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1、关于数学归纳法的再认关于数学归纳法的再认识识第1页，讲稿共23张，创作于星期二复习复习n n自然数的基数理论如何定义自然数及其自然数的基数理论如何定义自然数及其运算？序数理论呢？运算？序数理论呢？n n算术系统：定义了加法和乘法的自然算术系统：定义了加法和乘法的自然数系统，它是数学中最基础的一个公数系统，它是数学中最基础的一个公理系统。但已证明理系统。但已证明“算术系统的相容算术系统的相容性不可能用自身的公理加以证明性不可能用自身的公理加以证明”。第2页，讲稿共23张，创作于星期二证明与自然数有关的命题证明与自然数有关的命题上节课用序数理论上节课用序数理论数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识设
2、使设使成立的所有成立的所有a a组成组成的集合为的集合为M M，为证为证MN，证（证（1）1 M M；（；（2 2）假定假定aMaM，要证要证a a+M M 归纳公理可证第一数学归纳法数学归纳法的其他数学归纳法的其他6 6种形式种形式第3页，讲稿共23张，创作于星期二定理：定理：第一数学归纳法第一数学归纳法n n 设设P(n)是关于自然数是关于自然数n的命题，若的命题，若 （1）(奠基奠基)P(n)在在n1时成立；时成立；（2）（归纳）（归纳)在在P(k)(k是任意自然数是任意自然数)成成立的假定下可以推出立的假定下可以推出P(k+1)成立，则成立，则P(n)对一切自然数对一切自然数n都成立都
3、成立 n n 移动起点的第一数学归纳法移动起点的第一数学归纳法 n=n0 第4页，讲稿共23张，创作于星期二数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识n n逻辑推理方法分演绎和归纳逻辑推理方法分演绎和归纳n n数学归纳法是完全归纳法吗？数学归纳法是完全归纳法吗？n n数学归纳法是一种演绎方法数学归纳法是一种演绎方法n n数学归纳法是一种递推法数学归纳法是一种递推法n n前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计
4、一种方案：假定当可以一个接一个地自动进行，需要设计一种方案：假定当可以一个接一个地自动进行，需要设计一种方案：假定当可以一个接一个地自动进行，需要设计一种方案：假定当自然数自然数自然数自然数n取某一个值取某一个值取某一个值取某一个值k k时，命题已被判为真，那么若能证时，命题已被判为真，那么若能证时，命题已被判为真，那么若能证时，命题已被判为真，那么若能证明当明当明当明当nk k1 1时，命题也是真的，就做好了自动传递推证时，命题也是真的，就做好了自动传递推证时，命题也是真的，就做好了自动传递推证时，命题也是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。的准备工作。的准备工作。的准备工作。n n两步：
5、奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推 两步缺一不可两步缺一不可两步缺一不可两步缺一不可第5页，讲稿共23张，创作于星期二防止貌合神离防止貌合神离n n用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n3+5n能被能被6整除整除错证：（错证：（1）当）当n=1时，时，13+51=6，命题成立；，命题成立；（2）假设当）假设当n=k时，时，k3+5k能被能被6整除，当整除，当n=k+1时，时，(k+1)3+5(k+1)=(k+1)(k+1)2+5=k(k+1)(k+2)+6(k+1)因为三个连续自然数的积因为三个连续自然数的积能被能被
6、6整除，第整除，第2项也能被项也能被6整除，所以整除，所以n=k+1时命题也成立。时命题也成立。由（由（1）、（）、（2），原命题成立。），原命题成立。5=-1+6未用数学归纳法第6页，讲稿共23张，创作于星期二数学归纳法的几种数学归纳法的几种其他其他形式形式n n第二数学归纳法（串值归纳法）第二数学归纳法（串值归纳法）设设P(n)是关于自然数是关于自然数n的命题，若的命题，若1.1.P(n)P(n)在在n=1n=1时成立时成立时成立时成立2.2.假设假设假设假设P(m)P(m)对于所有适合对于所有适合对于所有适合对于所有适合mkmnmn时，时，时，时，f(m)f(n)f(m)f(n)求证求证
7、求证求证f(x)=xf(x)=x在在在在N N上恒成立上恒成立上恒成立上恒成立n n例：设例：设n5,证明每一个正方形可以分为证明每一个正方形可以分为n个正方个正方形。形。反向归纳法反向归纳法串值归纳法串值归纳法跳跃式归纳法跳跃式归纳法第11页，讲稿共23张，创作于星期二用反向归纳法证明用反向归纳法证明n n易证有无限多个自然数易证有无限多个自然数2n,使命题成立使命题成立n n若若f(x)=x,(x1),可证可证f(x-1)f(x-2),f(x-1)f(x-2)+1f(x-3)+2 f(1)+x-2=x-1第12页，讲稿共23张，创作于星期二用串值归纳法证明用串值归纳法证明由串值归纳法由串值
8、归纳法第13页，讲稿共23张，创作于星期二用跳跃式归纳法证明用跳跃式归纳法证明n n先证可以分成先证可以分成6、7、8个正方形个正方形n n再假设命题对于再假设命题对于n（n8)成立，先将其分成成立，先将其分成n个个正方形，再将其中一个正方形分为正方形，再将其中一个正方形分为4个相等的个相等的正方形，原来的正方形就被分为正方形，原来的正方形就被分为n+3个个第14页，讲稿共23张，创作于星期二n n例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们剪例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们剪例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们剪例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们
9、剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。n n勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明赵爽对勾股定理的证明赵爽对勾股定理的证明 ab第15页，讲稿共23张，创作于星期二刘徽对勾股定理的证明刘徽对勾股定理的证明 第16页，讲稿共23张，创作于星期二观察、归纳与证明观察、归纳与证明n n观察异同观察异同n n归纳猜想归纳猜想n n不完全归纳不完全归纳n n完全归纳（由每一对象都具有某种性完全归纳（由每一对象都具有某种性质得到的）质得到的）n n证明或推翻猜想证明
10、或推翻猜想第17页，讲稿共23张，创作于星期二探索探索n n一个整数是一个整数是3、9、11的倍数的特征各是什么？的倍数的特征各是什么？n n一个整数是一个整数是3的倍数，则各位上数字的和是的倍数，则各位上数字的和是3的的倍数倍数n n一个整数是一个整数是9的倍数，则各位上数字的和是的倍数，则各位上数字的和是9的的倍数倍数n n一个整数是一个整数是11的倍数，则其奇数位上数字的和减的倍数，则其奇数位上数字的和减去偶数位上数字的和是去偶数位上数字的和是11的倍数的倍数第18页，讲稿共23张，创作于星期二观察猜想要小心观察猜想要小心n n数列：数列：1，2，4，8，16，？，？n n32 熟悉这个
11、模式熟悉这个模式n n31 1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3131，AnAn 1 1，2 2，4 4，8 8，1515，BnBn 1 1，2 2，4 4，7 7，CnCn 1 1，2 2，3 3，DnDn4112657第19页，讲稿共23张，创作于星期二1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3131，？，？n nDn:1，2，3，4，n nCn:1，2，4，7，11，Cn+1Cn=Dn=n CnCn-1=n-1 C2C1=1 所以所以Cn+1=1+(1+n)Cn=1+(1+n-1)=n n同理求出同理求出Bn、An第20页，讲稿共23张，创作于星期二连接圆上所有点连接圆上所有点
12、圆上的点数圆被分割成的区域数11223448516631757第21页，讲稿共23张，创作于星期二平面上凸平面上凸平面上凸平面上凸n n边形内部最多边形内部最多被分为被分为m块，块，块，块，m+n即为所即为所即为所即为所求求求求圆上每圆上每4 4个点，连线后多个点，连线后多1 1个点个点,于是一共增加于是一共增加C(n,4)C(n,4)个点，将这些点个点，将这些点“拉出拉出”圆平面，构成一个凸多面圆平面，构成一个凸多面体，根据体，根据 V+F-E=2V+F-E=2V=n+C(n,4)V=n+C(n,4)（下上）（下上）2E=(n-1)n+4C(n,4)2E=(n-1)n+4C(n,4)可求出可求出F F，m=F-1m=F-1，m+n m+n 即即得得第22页，讲稿共23张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第23页，讲稿共23张，创作于星期二