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1、一阶电路过渡过程的分析第1页，共20页，编辑于2022年，星期三第第4 4章章 一阶电路过渡过程的分析一阶电路过渡过程的分析4.1 4.1 过渡过程和电路初始条件的求解过渡过程和电路初始条件的求解4.1.1 4.1.1 动态电路及其过渡过程动态电路及其过渡过程1.动态电路及其描述方法 电容和电感是两种动态元件，其电压和电流的约束关系要用微分或积分形式来表述。我们把含有动态元件电容、电感的电路称为动态电路。动态电路需要用微分方程来描述。2.电路的过渡过程 动态电路有一个特征：当开关断开或接入使电路结构或元件参数发生改变时，可能使电路改变原来的工作状态而进入另一个工作状态，并且电路的这种转换往往需
2、要一个过程，该过程被称为过渡过程。4.1.2 4.1.2 换路与电路的初始条件换路与电路的初始条件1.换路 在电路理论中，把电路结构或参数的变化所引起的电路变化称为“换路”，并认为换路是在极短的时间，即t=0时刻进行的。把换路前趋近于换路的一瞬间记为t=0-，换路后的瞬间记为t=0+，换路所经历的时间为0-到0+。第2页，共20页，编辑于2022年，星期三2.电路的初始条件 电路的初始条件又称初始值，是指所求变量（u或i）及其（n-1）阶导数在t=0+时的值。电路的初始条件可分为独立初始条件和相关初始条件两种。由于电容电压和电感电流往往是动态电路的主要分析对象，因此通常把初始时刻的电容电压uC
3、(0+)和电感电流iL(0+)称为独立初始条件，简称初始条件；而把通过独立初始条件、基尔霍夫定律及欧姆定律求出的其他电压和电流的初始值称为相关初始条件，也称为非独立的初始条件。4.1.3 4.1.3 电路初始条件的求解电路初始条件的求解1.换路定律 换路定律是指在换路瞬间，电容元件的电流值有限时，其电压不能跃变；电感元件的电压值为有限时，其电流不能跃变。即：2.0等效电路分析法 换路定律只能用来求解独立初始条件，而剩下的相关初始条件则需要采用0等效电路分析法进行求解。0等效电路分析法的具体做法如下：第3页，共20页，编辑于2022年，星期三（1）把t=0时电容和电感分别以值为uC(0+)的电压
4、源和值为iL(0+)的电流源来替代。（2）对电路中的独立电源取t=0+时的值，此时获得0等效电路。（3）应用电阻电路的分析方法求解非独立的初始条件。如图所示，t=0时刻关闭开关，求iS(0+)为多少？【例】电路图 0+等效电路 解：（1）据换路定律：（2）画出0等效电路（3）对于结点a，应用KCL可得 则 第4页，共20页，编辑于2022年，星期三4.1.4 4.1.4 研究过渡过程的实际意义研究过渡过程的实际意义 过渡过程是客现存在的物理现象。从理论上讲，过渡过程所经历的时间是无限长的；但实际上电路中的过渡过程一般是快速的、短暂的，通常为纳秒级到秒级之间。过渡过程的持续时间虽然很短，但在过渡
5、过程中产生的过电压或过电流现象会使元器件和电气设备受损、毁坏，甚至能威胁到人身安全。另一方面，许多电子仪器（如计算机）中的电路，某些控制电路却经常工作在过渡过程当中，即过渡过程是这类电路的正常工作状态。所以，我们研究电路的过渡过程，一方面能够掌握和认识过渡过程的客观规律，以便在日常产生生活中加以利用；另一方面也能防止它可能带来的危害。1.产生过渡过程的外因是什么？内因是什么？2.电路发生换路的瞬间，电容电压和电感电流不能突变的原因是什么？3.电路发生换路的瞬间，电容和电感可分别等效为何种元件？【思考题思考题】第5页，共20页，编辑于2022年，星期三4.2 4.2 一阶电路的零输入响应一阶电路
6、的零输入响应 如果电路无输入激励，其响应是由电路内的储能元件的原始储能而引起的，这种电路响应称为零输入响应。4.2.1 RC4.2.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 如图(a)所示的RC电路，开关S在“1”位置时已达到稳态，电容电压uC(0)=U。设在t=0瞬间换路，即t=0时将S转换到“2”位置。根据换路定理uC(0)=uC(0)=U。工作状态等效为如图(b)所示的电路。我们把这种没有外加激励，只是根据储能元件初始储能工作的电路称为零输入电路。第6页，共20页，编辑于2022年，星期三1.求换路后的电容电压uC(t)式中=RC称为时间常数。具有时间量纲，单位:秒2.电路中的电流的计算
7、 式中 为初始电流，“-”号表示此时电流实际方向与图中的参考方向相反，电路处于电容器放电状态。3.电阻电压的计算 由上述分析可知，uC、iC、uR同为RC电路的零输入响应，同一电路各响应的时间常数均相同，其变化曲线如图(c)所示。这三种响应均按指数规律衰减；电容所存储的能量耗尽、各响应将衰减为零；衰减速度由RC所决定，并且时间常数越大，衰减越慢。第7页，共20页，编辑于2022年，星期三4.2.2 RL4.2.2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应仅含有一个电感元件的RL一阶电路如图（a）所示，电路原已经达到稳态，求得 t=0时开关S闭合，t0时RL电路的输入为零，其响应是由电感L初始储能所
8、引起的，因此也是零输入响应。第8页，共20页，编辑于2022年，星期三1.电流的求解换路后RL一阶电路的工作状态等效为图（b）所示的电路 为RL电路的时间常数，来表征其衰减的快慢。2.电路电压的计算电感上的电压电阻上的电压 由此可知：电感电流iL、电感电压uL、电阻电压uR同为RL电路的零输入响应，它们的变化规律如图（c）所示，都是按照指数规律衰减。第9页，共20页，编辑于2022年，星期三4.3 4.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 电路换路前储能元件无储能（零初始状态），由施加于电路的输入信号所产生的响应称零状态响应。4.3.1 RC4.3.1 RC电路的零状态响应电路的零状态
9、响应 如图（a）所示的RC电路，开关S在闭合前电路处于零状态，即电容电压uC(0)=0，没有初始储能。设t=0瞬间换路，即t=0时将S闭合，电路与恒压源接通，给电容充电。零状态电压响应uC和电流响应iC随时间t变化的曲线如图（b）所示，uC是按指数规律由零向稳态值U逐渐增大的。第10页，共20页，编辑于2022年，星期三该电路的全解为响应电流 RC电路的零状态响应相当于电容充电的过程。其充电速度由时间常数来决定，RC越大，越大，充电越慢；反之则充电越快。此外，由于换路瞬间uC(0+)=0，电容元件相当于短路，电路中的电流会发生突变，产生初始冲击电流，所以此时电路中若串有电流表，要注意初始冲击电
10、流是否会超过其量程。注意：如图（b）所示RC串联电路，已知U=100V，R=10K，C=6F，uC(0-)=0，在t=0时闭合开关S。求：（1）最大充电电流；（2）开关闭合后经历多长时间，电容上的电压才能达到80V？解：（1）根据R、C充电电路原理可知，开关S合上瞬间充电电流最大，其值为【例】第11页，共20页，编辑于2022年，星期三（2）由于uC(0-)=0，所以uC(0+)=uC(0-)=0，且 设开关合上后到t1 时，电容上电压充到80V，已知U=100V，电路的时间常数为 RC=10103610660ms因此所以 t1=96.6ms4.3.2 RL4.3.2 RL电路的零状态响应电路
11、的零状态响应图（a）所示的RL一阶电路同样能产生零状态响应。已知开关S闭合前iL为零。图（b）为iL、uL的波形图。第12页，共20页，编辑于2022年，星期三 在图1所示电路中，已知U=20V，L=0.01H，R1=R2=20，R3=10。开关闭合前电路处于零状态，iL(0)0。求开关闭合后电感中的电流。【例】第13页，共20页，编辑于2022年，星期三解：为了求解通过电感的电流，可利用戴维南定理将电感L以外的电路部分化简为戴维南等效电路如图2所示。电路的时间常数 则 1.没有外施激励，已有初始储能的电路是什么电路，初始储能元件在电路中产生的响应是什么响应？2.接通电源前储能元件没有初始储能
12、的电路是什么电路，此时由外施信号激励在电路中产生的响应是什么响应？【思考题】第14页，共20页，编辑于2022年，星期三4.4 4.4 一阶电路的全响应和三要素法一阶电路的全响应和三要素法 前面讨论了一阶电路的零输入响应和零状态响应，本节将讨论电路的全响应。电路的全响应是非零状态的一阶电路受到外施激励时所引起的响应，这时电路的响应是外加激励和储能元件的初始储能共同作用的结果，可看做零输入响应和零状态响应的叠加。4.4.1 4.4.1 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 本节我们以外加恒定激励的RC串联电路为例来讨论一阶电路的全响应。如图(a)所示的RC电路，开关S在闭合前电容电压uC(0)=U0
13、，此时电路的储能是非零状态。设在t=0瞬间换路，即t=0时将S闭合、电路与恒压源接通，给电容充电。第15页，共20页，编辑于2022年，星期三全响应方程全响应等于强制分量和自由分量之和 全响应还可以改写成全响应是零输入响应和零状态响应之和4.4.2 4.4.2 三要素法三要素法一阶电路过渡过程通解的一般表达式为 表示电路中的电压或电流 表示换路后电路中电压或电流的初始值 表示换路后电压或电流的稳态值第16页，共20页，编辑于2022年，星期三 和三个量称为一阶电路的三要素，由三要素直接求得电路完全解的方法称为三要素法。【例4-4】如图所示电路中，已知U=12V，R1=R2=10K，C=1000
14、pF。开关闭合前电路处于零状态uC(0-)=0。求开关闭合后的电容电压uC和电路电流iC、iR与i。解：本题求零状态响应，虽有三个未知量，但也不需要解联立方程组，关键是确定出各支路响应的初始值及稳态值。t=0+瞬间、uC(0+)=uC(0-)=0，R2被短路，整个电路相当于R1C串联 t=时，C相当于开路元件，电路相当于R1、R2串联电路 第17页，共20页，编辑于2022年，星期三电阻R2支路的电压响应 电容支路的电流响应 电阻R2支路的电流响应 据KCL，有 1.在对含有储能元件的电路进行分析时，电容有时可看成开路，有时却又看成短路，电感也有同样情况，为什么？2.在一阶电路全响应中，由于零
15、输入响应仅由元件初始储能产生，所以零输入响应就是暂态响应。而零状态响应是由外界激励引起的所以零状态响响应就是稳态响应。这种说法对吗？3.一阶电路的时间常数是由电路的结构形式决定的，对吗？【思考题思考题】第18页，共20页，编辑于2022年，星期三本章小结本章小结引起电路稳定状态改变的电路变化，称为换路。换路定理：设t=0时电路发生换路1.1.过渡过程过渡过程电路从一个稳定的状态变化到另一个稳定状态的过程，称为过渡过程。对于电容有：即电容电压不能跃变2.2.换路定理换路定理对于电感有：即电感电流不能跃变利用换路定理，求出t=0时的电容电压、电感电流，再利用电路的基本定律，求出电路中其他变量的初始
16、值。电路在发生换路时，如初始值和稳态不相等，电路就会发生瞬时过程，电压和电流按指数规律由初始值过渡到稳态值，根据初始值和稳态值大小的不同，它们可以是指数增长也可以是指数衰减。3.3.初始值的确定：初始值的确定：4.4.在时间域内求解电路的过渡方程的方法称为电路的时域分析法。在时间域内求解电路的过渡方程的方法称为电路的时域分析法。第19页，共20页，编辑于2022年，星期三（1）利用基尔霍夫定律列出换路后待求量的微分方程；（2）求待求量的稳态分量；（3）求待求量的暂态分量；（4）确定积分常数；（5）确定时间常数，从而得到待求量的完全解。在时域中借助微分方程分析电路的瞬态过程的方法成为经典法。利用经典法求解电路的瞬态过程的一般步骤是：一阶线性电路的暂态过程的一般形式为5.5.三要素法：三要素法：其中待求量待求量的稳态值待求量的初始值电路的时间常数第20页，共20页，编辑于2022年，星期三