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1、第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量涡线 涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。第1页/共79页第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量涡管 涡束 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。第2页/共79页第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量涡通量 旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。有限截面涡管的涡通量第3页/共79页第六节 速度环
2、量 斯托克斯定理涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋转范围越扩大。可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度分布有密切关系。速度环量：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。第4页/共79页第六节 速度环量 斯托克斯定理代入，得：规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。第5页/共79页第六节 速度环量 斯托克斯定理斯托克斯（G.G.Stokes）定理 当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线
3、内所有涡束的涡通量之和。斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单连通区域、空间曲面。第6页/共79页当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。ddydxyoABCD1)微元封闭区域：第7页/共79页单连通区域 区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通区域。第8页/共79页对多连通域：通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。ABK内BAK外 可使用斯托克斯定理第9页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理汤姆孙（W.Thomson）定理：正压性的理想
4、流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。（8-25）第10页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理 流场中原来有漩涡和速度环量的，永远有漩涡和保持原有的环量；原来没有漩涡和速度环量的，就永远没有漩涡和环量第11页/共79页启动涡.mpg示牌随风摇摆.mov涡线.rm液体和气体的旋转.mov第12页/共79页开尔文（18241907）William ThomsonLord Kelvin是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉汤姆孙。他从小热爱
5、数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的名字提出和命名。第13页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理旋涡的基本性质：1、亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。第14页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹第
6、一定理说明涡管不可能在流体中终止。涡管的存在自成封闭的管圈起于边界、终于边界第15页/共79页吸烟者吐出的环形烟圈水中的漩涡龙卷风第16页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。第17页/共79页第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。第18页/共79页涡通量（涡管强度）（旋涡强度）如何描述旋涡的强弱速度环量斯托克斯定理亥姆霍兹三定理汤姆孙定理第19页/
7、共79页（）强迫涡旋简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋转，形成强迫涡。显然强迫涡的速度分布与固体旋转一样，。这是一种有旋运动，强迫涡又称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。求解强迫涡的压力场，可用静力学中讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其压力分布关系为：。等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，自由面是旋转抛物面，如图。第八节 平面涡流第20页/共79页（）自由涡旋简称自由涡，其流线也是同心圆。但速度变化关系式为：。（C为常数），即与半径成反比。虽然流线是圆，但它是无旋运动，流体微团并未旋转。根据伯努利定理，沿流线，在自由涡中，各条流线H均相等。所以流场中的压力分布关系式为：因而在自由涡中，当我们向中心
8、移动时，速度增加，压力减小。第21页/共79页 兰肯涡平面组合涡：中心区是强迫涡；外围区是自由涡。中心区是以涡心为圆心的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为常数。外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。0u0uxyCrr0第八节 平面涡流第22页/共79页兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样旋转，需有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替。外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的，在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起作用。xCr0u0uyr0第23页/共79页 兰肯涡第24页/共79页绕的速度环量
9、中心区的流动用涡通量计算得到同样的结果涡量处处为常数速度分布xC r0u0uyr0第25页/共79页xC r0u0uyr0流速分布外围区是无旋流动绕任一的圆周（任意包住的封闭曲线也可）的速度环量都等于0外围区的流动第26页/共79页xCr0u0uyr0压强分布外围区流动恒定无旋，可用欧拉积分确定压强的径向分布中心区流动恒定有旋，只能用伯努利积分，但得不到压强的径向分布。须直接由理想流体运动方程出发求解。时速度分布外围区的压强r0第27页/共79页压差力向心力xCr0u0uyr0中心区的压强由定速度分布压强分布r0第28页/共79页xCr0u0uyr0中心区的压强速度分布压强分布r0抛物线分布，
10、涡心处最低中心区速度越快，压强越高，速度越慢，压强越低。与无旋区有本质的不同。第29页/共79页 假设在理想不可压缩的重力流体中，有一像刚体一样以等角速度 绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯定理知，。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径为 ；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。在环流区内，速度分布为:（8-26）在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程:第30页/共79页在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区
11、内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程:式中的 即为 ，为无穷远处的压强。将 代入上式得:（8-27）由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小，流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值，即 第31页/共79页涡束内部的速度分布为:（8-28）在与环流区交界处，代入上式，得积分常数：得涡核区的压强分布为：（8-29）第32页/共79页 由上式可知涡管中心的压强最低，其大小为 ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为 。由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为 。涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度
12、，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置，如锅炉中的旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式泵和风机、离心式分选机等。第33页/共79页第三大部分理想流体的平面流动第九节 有势流动速度势和流函数第十、十一节 平面势流第十二十五节 圆柱绕流及库儒公式第34页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对无旋流动：此式是 成为某一函数的全微分的必要且充分的条件。用(x,y,z,t)表示该函数第35页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网速度沿三个坐标轴的分
13、量等于速度势对于相应坐标的偏导数。这一性质对任何方向都成立。速度势函数 速度势第36页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对于柱面坐标 当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在。无旋流动有势流动第37页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网代入连续方程拉普拉斯方程拉普拉斯算子第38页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对于圆柱坐标 求解不可压缩流体无旋流动问题，便归纳为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。第39页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对于不可压缩流体的平面流动，还可以引出另一个描绘流场的函数。由不可缩流体平面流动
14、的连续方程得此外，平面流动的流线微分方程为第40页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网 即函数永远满足连续方程。很显然，在流线上 0或常数。在每条流线上函数都有它自己的常数值，所以称函数为流函数。第41页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：第42页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网 流函数的物理意义是，平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。注意：只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。如果是不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同
15、时存在速度势和流函数。第43页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网对于oxy平面上的无旋流动 不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。第44页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网速度势和流函数存在以下关系：上式是等势线簇和流线簇互相垂直的条件，即正交性条件。第45页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网流网：在平面上可以将等势线簇和流线簇构成正交网络，称为流网。第46页/共79页第47页/共79页第九节 有势流动 速度势和流函数 流网例：试证明不可压缩流体平面流动能满足连续方程，是一个有势流动，并求出速度势。解：满足连续方程第48页/共
16、79页流动为有势流动势函数第49页/共79页设对y求偏导第50页/共79页（积分）定理：设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在G内恒成立 第51页/共79页（全微分）定理：设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy 在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立 第52页/共79页810第53页/共79页第十节 几种简单的不可压缩流体的平面流动流体力学在早期发展的一段时间
17、里曾经把研究流体力学的学者分成两类：1.不能解释现象的工程师、水力学家2.解释一些观察不到的现象的理论学家、数学家第54页/共79页一、平行流 流体作等速直线流动，流场中各点速度的大小和方向都相同。第55页/共79页二、点源和点汇 在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。第56页/共79页二、点源和点汇第57页/共79页第十一节 几种简单的平面无旋流动的叠加几个无旋流动的速度势及流函数的代数和等于新的无旋流动的速度势和流函数。新无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。第58页/
18、共79页两者均为无旋运动，总速度：压力关系式：可见中心附近，压力较低。实际问题中不存在r0 的情况，如水池排出废水所形成的涡旋是自由螺线涡旋，排水口有一个实际半径rb，如图示，自由螺线涡旋的流线是对数螺线，这也是质点的运动轨迹线。径向流动和自由涡旋的组合自由螺线涡旋第59页/共79页点源和点汇的叠加偶极流第60页/共79页均匀直线流+偶极流第61页/共79页当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力。达朗伯疑题（1750年法国科学家）第62页/共79页第十二十五节 圆柱绕流及库儒公式平行流绕过圆柱体的平面流动+点涡第63页/共79页第十二节 平行流绕过圆柱体的平
19、面流动库塔儒可夫斯基升力公式第64页/共79页圆柱的旋转作用产生速度环量，早在圆柱的旋转作用产生速度环量，早在18521852年马格努年马格努斯就在实验中发现了这一侧向的升力，它使圆柱体斯就在实验中发现了这一侧向的升力，它使圆柱体产生横向的运动。产生横向的运动。1924 1924 年，著名学者及工程师弗莱特纳在一艘快艇年，著名学者及工程师弗莱特纳在一艘快艇上装上两个直径为上装上两个直径为3 3 米、高为米、高为 13 13 米的圆柱体来代米的圆柱体来代替帆，用替帆，用 6 6 马力的发动机带动钢铁圆柱体马力的发动机带动钢铁圆柱体 转动，转动，并用这艘快艇横渡了英国与丹麦之间的北海。人们并用这艘
20、快艇横渡了英国与丹麦之间的北海。人们惊呼它为惊呼它为“无帆的帆船无帆的帆船”！马格努斯效应第65页/共79页叶栅的库塔-儒可夫斯基公式第66页/共79页第67页/共79页第68页/共79页第69页/共79页第70页/共79页第71页/共79页第72页/共79页第73页/共79页机翼的升力牛顿是第一个给出了运动物体的阻力表达式，后人推导出了倾斜平板在气流中受到阻力的公式。按他的理论，如果认为这个阻力的垂直分量代表空气的升力的话，那么这个升力值含有一个迎角正弦的平方项。按照这个理论，一个物体只有面积为无限大才能产生足够的升力。这意味着宣判了飞机的死刑。有人说：牛顿对人类飞机提出了悲观的论调。第74
21、页/共79页1783年，瑞士著名科学家D.Bernoulli建立了著名的伯努力定律：随着流体流速的增加，其压力减小。它对于解释机翼的升力是相当有效的，具有上凸表面的翼型在空气中运动时，上表面速度较大，下表面速度较小，上下表面的气流对机翼产生的压力不同，这个压力差就是气流产生的向上的升力。流体力学的发展否定了牛顿的升力是阻力垂直分量的理论。第75页/共79页1894年，英国工程师及航空先驱者F.Lanchester建立了机翼环流理论，对于弯曲的机翼翼面，当受到来流作用时相当于前缘有一个逆风，后缘有一个顺风，由于上下流动都不能发生积累现象因此结果是产生一个环流导致上表面产生一个低压，下表面产生一个
22、高压，这个压力差就是升力。库塔茹科夫斯基条件：机翼后缘形成的起动涡在逐渐增大的过程中离开机翼。当他离开机翼很远处，这个环流达到最大值，亦即上下表面机翼后面很远处不在有流速的差别。使用库塔茹科夫斯基条件可使升力的计算变成纯数学问题。使升力计算定量化。第76页/共79页小结1.一般情况下流体微团的运动可分解为哪几部分？2.什么是有旋流动？什么是无旋流动？无旋流动的判据是什么？3.试写出欧拉方程的一种形式？4.欧拉运动方程积分的前提条件有哪些？5.理想流体运动方程组的定解条件有哪些？6.什么是涡线？涡管？涡束？涡通量？7.什么是斯托克斯定理？什么是汤姆孙定理？8.亥姆霍兹三定律的内容是什么？第77页/共79页9.流函数的物理意义是什么？10.平行流绕过圆柱体的平面流动是有哪些基本流动叠加而得到的？11.什么是达郎贝疑题？第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页