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1、在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？第1页/共29页 切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。OPAB比一比比一比第2页/共29页OABP思考思考：已知 O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12折一折折一折第3页/共29页请证明你所发现的结论。APOBPA=PBOPA=OPB证明：PAPA，PBPB与O O相切，点A A，B B是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即
2、OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB试用文字语言叙述你所发现的结论证一证证一证第4页/共29页PA、PB分别切 O于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB 切线长定理切线长定理 第5页/共29页APOB 若连结两切点A A、B B，ABAB交OPOP于点M.M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：PAPA，PBPB是O O的切线,点A A，
3、B B是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线 OP垂直平分ABM试一试试一试第6页/共29页APO。B 若延长PO交 O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：PAPA，PBPB是O O的切线,点A A，B B是切点 PA=PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC第7页/共29页。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想想一想第8页/共29页（2）已知OA=3cm,OP=6c
4、m，则APB=PABCO60（4）OP交O于M，则，M牛刀小试牛刀小试（3）若P=70，则AOB=110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OAOA=3第9页/共29页已知：如图,PA,PA、PBPB是O O的切线，切点分别是A A、B B，Q Q为ABAB上一点，过Q Q点作O O的切线，交PAPA、PBPB于E E、F F点，已知PA=12CMPA=12CM，求PEFPEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 牛刀再试牛刀
5、再试第10页/共29页探究：PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于 O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC第11页/共29页例1 1、已知：P P为O O外一点，PAPA、PBPB为O O的切线，A A、B B为切点，BCBC是直径。求证：ACOPACOPPACBDO 例题讲解例题讲解第12页/共29页切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的
6、两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。APO。BECDPA、PB分别切 O于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。第13页/共29页我们学过的切线，常有 五个 性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直
7、线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个第14页/共29页1、确定圆的条件是什么？圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中ABC与圆O的关系？ABC是圆O的内接三角形；圆O是ABC的外接圆圆心O点叫ABC的外心ACBO一、知识复习第1
8、5页/共29页对一块三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。ABC第16页/共29页CBADFEOr第17页/共29页思考下列问题：1如图，若 O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在ABC的平分线上。2如图2，如果 O与ABC的夹内角ABC的两边相切，且与夹内角ACB的两边也相切，那么此 O的圆心在什么位置？圆心0在BAC,ABC与ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2AB C第18页/共29页3如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？4你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？作出三
9、个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。IFCABED第19页/共29页作法：ABC1、作B、C的平分线BM和CN，交点为I。I2过点I作IDBC，垂足为D。3以I为圆心，ID为半径作 I.I就是所求的圆。DMN第20页/共29页1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。O图2AB C第21页/共29页外心（三角形外接圆的圆心）名称确
10、定方法图形性质三 角 形 三边 中 垂 线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内 心（三角 形 内 切圆的圆心）三 角 形 三条 角 平 分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部第22页/共29页 1.三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在三角形的_.2.2.如图,O O O O是是ABCABCABCABC的内心的内心,则则 OAOAOAOA平分平分_,OB_,OB_,OB_,OB平分平分_,_,_,_,OC OC OC OC平分平分_,._,._,._,.(2)(2)(2)(
11、2)若若BAC=100,BAC=100,BAC=100,BAC=100,则则BOC=_.BOC=_.BOC=_.BOC=_.填空:1 1无数无数内部内部COBA1.三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在三角形的_.2 2.如图,O O是A AB BC C的内心,则 O OA A平分_ _ _ _ _ _ _,O OB B平分_ _ _ _ _ _ _,O OC C平分_ _ _ _ _ _ _,.(2 2)若B BA AC C=1 10 00 0,则B BO OC C=_ _ _ _ _ _ _.BACBAC 140140 ABCABC ACBACB 第23页/共29页
12、例题1：如图，在ABC中，ABC=50，ACB75，点O是内心，求BOC的度数。分析：O=?1+3=?O为ABC的内心 BO是ABC的角平分线CO是ACB的角平分线 OA243BC1第24页/共29页解：点O为ABC的内心12BOC=1800-(1+2)=1800-(250+37.50)=117.50BOC=117.50C1O243BA第25页/共29页C CA AB BR Rr rOOD D例2、求等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。解：由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆设内切圆切BCBC于D D，连接OBOB，ODOD于是就有
13、第26页/共29页已知：在ABCABC中，BC=9cmBC=9cm，AC=14cmAC=14cm，AB=13cmAB=13cm，它的内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点D D、E E、F F，求AFAF、BDBD和CECE的长。CBAEDFOr解：因为ABCABC的内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点D D、E E、F F，由切线长定理知AE=AF,CE=CD,BD=BFAF+BD+CE=(AB+AC+BC)BD+CE=AF=13-9=4BD+CD=BC=9=13第27页/共29页直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm.则其内切圆的半径为_。ACBO看谁做得快第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页