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1、寻找最速降线第1页，共18页，编辑于2022年，星期五 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点.C.F.Guass 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.R.C.Buck第2页，共18页，编辑于2022年，星期五 1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:一质量为m的质点，在重力作用下从定点A沿曲线下滑到定点B，AB试确定一条曲线，使得质点由A到B下滑时间最短.假定B比A低，不计摩
2、擦力和其他阻力等因素.问题导致数学新分支的产生.问 题第3页，共18页，编辑于2022年，星期五近似方法如图建立坐标系,设A为原点,B为(c,H),将带状区域0 y H用平行于x 轴的直线y=yk=kH/nABxycyk-1xk-1ykxk把这区域分成n个带状小区域在带状域yk-1yyk,可近似认为而曲线段近似认为是直线段,其长度于是质点从A到B所需时间近似为(n-1元函数!)第4页，共18页，编辑于2022年，星期五求这个函数的极小值,就得到问题的近似解(为简单计,取g=1000cm/s2)In1:=Out1:=第5页，共18页，编辑于2022年，星期五In3:=In4:=Graphics第
3、6页，共18页，编辑于2022年，星期五一个辅助结论设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点OC=x 那么质点由A1到A2需时间A1A2a1a2ClOD如图，若A1,A2到l 的垂足分上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？别为O,D,A1,A2 到l的距离分别为a,b,OD=c,质点经过l于C何时越过l？第7页，共18页，编辑于2022年，星期五A1A2a1a2ClOD惟一驻点满足也即这就是光学中的Snell折射定律第8页，共18页，编辑于2022年，星期五建立数学模型分析；如图建坐标系，AB 分割成小段,考虑在第kABxycak+
4、1ak层与k+1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知由于上式对任何k成立，故导出若用与x 轴平行的直线将第9页，共18页，编辑于2022年，星期五ABxyca令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点其中a为该点切线与铅垂线的夹角由于其中y=y(x)为曲线函数，又因于是得到最速降线的方程：第10页，共18页，编辑于2022年，星期五另一种方法变分法ABxyc设曲线为满足 y(0)=0,y(c)=H在曲线上P(x,y）处质点速度为又设从A到P的弧长为s,则从而质点沿曲线由A到B需时间第11页，共18页，编辑于2022年，星期五设集合那么我们
5、的问题成为求某个使得引进集合显然若是最速曲线函数,则于是函数在取得最小值故得第12页，共18页，编辑于2022年，星期五为了计算,记那么对依复合函数求导法注意第二项于是导出第13页，共18页，编辑于2022年，星期五由于的任意性,得到上式乘以可化为这里代入方程且化简,得到也就是说满足方程第14页，共18页，编辑于2022年，星期五解方程令 y=cott,那么由方程导出又因从而由x=0时,y=0,且注意,故C2=0,于是令由 x=c,y=H 得到求出根再确定 R(旋轮线)第15页，共18页，编辑于2022年，星期五下降所需时间计算弧微分从而下降时间第16页，共18页，编辑于2022年，星期五实验
6、任务1.给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和后得到曲线和时间,将两种结果比较.2.在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面的面积最小3.伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动周期与振幅无关,试分析情况是否如此?线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所4.如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从需时间第17页，共18页，编辑于2022年，星期五5.圆柱面方程为用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得AB弧长最短的曲线(短程线)第18页，共18页，编辑于2022年，星期五