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1、关于带电粒子在磁场中的运动磁聚焦第1页，讲稿共22张，创作于星期日 当带电粒子从同一边界入射出射时当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同速度与边界夹角相同对称性对称性l 带电粒子在带电粒子在直边界直边界磁场中的运动磁场中的运动第2页，讲稿共22张，创作于星期日x xy yO Ov v0 0例、例、在在在在xoyxoy平面内有很多质量为平面内有很多质量为平面内有很多质量为平面内有很多质量为mm，电量为，电量为，电量为，电量为e e的电子，从坐标原点的电子，从坐标原点的电子，从坐标原点的电子，从坐标原点O O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加不断以相同速率沿不同方向射入第
2、一象限，如图所示现加不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于一垂直于一垂直于一垂直于xOyxOy平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为B B的匀强磁场，要求这些的匀强磁场，要求这些的匀强磁场，要求这些的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于入射电子穿过磁场都能平行于入射电子穿过磁场都能平行于入射电子穿过磁场都能平行于x x轴且沿轴且沿轴且沿轴且沿x x轴正向运动，试问符合轴正向运动，试问符合轴正向运动，试问符合轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互
3、作该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）用）用）用）第3页，讲稿共22张，创作于星期日 所有所有电电子的子的轨轨迹迹圆圆半径相等，且均半径相等，且均过过O点。点。这这些些轨轨迹迹圆圆的的圆圆心都在以心都在以O为圆为圆心，半径心，半径为为r的且位于第的且位于第象限的四分之一象限的四分之一圆圆周上，周上，如如图图所示。所示。电子由电子由O点射入第点射入第象限做匀速圆象限做匀速圆周运动周运动解解解解1:1:x xy yO Ov v0 0O O1 1O O2 2O O3 3O O4
4、 4O O5 5O On n 即所有出射点均在以坐即所有出射点均在以坐标标(0，r)为圆为圆心的心的圆圆弧弧abO上，上，显显然，磁然，磁场场分布的最小面分布的最小面积积应是实线应是实线1和圆弧和圆弧abO所围的面积，由几何关系得所围的面积，由几何关系得 由图可知，由图可知，a、b、c、d 等点就是各电子离等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程开磁场的出射点，均应满足方程x2+(ry)2=r2。第4页，讲稿共22张，创作于星期日解解解解2:2:设设P(x，y)为磁场下边界上的一点，为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与经过该点的电子初速度与x轴夹角为轴夹角为 ，则由图可知：，则由图
5、可知：x=rsin，y=rrcos ，得得:x2+(yr)2=r2。所以磁场区域的下边界也是半径为所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为，圆心为(0，r)的圆弧应的圆弧应是磁场区域的下边界。是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线磁场上边界如图线1所示。所示。x xy yO Ov v0 01 1 P P(x,yx,y)O Or rr r 两边界之间图形的面积即为所求。两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：为磁场区域面积：第5页，讲稿共22张，创作于星期日圆形磁场的两个特殊规律圆形磁场的两个特殊规律磁聚焦和磁发散现象磁聚焦和磁发散现象当当磁场圆半
6、径与轨迹圆半径相等时磁场圆半径与轨迹圆半径相等时磁场圆半径与轨迹圆半径相等时磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊规律存在两条特殊规律:1 1、从磁场边界上以相同速度平行入射的相同粒子、从磁场边界上以相同速度平行入射的相同粒子,又会聚焦于磁场边界上的同一点。又会聚焦于磁场边界上的同一点。又会聚焦于磁场边界上的同一点。又会聚焦于磁场边界上的同一点。2 2、反之、反之、反之、反之,从磁场边界上某点向四周发射速率相同从磁场边界上某点向四周发射速率相同的粒子的粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向其出射方向都平行于入射点的切线方向.第6页，讲稿共22张，创作于星期日磁聚焦概括：磁聚焦概括：平行会
7、聚于一点平行会聚于一点平行会聚于一点平行会聚于一点 （磁聚焦）（磁聚焦）（磁聚焦）（磁聚焦）一点发散成平行一点发散成平行一点发散成平行一点发散成平行 (磁发散）磁发散）磁发散）磁发散）第7页，讲稿共22张，创作于星期日例例1、（20092009年浙江卷）年浙江卷）年浙江卷）年浙江卷）如图，在如图，在如图，在如图，在xOyxOy平面内有与平面内有与平面内有与平面内有与y y轴平行的匀强电轴平行的匀强电轴平行的匀强电轴平行的匀强电场，在半径为场，在半径为场，在半径为场，在半径为R R的圆内还有与的圆内还有与的圆内还有与的圆内还有与xOyxOy平面垂直的匀强磁场。在圆的平面垂直的匀强磁场。在圆的平面
8、垂直的匀强磁场。在圆的平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿左边放置一带电微粒发射装置，它沿左边放置一带电微粒发射装置，它沿左边放置一带电微粒发射装置，它沿x x轴正方向发射出一束具轴正方向发射出一束具轴正方向发射出一束具轴正方向发射出一束具有相同质量有相同质量有相同质量有相同质量mm、电荷量、电荷量、电荷量、电荷量q q(q q0)0)和初速度和初速度和初速度和初速度v v的带电微粒。发射时，的带电微粒。发射时，的带电微粒。发射时，的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在这束带电微粒分布在这束带电微粒分布在这束带电微粒分布在0 0y y2 2R R的区间内。已知重力加速度大
9、小为的区间内。已知重力加速度大小为的区间内。已知重力加速度大小为的区间内。已知重力加速度大小为g g。（1 1）从）从）从）从A A点射出的带电微粒平行于点射出的带电微粒平行于点射出的带电微粒平行于点射出的带电微粒平行于x x轴从轴从轴从轴从C C点进入有磁场区域，并从点进入有磁场区域，并从点进入有磁场区域，并从点进入有磁场区域，并从坐标原点坐标原点坐标原点坐标原点O O沿沿沿沿y y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。与方向。与方向。与方向。（2 2）请
10、指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与x x轴相轴相轴相轴相 交的区域，并说明理由。交的区域，并说明理由。交的区域，并说明理由。交的区域，并说明理由。（3 3）若这束带电磁微粒初速度变为）若这束带电磁微粒初速度变为）若这束带电磁微粒初速度变为）若这束带电磁微粒初速度变为 2 2v v，那么它们与，那么它们与，那么它们与，那么它们与x x轴相交的区域又在轴相交的区域又在轴相交的区域又在轴相交的区域又在 哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。x xy yR RO O/O Ov v带带带带点点点点微微微微粒粒粒粒发发发发
11、射射射射装装装装置置置置C C第8页，讲稿共22张，创作于星期日解析：解析：(1)带电微粒所受重力和电场力平衡。由带电微粒所受重力和电场力平衡。由Eq=mg，可得可得E=mg/q，方向沿，方向沿y轴正方向。轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。如图（带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。如图（a),轨迹半径为轨迹半径为r=R，由，由Bqv=mv2/r得，得，B=mv/qR,方向垂直于纸面向外。方向垂直于纸面向外。x xy yR RO O/O Ov vC CA Ax xy yR RO O/v vQQP PO OR R 图图图图(a)a)图图图图(b)b)第9页，讲稿共22张，创作于星期日(2)
12、(2)这束带电微粒都通过坐标原点。这束带电微粒都通过坐标原点。如图（如图（b)所示，从任一点所示，从任一点P水平进入磁场的水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆的匀速圆周运动，圆心位于其正下方的心位于其正下方的Q点，设微粒从点，设微粒从M 点离开磁场可证点离开磁场可证明四边形明四边形PO MQ是菱形，则是菱形，则M 点就是坐标原点，故点就是坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点这束带电微粒都通过坐标原点0 x xy yR RO O/O Ov vC CA Ax xy yR RO O/v vQQP PO OR R 图图图图(a)a)图图图图(b)b)M
13、M第10页，讲稿共22张，创作于星期日xyRO/Ov带带点点微微粒粒发发射射装装置置CPQr图图(c)(3)带电微粒在带电微粒在y y轴右方轴右方轴右方轴右方(X O)(X O)的区域离开磁场并做匀速的区域离开磁场并做匀速的区域离开磁场并做匀速的区域离开磁场并做匀速直线运动靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射直线运动靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射直线运动靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射直线运动靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向向向向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在轴正方向的无穷远处，靠近
14、下端发射出来的带电微粒会在轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与X轴相交的区轴相交的区域范围是域范围是X 0第11页，讲稿共22张，创作于星期日例例例例2 2、（2009海南海南T16）如图，如图，ABCD是边长为是边长为a的正方形。质量为的正方形。质量为m电荷量为电荷量为e的电子以大小为的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于的初速度沿纸面垂直于BC边射边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从入正方形区域。在
15、正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边边上的任意点入射，都只能从上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。）此匀强磁场区域的最小面积。ABCDx xy yO Ov v0 0第12页，讲稿共22张，创作于星期日解：解：解：解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧。令圆弧AEC是自是自C点垂直于点垂直于BC入射的电子在入射的电子在磁场中的运行轨道。磁场中的运行轨道。依题意，圆心在依题意，圆心在A、C
16、连线的中垂线上，故连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为点即为圆心，圆半径为a，按，按照牛顿定律有照牛顿定律有 ev0B=mv02/a，得，得B=mv0/ea。A AB BC CD DE EF Fp p q qO O（2）自）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧区域中。因而，圆弧AEC是所是所求的最小磁场区域的一个边界。求的最小磁场区域的一个边界。设某射中设某射中A点的电子速度方向与点的电子速度方向与BA的延长线夹角为的延长线夹角为的情的情形。该电子的运动轨迹形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中圆弧如图所示。图中圆弧Ap的圆
17、心为的圆心为O，pq垂直于垂直于BC边边，圆弧，圆弧Ap的半径仍为的半径仍为a，在，在D为原点、为原点、DC为为x轴、轴、DA为为y轴的坐标系中，轴的坐标系中，p点的坐标为点的坐标为(x，y)，则，则 x=asin，y=acos。因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和和D为圆心、为圆心、a为半径的两个四分之一为半径的两个四分之一圆周圆周AEC和和AFC所围成的区域，其面积为所围成的区域，其面积为S=2(a2/4-a2/2)=(-2)a2/2由由式可得：式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围，这意味着在范围0/2内，内，p点点处在以处在以D为圆心、为圆
18、心、a为半径的四分之一圆周为半径的四分之一圆周AFC上，它是电子上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。第13页，讲稿共22张，创作于星期日例例例例3、如图所示，在如图所示，在如图所示，在如图所示，在 xOyxOy平面上平面上平面上平面上HH y y HH的范围内有一片稀疏的范围内有一片稀疏的范围内有一片稀疏的范围内有一片稀疏的电子，从的电子，从的电子，从的电子，从 x x 轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率 v v0 0 沿沿沿
19、沿 x x 轴正向平轴正向平轴正向平轴正向平行地向行地向行地向行地向 y y 轴射来，试设计一个磁场区域，使得：轴射来，试设计一个磁场区域，使得：轴射来，试设计一个磁场区域，使得：轴射来，试设计一个磁场区域，使得：(1)(1)所有电所有电所有电所有电子都能在磁场力作用下通过原点子都能在磁场力作用下通过原点子都能在磁场力作用下通过原点子都能在磁场力作用下通过原点 O O；(2)(2)这一片电子最后扩展到这一片电子最后扩展到这一片电子最后扩展到这一片电子最后扩展到 2 2HH y y20）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为
20、 R，电子电量为电子电量为 e，质量为，质量为 m。不计重力及阻力的作用。不计重力及阻力的作用。（1）求电子射入磁场时的速度大小；）求电子射入磁场时的速度大小；（2）速度方向沿）速度方向沿x轴正方向射入磁场轴正方向射入磁场 的电子，求它到达的电子，求它到达y轴所需要的时间；轴所需要的时间；（3）求电子能够射到）求电子能够射到y轴上的范围。轴上的范围。x xy yO OE EOOR R第16页，讲稿共22张，创作于星期日例、例、例、例、(2008(2008重庆高考重庆高考重庆高考重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以O为圆为圆心，心，OH为对称轴，夹角
21、为为对称轴，夹角为2的扇形区域内分布着方向垂直于纸的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于面的匀强磁场。对称于OH轴的轴的C和和D分别是离子发射点和收集点。分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于垂直磁场左边界于M，且，且OM=d。现有一正离子束以小发散角。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从（纸面内）从C射出，这些离子在射出，这些离子在CM方向上的分速度均为方向上的分速度均为v0。若该离子束中比荷为若该离子束中比荷为q/m的离子都能会聚到的离子都能会聚到D，试求：，试求：（1）磁感应强度的大小和方向）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿（提示：可考虑沿CM方向运动的离子方向
22、运动的离子为研究对象）为研究对象）；（2）离子沿与）离子沿与CM成成 角的直线角的直线 CN进入磁场，其轨道半径和在进入磁场，其轨道半径和在 磁场中的运动时间；磁场中的运动时间；（3）线段）线段CM的长度。的长度。第17页，讲稿共22张，创作于星期日解：解：解：解：（1）如图所示，设沿）如图所示，设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为轨道半径为R，由由R=d，qv0B=mv02/R可得可得 B=mv0/qd，磁场方向垂直纸面向外。磁场方向垂直纸面向外。（2 2）设沿）设沿）设沿）设沿CNCN运动的离子速度大小为运动的离子速度大小为运动的离子速度大
23、小为运动的离子速度大小为v v，在磁场，在磁场，在磁场，在磁场中的轨道半径为中的轨道半径为中的轨道半径为中的轨道半径为R R，运动时间为，运动时间为，运动时间为，运动时间为t t由由由由 v vcoscos =v v0 0，得得得得v v=v v0 0/cos/cos。R=mv/qB=d d/cos/cos。设设设设弧弧弧弧长为长为长为长为s s，t t=s/vs/v，s=s=2(2(+)RR离子在磁场中做匀速圆周运动的周期离子在磁场中做匀速圆周运动的周期离子在磁场中做匀速圆周运动的周期离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T T=2=2 m/Bqm/Bq，得：得：得：得：t t=(3)(3)CMC
24、M=MNMNcotcot 由正弦定理得由正弦定理得由正弦定理得由正弦定理得=R=mv/qB=d d/cos/cos。以上以上以上以上3 3式联立求解得式联立求解得式联立求解得式联立求解得 CMCM=d d cotcot 第18页，讲稿共22张，创作于星期日例、例、例、例、如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系 xOy xOy 中，点中，点中，点中，点MM(0(0，1)1)处不断向处不断向处不断向处不断向 +y y 方向发射出方向发射出方向发射出方向发射出大量质量为大量质量为大量质量为大量质量为 mm、带电量为、带电量为、带电量为、带电量为 q q 的粒子，粒子
25、的初速度大小广泛分布的粒子，粒子的初速度大小广泛分布的粒子，粒子的初速度大小广泛分布的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到于零到于零到于零到 v v0 0之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为 B B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿 +x x 方向经过方向经过方向经过方向经过 b b 区域，都区域，都区域，都区域，都沿沿沿沿 y y的方向通
26、过点的方向通过点的方向通过点的方向通过点 N N(3(3，0)0)。（1 1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；（2 2）若其中速度为）若其中速度为）若其中速度为）若其中速度为 k k1 1v v0 0 和和和和 k k2 2v v0 0 的两个粒子同时到达的两个粒子同时到达的两个粒子同时到达的两个粒子同时到达 N N 点点点点(1(1k k1 1 k k2 20)0)，求二者发射的时间差。，求二者发射的时间差。，求二者发射的时间差。，求二者发射的
27、时间差。MMO Oa ab bc cN N1 12 23 3x x(mvmv0 0/qBqB)y y(mvmv0 0/qBqB)1 12 2v v0 0第19页，讲稿共22张，创作于星期日例、例、（1975 IPHO1975 IPHO试题）试题）试题）试题）质量均为质量均为质量均为质量均为mm的一簇粒子在的一簇粒子在的一簇粒子在的一簇粒子在P P点以同一速度点以同一速度点以同一速度点以同一速度v v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B B将这些粒将这些粒将这些粒
28、将这些粒子聚焦于子聚焦于子聚焦于子聚焦于R R点，距离点，距离点，距离点，距离PRPR=2=2a a，离子的轨迹应是轴对称的。试确定，离子的轨迹应是轴对称的。试确定，离子的轨迹应是轴对称的。试确定，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。磁场区域的边界。磁场区域的边界。磁场区域的边界。x xy yv vP PR Ra a磁磁磁磁 场场场场O Oa ar rb b A A(x,yx,y)解答：解答：解答：解答：在磁场在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用作中，粒子受洛仑兹力作用作半径为半径为r的圆周运动：的圆周运动：设半径为设半径为r的圆轨道上运动的粒子，在的圆轨道上运动的粒子，在点点A(x，y)
29、离开磁场，沿切线飞向离开磁场，沿切线飞向R点。由点。由相似三角形得到：相似三角形得到：同时，同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程：作为轨迹圆上的点，应满足方程：v v2 2qvB qvB=mmr rmvmvr rqBqB=x x=y yb by ya ax xx x2 2+(y yb b)=)=r r2 2 y y=r r2 2x x2 2x x(a ax x)消去消去(y-b)，得到满足条件的，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：为：第20页，讲稿共22张，创作于星期日例、例、(第二十届全国预赛试题第二十届全国预赛试题第二十届全国预
30、赛试题第二十届全国预赛试题)从从从从 z z轴轴轴轴上的上的上的上的O O点点点点发发发发射一束射一束射一束射一束电电电电量量量量为为为为q q、质质质质量量量量为为为为mm的的的的带带带带正正正正电电电电粒子，它粒子，它粒子，它粒子，它们们们们速度方向分布在以速度方向分布在以速度方向分布在以速度方向分布在以O O点点点点为顶为顶为顶为顶点、点、点、点、z z轴为轴为轴为轴为对对对对称称称称轴轴轴轴的一个的一个的一个的一个顶顶顶顶角很小的角很小的角很小的角很小的锥锥锥锥体内（如体内（如体内（如体内（如图图图图所示），速度的大小都所示），速度的大小都所示），速度的大小都所示），速度的大小都等于等
31、于等于等于v v。试设计试设计试设计试设计一种匀一种匀一种匀一种匀强强强强磁磁磁磁场场场场，能使，能使，能使，能使这这这这束束束束带电带电带电带电粒子会聚于粒子会聚于粒子会聚于粒子会聚于z z轴轴轴轴上上上上的另一点的另一点的另一点的另一点MM，MM点离开点离开点离开点离开O O点的距离点的距离点的距离点的距离为为为为d d。要求。要求。要求。要求给给给给出出出出该该该该磁磁磁磁场场场场的方向、的方向、的方向、的方向、磁感磁感磁感磁感应应应应强强强强度的大小和最小度的大小和最小度的大小和最小度的大小和最小值值值值。不。不。不。不计计计计粒子粒子粒子粒子间间间间的相互作用和重力的相互作用和重力的相互作用和重力的相互作用和重力的作用。的作用。的作用。的作用。n n=1，2 2，3，z zO OMM磁透镜磁透镜磁透镜磁透镜第21页，讲稿共22张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第22页，讲稿共22张，创作于星期日