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1、关于数值积分与数值微分(3)第1页，讲稿共120张，创作于星期二4.1引言引言若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原函数为上连续且其原函数为F(x),则可用则可用Newton-Leibnitz公式求定积分的值公式求定积分的值求得定积分求得定积分Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：复杂，在实际计
2、算中经常遇到以下三种情况：第2页，讲稿共120张，创作于星期二(1)被积函数被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数表示的原函数F(x).例如：例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了公式就无能为力了(2)被积函数被积函数f(x)能用初等函数表示能用初等函数表示,并不复杂并不复杂,但积分后其但积分后其原函数原函数F(x)表达式却很复杂表达式却很复杂.例如例如积分后其原函数积分后其原函数F(x)为：为：第3页，讲稿共120张，创作于星期二(3)被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式,其函数其函数关系
3、关系由表格或图形表示由表格或图形表示.对于这些情况对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的要计算积分的准确值都是十分困难的.由由此可见此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研因而研究一种新的积分方法来解决究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能公式所不能或很难解决的积分问题或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立求积分这时需要用数值解法来建立求积分的近似计算方法的近似计算方法.第4页，讲稿共120张，创作于星期二 4.1.1 4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以
4、解释为由x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积这四条边所围成的曲边梯形面积.如图如图4-14-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边曲边y=f(x)图图4-1数值积分的几何意义数值积分的几何意义第5页，讲稿共120张，创作于星期二建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区，在积分区间间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的
5、曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为的矩形面积的矩形面积.第6页，讲稿共120张，创作于星期二但是点但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的,因而因而 的值也是的值也是未知的未知的,称称 为为f(x)在区间在区间 a,b 上的平均高度上的平均高度.那么只那么只要对平均高度要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法值求积方法第7页，讲稿共120张，创作于星期二三个求积分公式三个求积分公式y=f(x)yabab(a+b)/2按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式:例如例如xy=f(
6、x)ab梯形公式梯形公式 取取则得到梯形公式则得到梯形公式:(4.1)(4.1)第8页，讲稿共120张，创作于星期二三个求积分公式三个求积分公式aby 取取y=f(x)xab则得到则得到中矩形公式中矩形公式:中矩形公式中矩形公式(4.2)(4.2)第9页，讲稿共120张，创作于星期二三个求积分公式三个求积分公式 取取则得到则得到Simpson公式公式:y=f(x)yab(a+b)/2abx(4.3)(4.3)第10页，讲稿共120张，创作于星期二梯形公式梯形公式把把f(a),f(b)的加权平均值的加权平均值作为平均高作为平均高度度f()的近似值的近似值.中矩形公式中矩形公式把把a,b的中点处函
7、数值的中点处函数值作为作为平均平均高度高度f()的近似值的近似值.Simpson公式公式是以函数是以函数f(x)在在a,b,这三点的函数值这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值的加权平均值作为平均高度作为平均高度f()的近似值的近似值.第11页，讲稿共120张，创作于星期二更一般地，可以在区间更一般地，可以在区间a,b上适当选取某些节点上适当选取某些节点xk，然然后用后用f(xk)的加权平均作为平均高度的加权平均作为平均高度f()的近似值的近似值,这样构造出这样构造出来的求积公式具有下列形式：来的求积公式具有下列形式：其中其中xk称为称为求积节点求积节点;Ak称为称为求积系数求积系数,
8、也称为伴随节点也称为伴随节点xk的的权权.注注:Ak仅仅与节点仅仅与节点xk有关有关,而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数f(x).(4.4)(4.4)第12页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.1设积分区间设积分区间a,b为为0,2，取，取 时时,分别用梯形、中矩形公式和分别用梯形、中矩形公式和Simpson公式计算其积公式计算其积分结果并与准确值进行比较分结果并与准确值进行比较解解:积分公式分别为积分公式分别为第13页，讲稿共120张，创作于星期二 f(x)1xx2x3x4ex准确值准确值222.6746.406.389中梯形公式计算值中梯形公式计算值2248168.389矩形公式计算值
9、矩形公式计算值222225.436Simpson公式计算值公式计算值222.6746.676.421 从表中可以看出从表中可以看出,当当f(x)为为 时时,Simpson比梯形公式和中矩形公式更精确比梯形公式和中矩形公式更精确.第14页，讲稿共120张，创作于星期二定义定义4.14.1如果某个如果某个求积公式对于次数不大于求积公式对于次数不大于m的多项的多项式均能准确的成立式均能准确的成立,但对于但对于m+1次多项式就不一定准确，次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次代数精度次代数精度.从而验证求积公式的代数精度时从而验证求积公式的代数精度时,只需验证该求积公只需验证该
10、求积公式对式对是否成立即可是否成立即可.4.1.2 4.1.2 代数精度的概念代数精度的概念注：注：由于次数不大于由于次数不大于m的多项式可以表示为的多项式可以表示为第15页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.2验证梯形公式的代数精度验证梯形公式的代数精度.练习练习4.1验证中矩形公式和验证中矩形公式和Simpson公式的代数精度公式的代数精度.第16页，讲稿共120张，创作于星期二取取f(x)=1时，时，两端相等两端相等 取取f(x)=)=x时时,取取f(x)=)=x2 2 时时,两端不相等两端不相等 故梯故梯形公式具有形公式具有1 1次代数精度次代数精度.两端相等两端相等 第17页，讲稿
11、共120张，创作于星期二一般地一般地,欲使求积公式欲使求积公式(4.4)具有具有m次代数精度次代数精度,只要令它只要令它对于对于都能准确成立都能准确成立,这就要求这就要求第18页，讲稿共120张，创作于星期二这是关于这是关于的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵是范得蒙矩阵,当当互异时非奇异互异时非奇异,故故有唯一解有唯一解.如果事先选定求积节点如果事先选定求积节点xk,取取m=n,此时有此时有第19页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.3试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式解解:要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度,则对
12、则对f(x)=1,)=1,x,x2 2 求积公式准确成立，即得如下方程组求积公式准确成立，即得如下方程组解之得解之得 所求公式为：所求公式为：第20页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.4试确定求积系数试确定求积系数A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度所得求积公式为：所得求积公式为：对于对于f(x)=1,)=1,x,x2 2,x3 3都准确成立都准确成立,对于对于f(x)=)=x4 4 就不准确就不准确了，所以此求积公式具有了，所以此求积公式具有 3 3 次代数精度次代数精度.解解:分别取分别取f(x)=1,)=1,x,x2 2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立,即即
13、得如下方程组得如下方程组第21页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.5给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度度，并指出其代数精度解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有准确成立，则有第22页，讲稿共120张，创作于星期二解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相等代入求积公式两端相等,而将而将将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为所以其代数精度为3次次第23页，讲稿共120张，创作于星
14、期二（2）先用某个简单函数）先用某个简单函数近似逼近近似逼近f(x),用用代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即，即要求：要求：函数函数应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易并且容易计算其积分计算其积分.由于多项式能很好地逼近连续函数由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积且又容易计算积分分,因此将因此将选取为插值多项式选取为插值多项式,这样这样f(x)的积分就的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替可以用其插值多项式的积分来近似代替以此构造数值算法以此构造数值算法.第24页，讲稿共120张，创作于星期二4.1.3 4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式设已
15、知设已知f(x)在节点在节点 有函数值有函数值作作n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 式中式中 这里这里 多项式多项式Ln(x)易于求积易于求积,所以可取所以可取 作作为为 的近似值，即的近似值，即 第25页，讲稿共120张，创作于星期二其中其中称为称为求积系数求积系数.插值型求积公式插值型求积公式(4.5)(4.5)第26页，讲稿共120张，创作于星期二设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得由插值余项定理得其中其中 当当f(x)是次数不高于是次数不高于n的多项式时，有的多项式时，有从而插值型求积公式从而插值型求积公式(4.5)(4.5)至少具有至少具有n次代
16、数精度次代数精度.定义定义4.14.1 求积公式求积公式 其系数其系数 时，则称求积公式为插值时，则称求积公式为插值求积公式求积公式.第27页，讲稿共120张，创作于星期二定理定理4.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式至少有至少有n次代数精度的充要条件是它是插值型的次代数精度的充要条件是它是插值型的.第28页，讲稿共120张，创作于星期二必要性：必要性：若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度,则对则对n n次多项式次多项式精确成立精确成立,即即而而取取 时时所以有所以有 ,即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式 第29页，讲稿共120张，创作于星期
17、二4.2Newton-Cotes公式公式4.2.1Cotes系数系数在插值求积公式在插值求积公式中中,当所当所取节点是等距时取节点是等距时称为称为Newton-Cotes公式公式其中其中插值多项式插值多项式求积系数求积系数这里这里是插值基函数是插值基函数,即有即有(4.6)(4.6)第30页，讲稿共120张，创作于星期二将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,作变量代换作变量代换当当时时,有有于是可得于是可得步长步长求积节点为求积节点为为了计算系数为了计算系数Ak,由于由于所以所以第31页，讲稿共120张，创作于星期二从而从而其中其中第32页，讲稿共120张，创作于星期二代入插值
18、求积公式代入插值求积公式(4.6)有有称为称为Newton-Cotes求积公式求积公式,称为称为Cotes系数系数 (2)(2)显然显然,是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间 a,b 以及被以及被积函数积函数f(x)的常数的常数,只要给出只要给出n,就可以算出就可以算出Cotes系数系数.(1)容易验证容易验证注注(4.7)(4.7)第33页，讲稿共120张，创作于星期二当当n=1时时当当n=2时时梯形公式梯形公式Simpson公式公式TS第34页，讲稿共120张，创作于星期二P P82 82 表表4.14.1给出了给出了n从从1 18 8的的Cotes系数系数当当n=4时时Cotes公式公式
19、C当当n=8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式因此实用的只是低阶公式.第35页，讲稿共120张，创作于星期二Newton-Cotes公式柯特斯系数n n11/21/211/21/221/64/61/621/64/61/631/83/83/81/831/83/83/81/847/9016/452/1516/457/9047/9016/452/1516/457/9055下面分别考虑几种特殊请况.第36页，讲稿共120张，创作于星期二4.2.2 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度定理定理4.2当当n为偶数时
20、为偶数时,Newton-Cotes公式公式(4.7)至少有至少有n+1次代数精度次代数精度.n阶阶Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有n次代数精度次代数精度Simpson公式公式(二阶二阶Newton-Cotes公式公式)具有具有3次代数精次代数精度度梯形公式梯形公式(一阶一阶Newton-Cotes公式公式)具有具有1次代数精度次代数精度第37页，讲稿共120张，创作于星期二4.2.3 4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 在在Newton-Cotes求积公式中求积公式中n=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、得到下面的梯形公式、Simpson公
21、式和公式和Cotes公式公式(1)(1)梯形公梯形公式式 当当n=1时，时，Newton-Cotes公式就是梯形公式公式就是梯形公式梯形公式的误差梯形公式的误差:设设f(x)在在 a,b 上具有连续的二阶导数，上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为则梯形公式的误差（余项）为第38页，讲稿共120张，创作于星期二证证:由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 由于由于(x-a)()(x-b)在在 a,b 中不变号中不变号,在在 a,b 上连上连续续,根据积分中值定理根据积分中值定理 ,在在 a,b 上存在一点上存在一点，使，使 因
22、此因此 第39页，讲稿共120张，创作于星期二（2 2）Simpson公式公式 当当n=2时时,Newton-Cotes公式就是公式就是Simpson公式（或公式（或称抛物线公式）称抛物线公式）Simpson公式的误差：公式的误差：设设f(x)在在 a,b 上具有连续的上具有连续的4 4阶导阶导数，则数，则Simpson公式的误差为公式的误差为 第40页，讲稿共120张，创作于星期二（3 3）Cotes公式公式 当当n=4时，时，Newton-Cotes公式为公式为Cotes公式的误差公式的误差:设在设在f(x)a,b 上具有连续的上具有连续的6 6阶导数，阶导数，则则Cotes公式的误差为公
23、式的误差为 第41页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.6分别用梯形公式、分别用梯形公式、Simpson公式和公式和Cotes公式计算定公式计算定积分积分 的近似值，并与准确值进行比较的近似值，并与准确值进行比较.(1)(1)用梯形公式计算用梯形公式计算 (2)(2)用用Simpson公式公式 第42页，讲稿共120张，创作于星期二(3)(3)用用Cotes公式计算，系数为公式计算，系数为积分的准确值为积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐渐提高可见，三个求积公式的精度逐渐提高 第43页，讲稿共120张，创作于星期二4.2.4复化求积法及其收敛性复化求积法及其收敛性 由梯形、由梯形、Sim
24、pson和和Cotes求积公式余项可知，随着求积公式余项可知，随着求积求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高.但由于但由于n88时的时的Newton-Cotes公式开始出现负值的公式开始出现负值的Cotes系数系数.根据误差理论的分析研究根据误差理论的分析研究,当积分公式出现负系数时当积分公式出现负系数时,可能可能导致舍入误差增大导致舍入误差增大,并且往往难以估计并且往往难以估计.因此不能用增加求积因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度节点数的方法来提高计算精度.在在实际应用中实际应用中,通常将积分区间分成若干个小区间通常将积分区间分成若干个
25、小区间,在每个小在每个小区间上采用低阶求积公式区间上采用低阶求积公式,然后把所有小区间上的计算结果然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式加起来得到整个区间上的求积公式,这就是复化求积公式的这就是复化求积公式的基本思想基本思想.常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化Simpson公式公式.第44页，讲稿共120张，创作于星期二然后将它们累加求和然后将它们累加求和,用用 作为所求积分作为所求积分I的近似值的近似值(1)复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等份等份,步长步长求积节点为求积节点为
26、在每个小区间在每个小区间 上应用梯形公式上应用梯形公式 求出积分值求出积分值第45页，讲稿共120张，创作于星期二记记(4.8)复化梯形公式复化梯形公式 第46页，讲稿共120张，创作于星期二 设设f(x)在在 a,b 上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 在在 a,b 上的余项上的余项 第47页，讲稿共120张，创作于星期二设设 在在 a,b 上连续，根据连续函数的介值定理知，存在上连续，根据连续函数的介值定理知，存在 ，使，使因此因此,余项余项复化梯形求积算法实现复化梯形求积算法实现 复化梯形公式计算步骤复化梯形公式计算步骤
27、确定步长确定步长h=(=(b-a)/)/N(N为等分数为等分数),),T=0=0 对对k=1,2,N-1，计算，计算T=T+f(a+kh)T=h f(a)+)+2T+f(b)/2第48页，讲稿共120张，创作于星期二复复化化梯梯形形公公式式的的流流程程图图第49页，讲稿共120张，创作于星期二(2)复化复化Simpson公式及其误差公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等份等份,记子区间记子区间的中点为的中点为 在每个小区间上应用在每个小区间上应用Simpson公式，则有公式，则有 记记 (4.9)复化复化Simpson公式公式 第50页，讲稿共120张，创作于星期二 类似于
28、复化梯形公式余项的讨论，复化类似于复化梯形公式余项的讨论，复化Simpson公式公式的的余项为余项为复化复化Simpson求积算法实现求积算法实现复化辛卜生公式计算步骤复化辛卜生公式计算步骤 确定步长确定步长h=(b-a)/N,S1=f(a+h/2),S2=0(N为等分数为等分数)对对k=1,2,N-1,计算计算S1=S1+f(a+kh+h/2),S2=S2+f(a+kh)S=h f(a)+4S1+2S2+f(b)/6第51页，讲稿共120张，创作于星期二复复化化辛辛卜卜生生公公式式流流程程图图第52页，讲稿共120张，创作于星期二 如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分,内分点依次记
29、为内分点依次记为 同理可得复化同理可得复化Cotes公式公式 求积余项为求积余项为(3)复化复化Cotes公式及其误差公式及其误差(4.10)第53页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.7 分别用分别用n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4的复化的复化 Simpson公式计算定积分公式计算定积分 解解:首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8=8时，时，由复化梯形公式由复化梯形公式(4.8)(4.8)可得如下计算公式：可得如下计算公式：第54页，讲稿共120张，创作于星期二由复化由复化Simpson公式公式(4.9)(4.9)可得如下计算公式可得如下计算公式（积
30、分积分准确值准确值I=0.9460831=0.9460831）这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字法只有两位有效数字(T8=0.9456909),=0.9456909),而复化而复化Simpson公公式有六位有效数字式有六位有效数字.第55页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.8用复化梯形公式计算定积分用复化梯形公式计算定积分 才能使误
31、差不超过才能使误差不超过 解解:取取 ,则则 ,又区间长度又区间长度b-a=1，对，对复化梯形公式有余项复化梯形公式有余项 即即 ,n212.85，取，取n=213，即将区间，即将区间 0,1 分为分为213等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 问区间问区间 0,1 应分多少等份应分多少等份第56页，讲稿共120张，创作于星期二 复化求积公式的余项表明，只要被积函数复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)所涉所涉及的各阶导数在及的各阶导数在 a,b 上连续，那么复化梯形公式、复化上连续，那么复化梯形公式、复化Simpson公式与复化公式与复化Cotes公
32、式所得近似值公式所得近似值的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为因此当因此当h0(即即n)时时,都收敛于积分真值，都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快且收敛速度一个比一个快.第57页，讲稿共120张，创作于星期二现在考虑当现在考虑当h很小时误差的渐进性态很小时误差的渐进性态:对复化梯形公式对复化梯形公式,由余项公式由余项公式有有从而当从而当 时有下列渐进关系式时有下列渐进关系式第58页，讲稿共120张，创作于星期二类似地类似地,对复化对复化Simpson公式和复化公式和复化Cotes公式公式,有有定义定义4 4.2如果一种复化求积公式如果一种复化求积公式In,当当 时成立渐时成立
33、渐进关系式进关系式则称求积公式则称求积公式In是是p阶收敛的阶收敛的.注注:复化梯形公式、复化梯形公式、Simpson公式和公式和Cotes公式分别具有公式分别具有2阶、阶、4阶和阶和6阶收敛性阶收敛性.第59页，讲稿共120张，创作于星期二当当h很小时很小时,三种公式分别有下列误差估计式：三种公式分别有下列误差估计式：从而若将步长从而若将步长h减半减半(即等分数即等分数n加倍加倍),),则复化梯则复化梯形公式、形公式、Simpson公式和公式和Cotes公式的误差分别减公式的误差分别减至原有误差的至原有误差的第60页，讲稿共120张，创作于星期二4.3Romberg算法算法 复复化化求求积积
34、方方法法对对于于提提高高计计算算精精度度是是行行之之有有效效的的方方法法，但但复复化化公公式式的的一一个个主主要要缺缺点点在在于于要要先先估估计计出出步步长长.若若步步长长太太大大，则则难难以以保保证证计计算算精精度度，若若步步长长太太小小，则则计计算算量量太太大大，并并且且积积累累误误差差也也会会增增大大.在在实实际际计计算算中中通通常常采采用用变变步步长长的的方方法法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止.第61页，讲稿共120张，创作于星期二4.3.14.3.1梯形法的递推化梯形法的递推化 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，变步长复化求积法
35、的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长(逐次逐次分半分半)，直至满足精度要求为止，直至满足精度要求为止.即按照给定的精度实现即按照给定的精度实现步长的自动选取步长的自动选取.第62页，讲稿共120张，创作于星期二 设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，即分成等分，即分成n个子区间，一共有个子区间，一共有n+1个节点，即个节点，即xk=a+kh,k=0,1,，n,步长步长 .对于某个子区间对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分近似值利用梯形公式计算积分近似值有有对整个区间对整个区间 a,b 有有第63页，讲稿共120张，
36、创作于星期二将子区间将子区间 再二等分再二等分,取其中点取其中点作新节点作新节点,此时区间数增加了一倍为此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值利用复化梯形公式计算其积分近似值.对整个区间对整个区间 a,b 有有 比较比较 和和 有有(4.11)(4.11)式称为变式称为变步长梯形步长梯形公式公式 第64页，讲稿共120张，创作于星期二 当把积分区间分成当把积分区间分成n等份，用复化梯形公式计算积分等份，用复化梯形公式计算积分I的近似值的近似值 时，截断误差为时，截断误差为 若把区间再分半为若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值等份，计算
37、出定积分的近似值 ，则截断误差为，则截断误差为 当当 在区间在区间 a,b 上变化不大时上变化不大时,有有 所以所以 第65页，讲稿共120张，创作于星期二 可见可见,当步长二分后误差将减至原来的当步长二分后误差将减至原来的 将将上式移项整理，可得验后误差估计式上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要二等份前后两个积分值上式说明，只要二等份前后两个积分值 和和 相当相当接近，就可以保证计算结果接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使的误差很小，使 接近于积分值接近于积分值I.(4.12)第66页，讲稿共120张，创作于星期二变步长的梯形求积算法实现变步长的梯形求积算法实现（1 1）变步
38、长的梯形求积法的计算步骤）变步长的梯形求积法的计算步骤 变变步步长长梯梯形形求求积积法法.它它是是以以梯梯形形求求积积公公式式为为基基础础，逐步减少步长，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值按如下递推公式求二分后的梯形值其中其中Tn和和T2n分别代表二等分前后的积分值分别代表二等分前后的积分值如果如果,(为给定的误差限为给定的误差限)则则T2n作为作为积分的近似值积分的近似值,否则继续进行二等分否则继续进行二等分,即即转转再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值的积分值T2n作为所求的结果作为所求的结果第67页，讲稿共120张
39、，创作于星期二（2 2）变变步步长长梯梯形形公公式式的的流流程程图图第68页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.94.9 用变步长梯形求积法计算定积分用变步长梯形求积法计算定积分解解:先对整个区间先对整个区间 0,10,1 用梯形公式用梯形公式,对于对于 所以有所以有 然后将区间二等分然后将区间二等分,由于由于 故有故有 进一步二分求积区间进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值并计算新分点上的函数值 第69页，讲稿共120张，创作于星期二有有这样不断二分下去，计算结果如这样不断二分下去，计算结果如P88列表所示列表所示.积积分的准确值为分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长
40、，从表中可看出用变步长二分二分10次可得此结果次可得此结果.第70页，讲稿共120张，创作于星期二变变步步长长梯梯形形求求积积法法算算法法简简单单，但但精精度度较较差差，收收敛敛速速度度较较慢慢，但但可可以以利利用用梯梯形形法法算算法法简简单单的的优优点点，形形成成一一个个新新算算法法，这这就是龙贝格求积公式就是龙贝格求积公式.龙贝格公式又称逐次分半加速法龙贝格公式又称逐次分半加速法.4.3.2 4.3.2 Romberg公式公式第71页，讲稿共120张，创作于星期二根据积分区间分成根据积分区间分成n等份和等份和2n等份时的误差估计式等份时的误差估计式可得可得所以积分值所以积分值 的误差大致等
41、于的误差大致等于 ,如果用如果用 对对 进行修正时，进行修正时，与与 之和比之和比 更接近积分真值更接近积分真值,所以可以将所以可以将 看成是对看成是对 误差的一种补偿误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子因此可得到具有更好效果的式子.第72页，讲稿共120张，创作于星期二考察考察 与与n等分等分Simpson公式公式 之间的关系之间的关系.将将复化梯形公式复化梯形公式梯形变步长公式梯形变步长公式 代入代入 表达式得表达式得 故故 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和和 作线性组合，结果却得到复化作线性组合，结果却得到复化Simpson公式计算得到
42、公式计算得到的积分值的积分值 .第73页，讲稿共120张，创作于星期二再考察再考察Simpson法法.其截断误差与其截断误差与 成正比，因此，如果成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至将步长折半，则误差减至 ，即有，即有由此可得由此可得可以验证可以验证,上式右端的值其实等于上式右端的值其实等于Cn，就是说，用，就是说，用Simpson公式二等分前后的两个积分值公式二等分前后的两个积分值Sn和和S2n作线性组作线性组合后，可得到合后，可得到Cotes公式求得的积分值公式求得的积分值Cn，即有，即有 (4.14)(4.14)第74页，讲稿共120张，创作于星期二用同样的方法，根据用同样的方法，根
43、据Cotes公式的误差公式，可进一步导出公式的误差公式，可进一步导出Romberg公式公式(4.15)(4.15)在变步长的过程中运用在变步长的过程中运用(4.13)(4.13)、(4.14)(4.14)和和(4.15)(4.15)，就能将粗糙的梯形值就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的逐步加工成精度较高的Simpson值值Sn、Cotes值值Cn和和Romberg值值Rn；或者说，将收敛缓慢或者说，将收敛缓慢的梯形值序列的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这，这种加速方法称为种加速方法称为Romberg算法算法(Romberg公式公式).).第
44、75页，讲稿共120张，创作于星期二4.4.3 4.4.3 龙贝格求积法算法实现龙贝格求积法算法实现龙贝格求积法计算步骤龙贝格求积法计算步骤用梯形公式计算积分近似值用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半将区间逐次分半,令区间长度令区间长度计算计算 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 梯形加速公式：梯形加速公式：辛卜生加速公式：辛卜生加速公式：龙贝格求积公式：龙贝格求积公式：第76页，讲稿共120张，创作于星期二 精度控制；直到相邻两次积分值精度控制；直到相邻两次积分值（其中（其中为允许的误差限）则终止计算并取为允许的误差限）则终止
45、计算并取Rn作为积分作为积分 的近似值，否则将区间再对分，重复的近似值，否则将区间再对分，重复 ，的计算，直到满足精度要求为止的计算，直到满足精度要求为止.第77页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.16用用Romberg算法计算定积分算法计算定积分 要求相邻两次要求相邻两次Romberg值的偏差不超过值的偏差不超过解解:由题意由题意第78页，讲稿共120张，创作于星期二第79页，讲稿共120张，创作于星期二由于由于 ，于是有，于是有第80页，讲稿共120张，创作于星期二梯形加速公式：梯形加速公式：Simpson加速公式：加速公式：Cotes加速加速公式：公式：第81页，讲稿共120张，创作
46、于星期二前前面面的的加加速速过过程程还还可可以以继继续续下下去去，其其理理论论依依据据是是梯梯形形法法的的余项可以展成下列级数形式余项可以展成下列级数形式.4.3.3 4.3.3 Richardson外推加速法外推加速法定理定理4.3.4.3.设设 则成立则成立其中系数其中系数 与与h无关无关.(4.16)注：注：此处此处I为积分的准确值为积分的准确值,T(h)即为即为Tn,即即T(h)=)=Tn,则则 第82页，讲稿共120张，创作于星期二将将(4.16)和和(4.17)作线性组合消去误差的主要部分作线性组合消去误差的主要部分h2项项，即，即 按式按式(4.16),),有有(4.17)其中系
47、数其中系数 与与h无关无关.(4.18)注：注：比较比较(4.18)和和(4.13):):知知 这样构造出的这样构造出的T1(h)为为Simpson序列序列,则则(4.19)第83页，讲稿共120张，创作于星期二将将(4.19)和和(4.20)作作线线性性组组合合消消去去误误差差的的主主要要部部分分h4项项，即即 同理根据式同理根据式(4.19),),有有(4.20)其中系数其中系数 与与h无关无关.(4.21)注：注：比较比较(4.21)和和(4.14):):知知 这样构造出的这样构造出的T2(h)为为Cotes序列，则序列，则(4.22)第84页，讲稿共120张，创作于星期二如此下去如此下
48、去,每加速一次每加速一次,误差的量级便提高二阶误差的量级便提高二阶.一般地一般地,记记T0(h)=T(h)，经过经过m次加速后次加速后，(4.23)余项余项(4.24)Richardson外推加速法外推加速法第85页，讲稿共120张，创作于星期二一般地一般地,记记T0(h)=T(h)，按如下公式进行递推，按如下公式进行递推设以设以 表示表示k次二分后求得的梯形值次二分后求得的梯形值 T数数表表可以证明，如果可以证明，如果f(x)充分光滑，那么充分光滑，那么T数表每一列的数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I.即即第86页，讲稿共120张，创作于星
49、期二Richardson外推加速法外推加速法算法实现算法实现计算步骤计算步骤准备初值准备初值,计算计算 ,且令且令k=1=1；求梯形值求梯形值.按照递推公式按照递推公式计算梯形值计算梯形值 求加速值求加速值.按照加速公式按照加速公式逐个求出逐个求出T数表第数表第k+1行其余各元素行其余各元素 精度控制精度控制.对于制定精度对于制定精度 若若 则停止计算，则停止计算，否则令否则令k=k+1,转转继续计算继续计算.第87页，讲稿共120张，创作于星期二例例4.10用用Richardson外推加速法计算定积分外推加速法计算定积分 要求相邻的偏差不超过要求相邻的偏差不超过第88页，讲稿共120张，创作
50、于星期二第89页，讲稿共120张，创作于星期二由于由于 ，于是有，于是有第90页，讲稿共120张，创作于星期二4.4 4.4 Gauss公式公式4.4.1 4.4.1 Gauss点点 在前面建立在前面建立Newton-Cotes公式时，为了简化计算，公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制.我们已经知道，过我们已经知道，过n+1+1个节点的插值形求积公式至少具个节点的插值形求积公式至少具有有n次代数精度，我们不仅要问，是否