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1、关于抛物线的焦点弦性质第1页，讲稿共20张，创作于星期一xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相的焦点的一条直线和抛物线相交交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p第2页，讲稿共20张，创作于星期一AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切
2、.第3页，讲稿共20张，创作于星期一XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。123456第4页，讲稿共20张，创作于星期一过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理xOyABF第5页，讲稿共20张
3、，创作于星期一xOyABF第6页，讲稿共20张，创作于星期一F过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90。第7页，讲稿共20张，创作于星期一代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps
4、.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）(2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证明证明：lyy2=2pxAMxB第8页，讲稿共20张，创作于星期一过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明:思路分析思路分析|AB|=|AF|+|B
5、F|=思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短第9页，讲稿共20张，创作于星期一xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则第10页，讲稿共20张，创作于星期一例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物线的一条直线和抛物线相交于相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.xyFABCO第11页，讲稿共20张，创
6、作于星期一例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物线的一条直线和抛物线相交于相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线.xyFABCO第12页，讲稿共20张，创作于星期一例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB
7、上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题第13页，讲稿共20张，创作于星期一例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.第14页，讲稿共20张，创作于星期一例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2
8、px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)AB过定点过定点T(2p,0).第15页，讲稿共20张，创作于星期一同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，第16页，
9、讲稿共20张，创作于星期一(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；第17页，讲稿共20张，创作于星期一(5)法一：设法一：设M(x3,y3),则则 例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).第18页，讲稿共20张，创作于星期一 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点T(2p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.第19页，讲稿共20张，创作于星期一2023/4/12感感谢谢大大家家观观看看第20页，讲稿共20张，创作于星期一