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1、双曲线的标准方程动态演示第1页，共31页，编辑于2022年，星期五1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习双曲线图象双曲线图象拉链拉链双曲线双曲线|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)第2页，共31页，编辑于2022年，星期五问题问题2：如果把上述定义改为：如果把上述定义改为:到两定点到两定点 距离之距离之差差为常为常数数,那么
2、点的轨迹会发生怎样的变化？那么点的轨迹会发生怎样的变化？实验探究第3页，共31页，编辑于2022年，星期五如图如图(A)(A)，|MF1|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F F1 1|=2|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由可得：可得：|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=2|=2a a （差的绝对值）差的绝对值）|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F F2|=2|=2a第4页，共31页，编辑于2022年，星期五 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.（1
3、）2a0；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？|MF1|-|MF2|=2a(1)两条射线两条射线(2)不表示任何轨迹不表示任何轨迹(3)(3)(3)(3)线段线段线段线段F F1 1 1 1F F F F2 2的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线第5页，共31页，编辑于2022年，星期五F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建系.以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴
4、，线段轴，线段F1F2的的中点为原点建立直角坐标系中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x,y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简第6页，共31页，编辑于2022年，星期五此即为焦此即为焦点在点在x轴轴上的双曲上的双曲线的标准线的标准方程方程第7页，共31页，编辑于2022年，星期五F2F1MxOyOMF2F1xy若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?第8页，共31页，编辑于2022年，星期五看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别
5、与、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系联系联系联系?1 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题问题第9页，共31页，编辑于2022年，星期五定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一定不一定大于大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=
6、2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）第10页，共31页，编辑于2022年，星期五练习练习1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量求出三量 a,b,c 的值的值（1）（2）（3）（4）第11页，共31页，编辑于2022年，星期五练习练习2.写出以下双曲线的焦点坐标写出以下双曲线的焦点坐标F(5,0)F(0,5)第12页，共31页，编辑于2022年，星期五例题讲解例题讲解第13页，共31页，编辑于2022年，星期五变式变式2答案答案第14页，共31页，编辑于2022年，星期五第15页，共31页，编辑于2022年，星期五写出适合下列条件的双曲线
7、的标准方程写出适合下列条件的双曲线的标准方程练习练习31.a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上;3.焦点在焦点在x轴上，经过点轴上，经过点4.a=4,过点过点(1,)2.焦点为焦点为(0,-6),(0,6),过点过点(2,-5)第16页，共31页，编辑于2022年，星期五例例2 2:如果方程如果方程 表示双曲表示双曲线，求线，求m的取值范围的取值范围.解解:方程方程 表示焦点在表示焦点在y轴双曲线时，轴双曲线时，则则m的取值范围的取值范围_.思考：思考：第17页，共31页，编辑于2022年，星期五 使使A、B两点在两点在x轴上，并且点轴上，并且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解:由
8、声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,可知可知A A地与爆地与爆炸点的距离比炸点的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m.因为因为|AB|680|AB|680m,所以所以爆炸点的轨迹是以爆炸点的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上.例例3.3.已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标
9、系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则，则即即 2a=680，a=340 xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为第18页，共31页，编辑于2022年，星期五答答:再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处测得）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这这是双曲线的一个重要应用是双曲线的一个重要应用.第19页，共31页，编辑于2022
10、年，星期五PBACxyo第20页，共31页，编辑于2022年，星期五第21页，共31页，编辑于2022年，星期五第22页，共31页，编辑于2022年，星期五 设点设点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0).(-5,0),(5,0).直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M,M,且它们的斜率之积是且它们的斜率之积是 ,试试求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.与与2.22.2例例3 3比较比较,你有什么发现你有什么发现?探究1分析分析:设点设点M M的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),那么直那么直线线AM,BMAM,BM的斜率就可以用含的斜率就可以用含x,yx,y的
11、的式子表示式子表示,由于直线由于直线AM,BMAM,BM的斜率之的斜率之积是积是 ,因此因此,可以建立可以建立x,yx,y之间的之间的关系式关系式,得出点得出点M M的轨迹方程的轨迹方程xoMyAB第23页，共31页，编辑于2022年，星期五解解:设点设点M的坐标为的坐标为(x,y),因为点因为点A的坐标是的坐标是(-5,0),所以直线所以直线AM的斜率是的斜率是同理同理,直线直线BM的斜率是的斜率是 由已知有由已知有化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为第24页，共31页，编辑于2022年，星期五进一步分析进一步分析,可以发现可以发现:一个动点一个动点M与两个定点与两个定点A、B连线的
12、斜率之积是一连线的斜率之积是一个正常数个正常数n.则动点则动点M的轨迹为双曲线（扣除这两个的轨迹为双曲线（扣除这两个定点）定点）当斜率之积是一个负常数当斜率之积是一个负常数n(n0)时呢？时呢？当当n=-1时时,动点动点M的轨迹为圆（扣除这两个点）的轨迹为圆（扣除这两个点）.当当n0且且n -1时时,动点动点M的轨迹为椭圆（扣除这两个定的轨迹为椭圆（扣除这两个定点）点）.以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法.第25页，共31页，编辑于2022年，星期五几何画板演示轨迹几何画板演示轨迹探究2解:由已知得根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点，2a=r
13、的双曲线第26页，共31页，编辑于2022年，星期五2.2.证明椭圆证明椭圆 与双曲线与双曲线x x2 2-15-15y y2 2=15=15的焦点相同的焦点相同.若此椭圆与双曲线的一个交点若此椭圆与双曲线的一个交点 为为P P，F F为焦点，求为焦点，求|PF|PF|x225+y29=1练习练习PF2PF1A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限D1.1.第27页，共31页，编辑于2022年，星期五定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c a.b.c 的关系的关系的关系的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）F(c,0)F(0,c)第28页，共31页，编辑于2022年，星期五函数值？什么函数值？什么函数？函数？下下 课课第29页，共31页，编辑于2022年，星期五1-551xyoCPA第30页，共31页，编辑于2022年，星期五解解:在在ABC中中,|BC|=10|=10，故顶点故顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=4则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为第31页，共31页，编辑于2022年，星期五