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1、关于数值积分与数值微分第一页，本课件共有80页 2（1 1）f(x)不是连续函数，甚至也不是解析函数，而是不是连续函数，甚至也不是解析函数，而是通过实验、测量或计算得出的一组数据。通过实验、测量或计算得出的一组数据。（2 2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。如被积函数为的原函数不能用初等函数表示。如被积函数为（3 3）f(x)的原函数表达式相当复杂，而且不同的被积函的原函数表达式相当复杂，而且不同的被积函数数f(x)，其原函数的表达形式一般来说是不同的。如，其原函数的表达形式一般来说是不同的。如 因此在工程计算中，需要构造一种积分方法，使其在误差范围内因此在工程计算中，需要构造一种积分方法
2、，使其在误差范围内计算时既能节省工作量，又方便可行，这就是数值积分所要解决的问计算时既能节省工作量，又方便可行，这就是数值积分所要解决的问题题第二页，本课件共有80页 3二、数值积分的基本思想二、数值积分的基本思想由定积分的定义由定积分的定义其中其中 。我们希望用被积函数。我们希望用被积函数f(x)在积分区间在积分区间 a,b 内某些点处函数值的线性组合来近似代替定积分，内某些点处函数值的线性组合来近似代替定积分，即有求积公式即有求积公式其中其中 称为求积节点，它只与积分区间称为求积节点，它只与积分区间 a,b 有关。有关。Aj称为求积系数，它与求积节点称为求积系数，它与求积节点xj有关，与有
3、关，与f(x)的具体表达的具体表达形式无关。形式无关。E(f)称为余项。称为余项。第三页，本课件共有80页 4三、代数精度与插值型求积公式三、代数精度与插值型求积公式定义定义8.18.1 若求积公式（若求积公式（8.28.2）对所有次数不超过）对所有次数不超过r次的多项式次的多项式均能准确成立均能准确成立 ，而至少有一个，而至少有一个r+1+1次多项式不能准确次多项式不能准确 成立。则称求积公式（成立。则称求积公式（8.28.2）具有）具有r次代数精度次代数精度定理定理8.18.1 对任意给定的对任意给定的n+1+1个相异节点个相异节点总存在相应的求积系数总存在相应的求积系数 使求积公式（使求
4、积公式（8.28.2）至少具有至少具有n次代数精度次代数精度证明证明 在求积公式（在求积公式（8.28.2）中分别令）中分别令则有线性方程组则有线性方程组第四页，本课件共有80页 5 方程组（方程组（8.38.3）的系数行列式是）的系数行列式是VandermondeVandermonde行列式。由于节点行列式。由于节点是相异节点，故方程组（是相异节点，故方程组（8.38.3）的系数行列式不等于）的系数行列式不等于0 0。由由CramerCramer法则，方程组有唯一的解法则，方程组有唯一的解第五页，本课件共有80页 6四、插值型求积公式四、插值型求积公式 可以通过求解方程组（可以通过求解方程组
5、（8.38.3）的方法来构造求积公式，称之为）的方法来构造求积公式，称之为待定系数法。但当待定系数法。但当n比较大时，求解方程组（比较大时，求解方程组（8.38.3）是较困难的事。）是较困难的事。由求积公式的唯一性，可采取对被积函数利用插值多项式近似由求积公式的唯一性，可采取对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构造求积公式。以求积节点代替的方法来构造求积公式。以求积节点xj为插值节点对为插值节点对f(x)进进行行LangrangeLangrange插值有插值有其中其中对（对（8.48.4）两端在）两端在 a,b 上积分，有上积分，有第六页，本课件共有80页 7令令 其中其中且与且与有关由（
6、有关由（8.58.5）式得求积公式）式得求积公式当当 时时由（由（8.58.5）式求积公式具有）式求积公式具有n次代数精度。次代数精度。第七页，本课件共有80页 8 定义定义8.28.2 若积分区间的端点为求积节点，称此类求积公式为闭若积分区间的端点为求积节点，称此类求积公式为闭型公式。若积分区间的端点不是求积节点，称求积公式为开型公式。型公式。若积分区间的端点不是求积节点，称求积公式为开型公式。若只有一个端点是求积节点，称求积公式为半开半闭公式。若只有一个端点是求积节点，称求积公式为半开半闭公式。应用中对求积公式（应用中对求积公式（8.28.2），常将余项），常将余项E(f)舍去，得近似公式
7、舍去，得近似公式称称E(f)为截断误差为截断误差第八页，本课件共有80页 92 NewtonCotes2 NewtonCotes公式公式一、一、NewtonCotesNewtonCotes公式公式 将区间将区间 a,b n等分，步长等分，步长 ，求积节点为，求积节点为令令 ，LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 求积系数求积系数Aj可表示为可表示为第九页，本课件共有80页 10令令 称为称为CotesCotes系数，则求积公式可化为系数，则求积公式可化为若取若取 ，由（，由（8.98.9）有）有常见的常见的NewtonCotesNewtonCotes公式公式1 1 梯形公式
8、梯形公式 （n=1=1）由（由（8.88.8），），(8.9)(8.9)式有式有 第十页，本课件共有80页 11故有求积公式故有求积公式 近似公式为近似公式为 截断误差截断误差 第十一页，本课件共有80页 12其几何意义为用梯形的面积近似代替曲边梯形的面积。其几何意义为用梯形的面积近似代替曲边梯形的面积。如图所示。如图所示。第十二页，本课件共有80页 132 2SimpsonSimpson公式公式 （n=2=2，抛物形公式）抛物形公式）故有近似公式故有近似公式 其几何意义是用抛物线围成曲边梯形的面积近似代替以其几何意义是用抛物线围成曲边梯形的面积近似代替以f(x)围成围成的曲边梯形的面积。的曲
9、边梯形的面积。如图所示如图所示第十三页，本课件共有80页 143 3CotesCotes公式（公式（n=4=4）定理定理8.28.2 设设 ，则，则SimpsonSimpson积分公式的余项为积分公式的余项为其中其中 第十四页，本课件共有80页 15n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840几个低阶几个低阶CotesCotes公式的求积系数公式的求积系数第十五
10、页，本课件共有80页 16定理定理8.38.3 当为偶数时，当为偶数时，n+1+1个求积节点的个求积节点的NewtonCotesNewtonCotes公式公式至少具有至少具有n+1 1次代数精度。次代数精度。当当n=8=8和和n1010时的时的n阶阶NewtonCotesNewtonCotes系数中，系数将有正系数中，系数将有正有负。从定理有负。从定理8.18.1知，知，n+1 1个求积节点的个求积节点的NewtonCotesNewtonCotes求积公式求积公式至少具有至少具有n次代数精度，但由定理次代数精度，但由定理8.28.2知，当知，当n=2=2时，时，SimpsonSimpson公公
11、式具有式具有3 3次代数精度。事实上当为偶数时有如下定理。次代数精度。事实上当为偶数时有如下定理。例例8.18.1 对定积分对定积分 ，试分别用梯形公式，试分别用梯形公式,Simpson,Simpson公式，公式，CotesCotes公式作近似计算。公式作近似计算。解解:(1)NewtonLeibniz (1)NewtonLeibniz公式，得准确值公式，得准确值第十六页，本课件共有80页 17(2)(2)梯形公式梯形公式(3)Simpson(3)Simpson公式公式(4)Cotes(4)Cotes公式公式第十七页，本课件共有80页 18二、二、NewtonCotesNewtonCotes公
12、式的稳定性公式的稳定性 稳定性，即计算过程中舍入误差对最后计算结果的影响。稳定性，即计算过程中舍入误差对最后计算结果的影响。设节点设节点xj处的准确值为处的准确值为 ，参加计算的近似值记为，参加计算的近似值记为 ，令令令令 ，利用（，利用（8.68.6）式计算引起计算结果的）式计算引起计算结果的误差有估计式误差有估计式第十八页，本课件共有80页 19当当CotesCotes系数系数 同号时有同号时有从而从而 即公式（即公式（8.68.6）是稳定的。）是稳定的。当当CotesCotes系数系数 不同号时有不同号时有从而从而 有可能很大，稳定性得不到保证。事实上，仅当有可能很大，稳定性得不到保证。
13、事实上，仅当n77和和n=9=9时时CotesCotes系数才全是正的，其余的系数才全是正的，其余的CotesCotes系数有正有负系数有正有负故一般不采用高阶的故一般不采用高阶的NewtonCotesNewtonCotes公式做数值积分。公式做数值积分。第十九页，本课件共有80页 203 3 复化求积公式复化求积公式 由于高次由于高次NewtonCotesNewtonCotes公式的求积系数有正有负，引起数值计算公式的求积系数有正有负，引起数值计算的不稳定。另一方面的不稳定。另一方面,，NewtonCotesNewtonCotes公式是通过对被积函数公式是通过对被积函数f(x)进行进行Lag
14、rangeLagrange插值而构造出的积分公式，由于高次插值将会插值而构造出的积分公式，由于高次插值将会出现振荡现象。因此在实用中一般不采用高次出现振荡现象。因此在实用中一般不采用高次NewtonCotesNewtonCotes公公式进行数值积分。式进行数值积分。受分段插值的启示，对积分也可进行分段积分，称之为复化受分段插值的启示，对积分也可进行分段积分，称之为复化求积。其基本思想是将区间求积。其基本思想是将区间 a,b 分成分成n个小区间，在每个小区间个小区间，在每个小区间上用低次上用低次NewtonCotesNewtonCotes公式作数值积分，再求和。公式作数值积分，再求和。将区间将区
15、间 a,b n等分，步长等分，步长 ，节点为，节点为第二十页，本课件共有80页 21为计算的方便，常取为计算的方便，常取由定积分对积分区间的可加性有由定积分对积分区间的可加性有一、复化梯形公式一、复化梯形公式在（在（8.158.15）式右端对每个子区间）式右端对每个子区间 上的积分上的积分使用梯形求积公式，有使用梯形求积公式，有第二十一页，本课件共有80页 22 称（称（8.168.16）式为复化梯形公式。用）式为复化梯形公式。用Tn表示将区间表示将区间 a,b n等分等分的复化梯形公式，进一步将子区间的复化梯形公式，进一步将子区间 分为分为2 2个子区间个子区间也即将区间也即将区间 a,b
16、进行进行2 2n等分，此时有等分，此时有此时的复化梯形公式为此时的复化梯形公式为第二十二页，本课件共有80页 23记记 由（由（8.168.16）和（）和（8.178.17）有）有同理同理 由（由（8.98.9）式得复化梯形公式）式得复化梯形公式Tn的余项表达式为的余项表达式为设设 ，则，则第二十三页，本课件共有80页 24由闭区间上连续函数的介值定理，存在由闭区间上连续函数的介值定理，存在 使使故复化梯形公式的余项为故复化梯形公式的余项为 二、复化二、复化SimpsonSimpson公式公式在（在（8.158.15）式右端对每个子区间）式右端对每个子区间 上的积分上的积分使用使用Simpso
17、nSimpson公式得复化公式得复化SimpsonSimpson公式公式第二十四页，本课件共有80页 25由由(8.16),(8.17)(8.16),(8.17)有有由由(8.18),(8.20)(8.18),(8.20)有有第二十五页，本课件共有80页 26同理同理类似于复化梯形公式余项的推导，可得复化类似于复化梯形公式余项的推导，可得复化SimpsonSimpson公式的余项为公式的余项为三、复化三、复化CotesCotes公式公式在（在（8.158.15）式右端对每个子区间）式右端对每个子区间 上的积分上的积分使用使用CotesCotes公式，得复化公式，得复化CotesCotes公式公
18、式第二十六页，本课件共有80页 27递推公式为递推公式为当当 时，复化时，复化CotesCotes公式的余项为公式的余项为第二十七页，本课件共有80页 28四、变步长方法四、变步长方法 做数值积分可以用定步长积分法。定步长法在使用前，需做数值积分可以用定步长积分法。定步长法在使用前，需首先确定一个适当的步长，即确定区间首先确定一个适当的步长，即确定区间 a,b 的等分数的等分数n。但步。但步长的选取是相当困难的，步长取大了，难以保证精度，取小了，长的选取是相当困难的，步长取大了，难以保证精度，取小了，将会增加计算工作量。因此实用中常用变步长法求积分将会增加计算工作量。因此实用中常用变步长法求积
19、分 变步长法也称逐次折半法，反复使用复化求积公式计算积变步长法也称逐次折半法，反复使用复化求积公式计算积分，直到相邻两次结果之差的绝对值小于误差精度为止。为便分，直到相邻两次结果之差的绝对值小于误差精度为止。为便于计算机的编程，常取于计算机的编程，常取 等分，对复化梯等分，对复化梯形公式，反复利用（形公式，反复利用（8.178.17），（），（8.188.18）式计算积分值，直到）式计算积分值，直到第二十八页，本课件共有80页 29对复化对复化SimpsonSimpson公式，反复利用（公式，反复利用（8.178.17），（），（8.188.18），），（8.218.21）式直到）式直到对复化
20、对复化CotesCotes公式，反复利用（公式，反复利用（8.178.17），（），（8.188.18），），（8.218.21）和（）和（8.238.23）式直到）式直到为止为止 例例8.38.3 对积分对积分 ，利用变步长方法求其近似值，利用变步长方法求其近似值，使其精度达到使其精度达到第二十九页，本课件共有80页 30解解取取(1)(1)复化梯形公式，由（复化梯形公式，由（8.178.17），（），（8.188.18）式有）式有继续以上过程的计算，结果如表所示继续以上过程的计算，结果如表所示 k Tnk Tn k Tn 0 0.92073554 0.9459850 8 0.9460827
21、 1 0.93979335 0.9460596 9 0.9460830 2 0.94451356 0.946076510 0.9460831 3 0.94569097 0.9460815第三十页，本课件共有80页 31(2)(2)复化复化SimpsonSimpson公式公式 由复化梯形公式表中的数据和公式（由复化梯形公式表中的数据和公式（8.218.21）得复化）得复化SimpsonSimpson公式的计算结果如表所示公式的计算结果如表所示 k Snk Sn 0 0.94614593 0.9460830 1 0.94608694 0.9460831 2 0.9460833 由复化由复化Simp
22、sonSimpson公式表中的数据和公式（公式表中的数据和公式（8.238.23）得计算结果如）得计算结果如表所示。显然复化表所示。显然复化CotesCotes公式比复化公式比复化SimpsonSimpson公式的计算工作量少，公式的计算工作量少，而复化而复化SimpsonSimpson公式比复化梯形公式的计算工作量少。公式比复化梯形公式的计算工作量少。(3)(3)复化复化CotesCotes公式公式 k Cn 0 0.9460829 1 0.9460830 2 0.9460831第三十一页，本课件共有80页 324 Romberg4 Romberg求积公式求积公式 一、一、Richardso
23、nRichardson外推法外推法在工程计算中，有时函数在工程计算中，有时函数y=f(x)在在x=0=0处的值处的值f(0)(0)是无法求出是无法求出收敛于收敛于f(0)(0)的数列，的数列，RichardsonRichardson外推法就是构造该数列的外推法就是构造该数列的的，只能通过实验，测量等方法，逐次求出的，只能通过实验，测量等方法，逐次求出来逼近来逼近f(0)(0)。但。但h越小，实验和测量的难度就越大。因此我们越小，实验和测量的难度就越大。因此我们希望从已有的数据希望从已有的数据 构造出一个能很快构造出一个能很快一种技巧一种技巧设设f(x)在在x=0=0处的处的MaclaurinM
24、aclaurin级数为级数为第三十二页，本课件共有80页 33若若 则用则用 逼近逼近f(0)(0)截断误差为截断误差为h的同阶的同阶无穷小无穷小,令令 则有则有若用若用 来逼近来逼近f(0)(0)，其截断误差为，其截断误差为h2 2的同阶无穷小的同阶无穷小第三十三页，本课件共有80页 34二、二、RombergRomberg积分法积分法 RombergRomberg积分法，是根据积分法，是根据RichardsonRichardson外推技巧，利用变步长的外推技巧，利用变步长的复化梯形公式推导出的数值积分公式。复化梯形公式推导出的数值积分公式。令令 若若 则用则用f2 2(h)逼近逼近f(0)
25、(0)的截断误差为的截断误差为h3 3的同阶无穷小。的同阶无穷小。这种加速收敛方法就是这种加速收敛方法就是RichardsonRichardson外推法的一个特例。外推法的一个特例。第三十四页，本课件共有80页 35其中其中T0 0(h)是将是将 a,b n等分后构造的复化梯形公式。则由等分后构造的复化梯形公式。则由（8.258.25）式产生的）式产生的Tm(h)逼近积分逼近积分 误差的阶为误差的阶为 （8.258.25）的方法称为）的方法称为RombergRomberg积分法积分法 由（由（8.218.21）和（）和（8.238.23）式，）式，RombergRomberg积分公式（积分公式
26、（8.258.25）中的）中的T1 1(h)是复化是复化SimpsonSimpson公式，公式，T2 2(h)是复化是复化CotesCotes公式。但对公式。但对m33时的时的Tm(h)与与NewtonCotesNewtonCotes公式就没有直接的联系了，仅是一公式就没有直接的联系了，仅是一种递推技巧而已。种递推技巧而已。为了计算方便，将区间为了计算方便，将区间 a,b 进行进行n=2=2i等分，用等分，用T0 0i表示将区间表示将区间 a,b 进行进行2 2i 等分后的复化梯形公式的计算值，则由公式等分后的复化梯形公式的计算值，则由公式(8.25)(8.25)产生的产生的RombergRo
27、mberg序列的计算步骤为序列的计算步骤为(1)(1)在在 a,b 上，由梯形公式上，由梯形公式第三十五页，本课件共有80页 36（2 2）利用递推公式计算利用递推公式计算（3 3）设已计算出设已计算出 ，则计算，则计算第三十六页，本课件共有80页 37（4 4）计算计算(5)(5)若若 则停止计算，输出则停止计算，输出否则否则 ，转（，转（3 3）。）。对（对（3 3）,（4 4）步可用）步可用RombergRomberg积分表来表示积分表来表示 第三十七页，本课件共有80页 38 m i 0 1 2 3 0 1 2 3RombergRomberg积分表积分表第三十八页，本课件共有80页 3
28、9例例8.48.4 用用RombergRomberg积分法计算积分法计算 ，精度，精度解解 由例由例8.38.3中复化梯形公式的数据，再利用中复化梯形公式的数据，再利用(8.28)(8.28)式式得计算结果如下表得计算结果如下表012300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946082930.94569090.94608330.94608300.9460830例例8.5 8.5 利用利用RombergRomberg积分法求积分法求 第三十九页，本课件共有80页 40解解 由公式由公式(8.26),(8.27),(8.28)(8.26
29、),(8.27),(8.28)对对在在0,10,1有有继续以上步骤，计算结果如下表所示继续以上步骤，计算结果如下表所示 第四十页，本课件共有80页 41 0 1 2 3 4 03.00000 13.100003.13333 23.131183.141573.14212 33.138993.141593.141593.14159 43.140943.141593.141593.141593.14159第四十一页，本课件共有80页 425 Gauss5 Gauss型求积公式型求积公式一、一、Gauss Gauss 求积公式及其性质求积公式及其性质对求积公式对求积公式前面介绍的数值积分方法，是先给定
30、前面介绍的数值积分方法，是先给定n+1+1个求积节点个求积节点xj，再由求积，再由求积节点来构造节点来构造n+1+1个求积系数个求积系数Aj，从而得到数值积分公式，且其代数精度，从而得到数值积分公式，且其代数精度为为n或或n+1+1。现我们希望适当地选择求积节点，从而确定相应的求积系数，。现我们希望适当地选择求积节点，从而确定相应的求积系数，使（使（8.298.29）式的代数精度能有尽量地提高）式的代数精度能有尽量地提高第四十二页，本课件共有80页 43定义定义8.38.3 若求积公式（若求积公式（8.298.29）具有）具有2 2n+1+1次的代数精度，则次的代数精度，则称该求积公式为称该求
31、积公式为GaussGauss型求积公式，相应的求积节点型求积公式，相应的求积节点xj称为称为GaussGauss节点。节点。（8.298.29）中取）中取 ，有方程组，有方程组构造构造GaussGauss型求积公式可用待定系数法，在求积公式型求积公式可用待定系数法，在求积公式第四十三页，本课件共有80页 44方程组（方程组（8.308.30）是具有）是具有2 2n+2+2个未知量个未知量xj，Aj，2 2n+2+2个方程的个方程的非线性方程组，求解此方程组便得求积节点非线性方程组，求解此方程组便得求积节点xj和求积系数和求积系数Aj例例8.68.6 对积分对积分构造其构造其GaussGauss
32、型求积公式。型求积公式。解解 取取 代入（代入（8.318.31）式有方程组）式有方程组 第四十四页，本课件共有80页 45解之得解之得故有求积公式故有求积公式由于方程组（由于方程组（8.308.30）是非线性方程组，当）是非线性方程组，当n较大时，求解较大时，求解（8.308.30）非常困难，因此需从其它途径来构造）非常困难，因此需从其它途径来构造GaussGauss型求积公式型求积公式考查被积函数考查被积函数f(x)的的HermiteHermite插值多项式插值多项式第四十五页，本课件共有80页 46其中其中 为为HermiteHermite插值基函数插值基函数对（对（8.328.32）式
33、两端同时在）式两端同时在 a,b 上积分有上积分有令令其中其中 第四十六页，本课件共有80页 47则有求积公式则有求积公式 当当 时，由时，由 ，知，知故求积公式故求积公式(8.33)(8.33)具有具有2 2n+1+1次的代数精度。次的代数精度。现适当地选择求积节点现适当地选择求积节点使使则求积公式则求积公式(8.33)(8.33)就变为就变为第四十七页，本课件共有80页 48定理定理 在在 a,b 上以权函数上以权函数 正交的多项式序列正交的多项式序列 gk(x)中正交多项式中正交多项式gn+1+1(x)的零点是的零点是GaussGauss点。点。记记 为以为以GaussGauss点为插值
34、节点的点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数，由插值基函数，由 和和(8.34)(8.34)式有式有故求积公式故求积公式(8.34)(8.34)也可写为也可写为(8.29)(8.29)形式形式其中其中Aj由由(8.37)(8.37)式给出。式给出。第四十八页，本课件共有80页 49故求积公式故求积公式(8.34)(8.34)也可写为也可写为(8.29)(8.29)形式形式其中其中Aj由由(8.37)(8.37)式给出。式给出。定理定理8.68.6 Gauss Gauss型求积公式数值计算稳定。型求积公式数值计算稳定。证明证明 取取 ，代入，代入(8.29)(8.29)式有式有
35、且由且由 和和(8.37)(8.37)式有式有第四十九页，本课件共有80页 50设设f(xj)的计算值为的计算值为 ，记，记令令故故GaussGauss型求积公式数值计算稳定。型求积公式数值计算稳定。第五十页，本课件共有80页 51二、一般的二、一般的GaussGauss型求积公式型求积公式 在（在（8.328.32）式两端同乘以权函数）式两端同乘以权函数 后再在后再在 a,b 上积分有上积分有令令 其中其中第五十一页，本课件共有80页 52则（则（8.388.38）式可化为）式可化为同理，取同理，取 a,b 上以权函数上以权函数 正交的多项式序列正交的多项式序列 gk(x)中，中，正交多项式
36、正交多项式gn+1+1(x)的零点为求积节点，可以使的零点为求积节点，可以使此时（此时（8.398.39）式为）式为仍取仍取 为以为以GaussGauss点为插值节点的点为插值节点的LagrangeLagrange插值基函数，由（插值基函数，由（8.408.40）有）有 第五十二页，本课件共有80页 53故带权函数的故带权函数的GaussGauss型求积公式为型求积公式为二、常用的二、常用的GaussGauss型求积公式型求积公式1 1GaussLegendreGaussLegendre求积公式求积公式 由于由于LegendreLegendre多项式是多项式是 1 1，11上以上以 的正交多项
37、的正交多项式序列，以式序列，以LegendreLegendre多项式的零点为求积节点，构造的积分多项式的零点为求积节点，构造的积分公式称为公式称为GaussLegendreGaussLegendre求积公式，求积系数为求积公式，求积系数为第五十三页，本课件共有80页 54余项为余项为其中其中 为为n次次LegendreLegendre正交多项式。正交多项式。例例8.78.7 分别利用分别利用NewtonCotesNewtonCotes公式及公式及GaussLegendreGaussLegendre公式计算积分公式计算积分解解 （1 1）准确值）准确值第五十四页，本课件共有80页 55（2 2）
38、两点）两点GaussLegendreGaussLegendre公式公式（3 3）两个节点梯形公式）两个节点梯形公式（4 4）三点）三点GaussLegendreGaussLegendre公式公式（5 5）三个节点）三个节点SimpsonSimpson公式公式第五十五页，本课件共有80页 56以以xj为求积节点，求积系数为为求积节点，求积系数为GaussChebyschevGaussChebyschev求积公式为求积公式为余项为余项为2 2GaussChebyschevGaussChebyschev求积公式求积公式第五十六页，本课件共有80页 573 3GaussLagurreGaussLagu
39、rre求积公式求积公式由于由于LagurreLagurre多项式是多项式是 上以权函数上以权函数 的的正交多项式，其求积系数为正交多项式，其求积系数为余项表达式为余项表达式为其中其中 是是n次次LagurreLagurre正交多项式正交多项式 第五十七页，本课件共有80页 584 4GaussHermiteGaussHermite求积公式求积公式 由于由于HermiteHermite多项式是多项式是 上关于权函数上关于权函数的正交多项式，求积系数为的正交多项式，求积系数为余项余项第五十八页，本课件共有80页 59四、复化四、复化GaussGauss型求积公式型求积公式以以GaussLegend
40、reGaussLegendre求积公式为例，将区间求积公式为例，将区间 a,b 划分为划分为m个小区间个小区间由由 在每个小区间在每个小区间 上运用上运用n+1个点的个点的GaussLegendreGaussLegendre求积公式，求积公式，作代换作代换第五十九页，本课件共有80页 60则则 其中其中其中其中tj是是n+1次次LegendreLegendre正交多项式的零点，正交多项式的零点，Aj是相应的系数，是相应的系数，故有近似公式故有近似公式余项为余项为第六十页，本课件共有80页 61节点节点特别，若采用等距划分，即将特别，若采用等距划分，即将 a,b m等分，步长等分，步长则复化则复
41、化GaussLegendreGaussLegendre求积公式为求积公式为余项余项第六十一页，本课件共有80页 62例例8.128.12 取取m=2,=2,n=1=1应用复化应用复化GaussLegendreGaussLegendre公式计算公式计算 解解准确值准确值 第六十二页，本课件共有80页 63本章介绍的求积公式的特点本章介绍的求积公式的特点 （1 1）梯形公式和）梯形公式和SimpsonSimpson公式是低精度的方法，但对于光滑性比较公式是低精度的方法，但对于光滑性比较差的被积函数有时效果比用高精度的方法要好，而且由于公式简单，因此差的被积函数有时效果比用高精度的方法要好，而且由于
42、公式简单，因此使用非常广泛。特别在计算机上，复化梯形公式和复化使用非常广泛。特别在计算机上，复化梯形公式和复化SimpsonSimpson公式便于公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单采用逐次对分的方法，计算程序十分简单 （2 2）RombergRomberg积分公式，积分公式，其算法简单，程序也便于实现。当节点增加时，前面的计算结果其算法简单，程序也便于实现。当节点增加时，前面的计算结果可以直接参与后面的计算，因而减少了计算量。同时有比较简单可以直接参与后面的计算，因而减少了计算量。同时有比较简单的误差估计法，由于能同时得到多个积分序列，在做收敛控制时，的误差估计法，由于能同时得到多个
43、积分序列，在做收敛控制时，对不同性态的函数可采用不同的收敛序列作为精度控制，以其中对不同性态的函数可采用不同的收敛序列作为精度控制，以其中最快的收敛序列来逼近积分，此方法的一个最大缺点是节点的增最快的收敛序列来逼近积分，此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的。加是成倍的。(3)Gauss(3)Gauss型求积公式的最大优点是精度高，数值计算稳定。型求积公式的最大优点是精度高，数值计算稳定。但求积节点和求积系数都没有规则但求积节点和求积系数都没有规则,，当节点增加时，前面的计算结，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算，因此利用计算机计算时，需先输入节点数果不能被利用，只能重新计
44、算，因此利用计算机计算时，需先输入节点数和各种和各种GaussGauss型求积公式的节点和系数数据。型求积公式的节点和系数数据。GaussGauss型求积公式的另一优型求积公式的另一优点是适用于某些区间上的广义积分计算点是适用于某些区间上的广义积分计算第六十三页，本课件共有80页 646 6 数值微分数值微分一、数据的数值微分一、数据的数值微分设函数设函数f(x)给出了一组数据给出了一组数据其中节点其中节点xi满足满足1 1利用利用LagrangeLagrange插值多项式求数值微分插值多项式求数值微分 对对f(x)进行进行LagrangeLagrange插值插值 第六十四页，本课件共有80页
45、 65其中其中对（对（8.438.43）两端求）两端求k阶导数有阶导数有 故有近似计算公式故有近似计算公式余项为余项为 第六十五页，本课件共有80页 66（1 1）两点公式（两点公式（n=1=1）（2 2）三点公式（三点公式（n=2=2）第六十六页，本课件共有80页 672 2利用三次样条插值函数作数值微分利用三次样条插值函数作数值微分若用三次样条插值函数若用三次样条插值函数S(x)作为作为f(x)的近似函数，不仅的近似函数，不仅可以使函数值非常接近，而且使导数值也非常接近，并且有可以使函数值非常接近，而且使导数值也非常接近，并且有其中其中 表示的同阶无穷小表示的同阶无穷小以三转角插值法为例当
46、以三转角插值法为例当 时，时，第六十七页，本课件共有80页 68求导有求导有第六十八页，本课件共有80页 69特别特别 二、函数的数值微分二、函数的数值微分1 1差商代替微商差商代替微商（1 1）向前差商）向前差商 第六十九页，本课件共有80页 70（2 2）向后差商）向后差商 （3 3）中心差商）中心差商 （4 4）二阶中心差商）二阶中心差商 差商近似代替微商的误差除取决于函数本身的解析性质外，还差商近似代替微商的误差除取决于函数本身的解析性质外，还取决于取决于 h 的大小，从理论上说的大小，从理论上说 h 越小，误差精度就越高。但实际越小，误差精度就越高。但实际计算中，当计算中，当 h 越
47、小时，分子中出现了两个相近的数作减法运算，越小时，分子中出现了两个相近的数作减法运算，将会损失有效数位，从而产生较大的误差。将会损失有效数位，从而产生较大的误差。第七十页，本课件共有80页 71例例8.138.13 用中心差商公式计算用中心差商公式计算 在在x=2=2处的一阶导数。处的一阶导数。解解 取取5 5位有效数字得计算结果如表所示位有效数字得计算结果如表所示 h近似值误差20.36600.01244710.35640.0028470.20.35350.0000530.10.35300.0005530.020.35500.0014470.010.35000.0035530.0020.35
48、000.0035530.0010.30000.053530.00020.30000.146447准确值准确值 第七十一页，本课件共有80页 72从表中的数据可知，当从表中的数据可知，当h=0.2=0.2时，逼近效果较好，当时，逼近效果较好，当h缩小时缩小时则逼近效果较差。当然对表达式作恒等变换则逼近效果较差。当然对表达式作恒等变换取取h=0.1=0.1，则有，则有2 2RichardsonRichardson外推法求数值微分外推法求数值微分设设f(x)可展开为可展开为TaylorTaylor级数，则有级数，则有第七十二页，本课件共有80页 73二式相减有二式相减有由由RichardsonRic
49、hardson外推法，可构造递推公式外推法，可构造递推公式其中其中T0 0(h)为步长是为步长是h的一阶中心差商。的一阶中心差商。例例8.148.14 利用利用RichardsonRichardson外推法求外推法求 在在x=1=1处的处的一阶导数一阶导数第七十三页，本课件共有80页 74解解 （1 1）取取h=0.8=0.8，有，有（2 2）取取h=0.4=0.4，有，有（3 3）取取h=0.2=0.2，有，有第七十四页，本课件共有80页 753 3利用数值积分做数值微分利用数值积分做数值微分 微分是积分的逆运算，因此可将数值微分问题转化为数值微分是积分的逆运算，因此可将数值微分问题转化为数
50、值积分问题，对积分问题，对 a,b 作作n等分，步长等分，步长 ，节点，节点由恒等式由恒等式对右端的积分采用不同的数值积分公式就得到了相应的对右端的积分采用不同的数值积分公式就得到了相应的数值微分公式，如使用数值微分公式，如使用SimpsonSimpson公式有公式有第七十五页，本课件共有80页 76在上式右端，略去余项，记在上式右端，略去余项，记 则有方程组则有方程组第七十六页，本课件共有80页 77即有方程组即有方程组设设 是已知的，且是已知的，且则从方程组解出则从方程组解出mi后，可得的方程组后，可得的方程组第七十七页，本课件共有80页 78第七十八页，本课件共有80页作业习题八，习题八