有效地分析和研究研究 ，研究变量之间的相互依赖关系，研究变量之间的相互依赖关系，以揭示这些变量之间内在的统计规律以揭示这些变量之间内在的统计规律性性。经管学院经管学院 程兰芳程兰芳1818请看使用多元分析方法的文章：请看使用多元分析方法的文章：uu第第1 1篇篇2020个国家按基础设施状况的聚个国家按基础设施状况的聚类分析类分析（聚类分析法）（聚类分析法）uu第第2 2篇篇基于主成份因素法的企业绩效比基于主成份因素法的企业绩效比较方法较方法（主成份分析法）（主成份分析法）uu第第3 3篇篇因子分析在企业竞争力评价中的因子分析在企业竞争力评价中的应用应用（因子分析法）（因子
19、分析法）经济学例子经济学例子：企业经济效益的综合评价：指标有：资金利润率、企业经济效益的综合评价：指标有：资金利润率、人均生产率、投资额、等等，可用主成分分析或人均生产率、投资额、等等，可用主成分分析或因子分析。因子分析。社会学例子社会学例子：分析各地区（分析各地区（31个省市自治区）社会情况，选取个省市自治区）社会情况，选取有代表性的指标：人口密度、人口受教育程度、有代表性的指标：人口密度、人口受教育程度、绿化覆盖率、住房情况、收入水平，等等，可用绿化覆盖率、住房情况、收入水平，等等，可用聚类分析法将它们划分为不同的社会状况类型。聚类分析法将它们划分为不同的社会状况类型。不同的社会发展状况不
20、同的社会发展状况1.2 MVA1.2 MVA能解决问题的例子能解决问题的例子还有在其它领域的广泛应用还有在其它领域的广泛应用比如：工业、农业、医学、教育学、比如：工业、农业、医学、教育学、体育、生态学、地质学、社会学、考古体育、生态学、地质学、社会学、考古学、环境保护、军事、文学等等。学、环境保护、军事、文学等等。详见教材详见教材PP4-6。线性代数线性代数课程课程（由于多个指标的数据要求，经常需要用（由于多个指标的数据要求，经常需要用矩阵、向量、正定矩阵、矩阵的特征值与矩阵、向量、正定矩阵、矩阵的特征值与特征向量等符号和术语来表达）特征向量等符号和术语来表达）概率论与一元数理统计概率论与一元
21、数理统计课程课程（由于每个指标取值的随机性要求，需要（由于每个指标取值的随机性要求，需要用以概率论为基础的一元数理统计知识）用以概率论为基础的一元数理统计知识）本课程所需的基础准备知识本课程所需的基础准备知识你在学习的过程中，一定会感到理论部分你在学习的过程中，一定会感到理论部分内容的学习比较吃力，希望你下大力气，内容的学习比较吃力，希望你下大力气，花大量时间去思考、去读书，你才能有真花大量时间去思考、去读书，你才能有真正的能力提高。正的能力提高。同时，同时，要抓紧时间去复习已经学习过的要抓紧时间去复习已经学习过的线性代数线性代数和和概率论与数理统计概率论与数理统计的的基础知识，否则，难以深刻
22、理解与掌握理基础知识，否则，难以深刻理解与掌握理论知识。论知识。首先，要提醒大家的是：首先，要提醒大家的是：1.3 主要内容体系主要内容体系章目章目主要内容主要内容第第第第1 1章章章章研究对象及其应用范围，线性代研究对象及其应用范围，线性代研究对象及其应用范围，线性代研究对象及其应用范围，线性代数基础数基础数基础数基础第第第第2 24 4章章章章MVAMVA的基本概念和基本理论：的基本概念和基本理论：的基本概念和基本理论：的基本概念和基本理论：包包包包括多元正态分布、括多元正态分布、括多元正态分布、括多元正态分布、WishartWishart分布、分布、分布、分布、Hotelling T2H
23、otelling T2分布、分布、分布、分布、WilksWilks分分分分布，以及多元正态总体的参数估布，以及多元正态总体的参数估布，以及多元正态总体的参数估布，以及多元正态总体的参数估计和假设检验。还有数据作图计和假设检验。还有数据作图计和假设检验。还有数据作图计和假设检验。还有数据作图。第第第第5 56 6章章章章分类问题：分类问题：分类问题：分类问题：聚类分析、判别分析聚类分析、判别分析聚类分析、判别分析聚类分析、判别分析第第第第7 79 9章章章章结构的化简问题：结构的化简问题：结构的化简问题：结构的化简问题：主成分分析、主成分分析、主成分分析、主成分分析、因子分析、对应分析因子分析、
24、对应分析因子分析、对应分析因子分析、对应分析第第第第10101111章章章章两组变量之间的相关关系两组变量之间的相关关系两组变量之间的相关关系两组变量之间的相关关系第第第第1212章章章章定性资料统计分析简介定性资料统计分析简介定性资料统计分析简介定性资料统计分析简介教学目的uu基本清楚每种统计方法所要解决的问基本清楚每种统计方法所要解决的问题、前提条件、局限性等。各种方法题、前提条件、局限性等。各种方法之间的相互联系与差别。之间的相互联系与差别。uu基本会分析多元观测数据，对给出的基本会分析多元观测数据，对给出的多元数据能够正确选择所学的分析方多元数据能够正确选择所学的分析方法，借助统计分析
25、软件，从中提取有法，借助统计分析软件，从中提取有用信息，对所研究的问题作出合理推用信息，对所研究的问题作出合理推断或科学的评价。断或科学的评价。1.4 1.4 线性代数简要复习线性代数简要复习1.矩阵定义矩阵定义：将将np个数排成的矩形表格称为个数排成的矩形表格称为矩阵，记为矩阵，记为注意：注意：矩阵仅仅是一个表格形式，并没有数值可言。矩阵仅仅是一个表格形式，并没有数值可言。当当n=p时，称时，称A为为n阶方阵阶方阵。若若p=1时时,矩阵矩阵A只有一列，称只有一列，称A为为列向量列向量，记为，记为若若p=1时，则矩阵时，则矩阵A只有一行，称只有一行，称A为为行向量行向量，记为记为（1）加法加法
26、：若若A与与B都是都是nm阶矩阵，则二者的阶矩阵，则二者的和定义为和定义为（2）数乘数乘：k是一个常数，则它与矩阵是一个常数，则它与矩阵A的积定的积定义为义为 2.矩阵的运算矩阵的运算（3）矩阵的乘积矩阵的乘积(这是重点这是重点)若若若若A A是是是是pq pq 阶矩阵，且阶矩阵，且阶矩阵，且阶矩阵，且B B是是是是qr qr 阶矩阵，则二者的乘积阶矩阵，则二者的乘积阶矩阵，则二者的乘积阶矩阵，则二者的乘积 定定定定义为义为义为义为 即要知道，何时两个矩阵能够作乘积？乘积后的结果是即要知道，何时两个矩阵能够作乘积？乘积后的结果是即要知道，何时两个矩阵能够作乘积？乘积后的结果是即要知道，何时两个
27、矩阵能够作乘积？乘积后的结果是怎样的矩阵？怎样的矩阵？怎样的矩阵？怎样的矩阵？注意：注意：注意：注意：一般地说，即乘法运算不满足交换率一般地说，即乘法运算不满足交换率一般地说，即乘法运算不满足交换率一般地说，即乘法运算不满足交换率 一个一个P P阶方阵阶方阵 对应着一个对应着一个数，将这个数记为数，将这个数记为|A|A|。注意：注意：行列式与矩阵有根本的区别，行列式与矩阵有根本的区别，行列式不仅在形式上（一定是正方形）行列式不仅在形式上（一定是正方形）用竖线框起来其中的元素，并且在内用竖线框起来其中的元素，并且在内容（或实质）上是一个数值。而矩阵容（或实质）上是一个数值。而矩阵仅仅是一种形式上
28、的表格。仅仅是一种形式上的表格。3.3.行列式的定义行列式的定义 4.逆矩阵逆矩阵（相当于矩阵的逆运算，由（相当于矩阵的逆运算，由此产生类似于此产生类似于“除法除法”运算）运算）uu设设A是是p阶方阵阶方阵，若，若|A|0（即方阵的行（即方阵的行列式的值非零）列式的值非零）,则称则称A是非退化阵或非奇是非退化阵或非奇异矩阵。若异矩阵。若|A|=0，则，则A称为退化阵或者称为退化阵或者奇异阵。奇异阵。uu若若A是是p阶非退化阵，则存在唯一的矩阵阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B，使得，使得AB=I,称矩阵称矩阵B为为A的逆矩阵，记的逆矩阵，记为为uu不难证明：不难证明：其中其中uu一般情况下，上述求
29、逆公式只有理论价值。一般情况下，上述求逆公式只有理论价值。在多元分析中，求逆矩阵是通过消去变换来在多元分析中，求逆矩阵是通过消去变换来实现的，并且可同时求出该矩阵的行列式。实现的，并且可同时求出该矩阵的行列式。这在后面将介绍。这在后面将介绍。5.矩阵的秩（矩阵的秩（rank）（1）定义：设）定义：设A为为pq 阶矩阵，若它阶矩阵，若它存在存在的一个的一个r阶子方阵的行列式非零，且所有阶子方阵的行列式非零，且所有r+1阶的子方阵的行列式的值都为零，则称阶的子方阵的行列式的值都为零，则称数数r为矩阵为矩阵 A的秩。记为的秩。记为r(A)=r（2）秩的性质）秩的性质:uu 0r(A)min(p,q)
30、,当且仅当当且仅当A=0时，时，r(A)=0 r(A)=r(A);r(AB)min(r(A),r(B)r(A+B)r(A)+r(B);6.特征根、特征向量和矩阵的迹uu特征根和特征向量：特征根和特征向量：uu设设A是是p阶方阵，则方程阶方阵，则方程 次多项式，则必有次多项式，则必有p个根（包括重根），记为个根（包括重根），记为uu ，称为，称为A的的特征根或特征值特征根或特征值。uu对于特征根对于特征根 ，若存在一个，若存在一个p 维向量维向量 则称则称 是对应于是对应于 的的 A的的特征向量特征向量。以后总假。以后总假设特征向量是单位向量，即设特征向量是单位向量，即7.7.矩阵的迹（矩阵的迹
31、（tracetrace）若矩阵若矩阵A是是p阶方阵，它的对角元素阶方阵，它的对角元素之和称为之和称为A的迹，记为的迹，记为若若A是是p阶方阵，并设它的特征根为阶方阵，并设它的特征根为则则A 的迹：的迹：这体现了特征根与迹的数量关系。这体现了特征根与迹的数量关系。8.8.二次型与正定矩阵二次型与正定矩阵(很重要，后面常用很重要，后面常用)（1 1）二次型的定义：）二次型的定义：）二次型的定义：）二次型的定义：称称称称 p p个变量个变量个变量个变量 的二次函数表达式的二次函数表达式的二次函数表达式的二次函数表达式为二次型为二次型为二次型为二次型，其中的，其中的，其中的，其中的aij=ajiaij
32、=aji这个二次型可以改写成三个矩阵的乘积形式：这个二次型可以改写成三个矩阵的乘积形式：这个二次型可以改写成三个矩阵的乘积形式：这个二次型可以改写成三个矩阵的乘积形式：（2 2）正定二次型的定义）正定二次型的定义）正定二次型的定义）正定二次型的定义：若方阵：若方阵：若方阵：若方阵AA对于所有的非零对于所有的非零对于所有的非零对于所有的非零列向量列向量列向量列向量 X0X0，总是有，总是有，总是有，总是有 则称则称则称则称AA以及对应的二次型以及对应的二次型以及对应的二次型以及对应的二次型是正定的，记为是正定的，记为是正定的，记为是正定的，记为A0.A0.（3）非负定的定义）非负定的定义：若方阵
33、：若方阵A对于对于所有的所有的非零列向量非零列向量 X0，总是，总是 ，则，则称称A以及对应的二次型以及对应的二次型是非负定的，记为是非负定的，记为A0.n对对于正定阵和非负定阵而言，有如下于正定阵和非负定阵而言，有如下 性质：性质：（4 4）一个对称阵是正定（或非负定）阵的）一个对称阵是正定（或非负定）阵的充分必要条件是它的特征根为正的（或非负）充分必要条件是它的特征根为正的（或非负）（5 5）若）若A A是正定的，则是正定的，则A A的逆矩阵也是正定的逆矩阵也是正定的；且乘以一个正数的；且乘以一个正数k k后的新矩阵也是正定后的新矩阵也是正定的。的。（5 5）非负定矩阵一定能对角化）非负定
34、矩阵一定能对角化）非负定矩阵一定能对角化）非负定矩阵一定能对角化：若对称阵：若对称阵：若对称阵：若对称阵A0,A0,则必存在一个正交则必存在一个正交则必存在一个正交则必存在一个正交阵阵阵阵 其中其中其中其中 是是是是A A的特征根，且的特征根，且的特征根，且的特征根，且 是由相应的列特征向是由相应的列特征向是由相应的列特征向是由相应的列特征向量所构成的矩阵，于是有：量所构成的矩阵，于是有：量所构成的矩阵，于是有：量所构成的矩阵，于是有：A=A=（6 6）非负定矩阵的性质：）非负定矩阵的性质：）非负定矩阵的性质：）非负定矩阵的性质：若若若若A0(0),A0(0),则则则则 都非负，且都非负，且都
35、非负，且都非负，且uu且且且且 和和和和 正交矩阵的概念正交矩阵的概念uu一个一个n阶方阵阶方阵是正交的，则需要是正交的，则需要满足下列满足下列条件之一：条件之一：uu（1）=E(单位矩阵单位矩阵)uu（2）=-1uu（3）的的n个列向量或行向量都是单位向个列向量或行向量都是单位向量，且任意两个列向量的内积都等于数量，且任意两个列向量的内积都等于数0。正交矩阵的例子正交矩阵的例子uu例如例如，下列的一个二阶矩阵：，下列的一个二阶矩阵：uu就是一个正交矩阵，满足上述三个条件之就是一个正交矩阵，满足上述三个条件之一。一。9.矩阵的消去变换矩阵的消去变换uu在多元分析中经常要解线性方程组，求在多元分析中经常要解线性方程组，求矩矩阵的逆以及行列式的值阵的逆以及行列式的值，或者进行某种逆，或者进行某种逆推运算，这些都推运算，这些都可以通过消去变换来实现可以通过消去变换来实现。uu设矩阵设矩阵 是是np阶的，若其中的阶的，若其中的元素元素aij0，可以将，可以将A变换为新矩阵变换为新矩阵uu（详见教材（详见教材P276）