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1、第2章场源模型1本讲稿第一页，共四十二页2.1 标量场标量场一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标系中，一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标系中，某标量场某标量场 是场中点是场中点 的单值函数的单值函数 ，它可表示为，它可表示为 1.1.标量场标量场2本讲稿第二页，共四十二页2.2.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；等值面，形成等值面族；标量场的等值
2、面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线(面面)3本讲稿第三页，共四十二页2.2 标量场的方向导数标量场的方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点：方向导数既与
3、点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：4本讲稿第四页，共四十二页2.3 标量场的梯度标量场的梯度（或或 ）标量场在空间某一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上的变化率可能最大，为此引入梯度的概念，用它来说明标量场的最大变化率和达到最大变化率的特定方向。也就是说，标量场u在点M处的梯度是一个矢量，其大小等于最大变化率，其方向是标量场u变化最大的方向。梯度可表示为5本讲稿第五页，共四十二页其中6本讲稿第六页，共四十二页圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系
4、球坐标系其他坐标系下的梯度的表达式为其他坐标系下的梯度的表达式为：根据梯度定义，可得直角坐标下的梯度公式7本讲稿第七页，共四十二页标量场的梯度是矢量场，它在空间某点标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的
5、等值面（或切平面）8本讲稿第八页，共四十二页 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为例例1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z)=x2y2z 描描述述了了空空间间标标量量场场。试试求：求：(1)该该函函数数 在在点点 P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的单位矢量。的单位矢量。(2)求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。9本讲稿第九页，共四十二页表征其方向
6、的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为方向的方向导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为10本讲稿第十页，共四十二页而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。11本讲稿第十一页，共四十二页2.4 矢量场的散度矢量场的散度 1.矢量线（力线）矢量线（力线）意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场
7、的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 12本讲稿第十二页，共四十二页2.矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭
8、合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是向外，矢量场对闭合曲面的通量是13本讲稿第十三页，共四十二页通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义14本讲稿第十四页，共四十二页3.矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关
9、系，需建立场空间任意点（小体积元）为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度表示在点散度表示在点M M处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以散度描述了处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以散度描述了通量源的密度。通量源的密度。15本讲稿第十五页，共四十二页圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：16本讲稿第十六页，共四十二
10、页直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为 不失一般性，以点不失一般性，以点M为顶点作一很小的直平行六面体，如图所示。则为顶点作一很小的直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDM17本讲稿第十七页，共四十二页穿出左、右两侧面的净通量值为穿出左、右两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为又因为所以18本讲稿第十八页，共四十二页因此直角坐标系中的散度因此直角坐标系中的散度 表达式为表达式为19本讲稿第十九页，共四十二页4.散度定理散度定理体积的剖分体
11、积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。论中有着广泛的应用。20本讲稿第二十页，共四十二页2.5 矢量场旋度矢量场旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢不是
12、所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。21本讲稿第二十一页，共四十二页 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出
13、曲面磁感应线磁感应线22本讲稿第二十二页，共四十二页q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称，又称为为保守场保守场。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积的线积分，即分，即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有有旋矢量场旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋涡。电流是磁场的旋涡源。源。23本讲稿第二十三页
14、，共四十二页 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。2.矢量场的旋度矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密度称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕
15、向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限24本讲稿第二十四页，共四十二页 在磁场中，如果某点附近的面元方向与电流方向重合，则磁场强度 的环流面密度有最大值；如果面元方向与电流方向有一夹角，则磁场强度 的环流面密度总是小于最大值；当面元方向与电流方向垂直时，则磁场强度 的环流面密度等于0。由于矢量场在点M处的环流面密度与面元S的法线方向 有关，因此，在矢量场中，一个给定点M 处沿不同 方向，其环流面密度的值一般是不同的。在某一个确定的方向上，环流面密度可能取得最大值。为了描述这个问题，引入旋度的概念。25本讲稿第二十五页，共四十二页概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为
16、点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流面密点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：矢量场在点矢量场在点M M处的旋度就是在该点处的旋度就是在该点的的旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度26本讲稿第二十六页，共四十二页oyDz DyCzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中旋度的表达式直角坐标系中旋度的表达式以点M为顶点，取一个平行于yz面的矩形面元，则M27本讲稿第二十七页，共四十二页于是于是 同理可得同理可得故得故得28本讲稿第二十八
17、页，共四十二页旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系29本讲稿第二十九页，共四十二页旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零30本讲稿第三十页，共四十二页3.斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线积分定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应式，也在电磁理论中有广泛的应用。用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任
18、意闭合曲线的环流从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即31本讲稿第三十一页，共四十二页4.散度和旋度的区别散度和旋度的区别 32本讲稿第三十二页，共四十二页1.矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散
19、度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。2.6 无旋场与无散场无旋场与无散场33本讲稿第三十三页，共四十二页2.矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢
20、量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场34本讲稿第三十四页，共四十二页（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场35本讲稿第三十五页，共四十二页（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分36本讲稿第
21、三十六页，共四十二页2.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系37本讲稿第三十七页，共四十二页 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：38本讲稿第三十八页，共四十二页2.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场那么，
22、可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式：根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向上方向上的偏导数。的偏导数。39本讲稿第三十九页，共四十二页基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格
23、林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场场的的求解问题。求解问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。40本讲稿第四十页，共四十二页亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 式中：式中：亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。2.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理41本讲稿第四十一页，共四十二页有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。42本讲稿第四十二页，共四十二页