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1、历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。第1页/共34页求方程 几何意义基本定理 如果函数 在 上连续，且则至少有一个数 使得 ，若同时 的一阶导数 在 内存在且保持定号，即 (或 )则这样的 在 内唯一。abx*第2页/共34页1 二分法 /*Bisection
2、 Method*/原理：若 f Ca,b，且 f(a)f(b)0，则 f 在(a,b)上至少有一实根。基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度的根 的近似值。终止法则？abx1x2abWhen to stop?或不能保证 x 的精度x*第3页/共34页 二分法算法给定区间a,b，求f(x)=0 在该区间上的根x.输入:a和b;容许误差 TOL;最大对分次数 Nmax.输出:近似根 x.Step 1 Set k=1;Step 2 Compute x=f(a+b)/2);Step 3 While(k Nmax)do
3、steps 4-6 Step 4 If|x|TOL,STOP;Output the solution x.Step 5 If x*f(a)0,Set b=x;Else Set a=x;Step 6 Set k=k+1;Compute x=f(a+b)/2);Go To Step 3;Step 7 Output the solution of equation:x;STOP.第4页/共34页3、由二分法的过程可知：4、对分次数的计算公式：1、2、令第5页/共34页解：例1：用二分法求方程 在区间 上的根，误差限为 ，问至少需对分多少次？第6页/共34页简单;对f(x)要求不高(只要连续即可).无
4、法求复根及偶重根收敛慢 注：注：用二分法求根，最好先给出 f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将a,b分为若干小区间，对每一个满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序，可找出区间a,b内的多个根，且不必要求 f(a)f(b)0。优点缺点第7页/共34页2 迭代法的理论 /*Theory of Iteration Method*/f(x)=0 x=g(x)（迭代函数）等价变换思路从一个初值 x0 出发，计算 x1=g(x0),x2=g(x1),xk+1=g(xk),若 收敛，即存在 x*使得 ，且 g 连续，则由 可知 x*=g(x*)，即x*是 g 的不动点，也就是f 的根
5、。f(x)的根g(x)的不动点一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/第8页/共34页xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1几何意义第9页/共34页例2：已知方程 在 上有一个根（正根）下面选取5种迭代格式：1、即2、即3、即4、即5、即第10页/共34页取计算结果如下：法1法4法3法2法5第11页/共34页Lipschitz条件成立的充分条件考虑方程 x=g(x),若(I)当 xa,b 时，g(x)a,b；(II)0 L 1 使得
6、 对 xa,b 成立。则任取 x0a,b，由 xk+1=g(xk)得到的序列 收敛于g(x)在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,)且存在极限连续时第12页/共34页证明：g(x)在a,b上存在不动点？令有根 不动点唯一？反证：若不然，设还有 ，则在和之间。而 当k 时，xk 收敛到 x*？第13页/共34页L 越 收敛越快可用 来控制收敛精度小注：注：条件(II)可改为 在a,b 满足Lipschitz条件,定理结论仍然成立(定理2.3)。第14页/共34页 算法:不动点迭代给定初始近似值 x0，求x=g(x)的解.输入:初始近似值 x0;容许误差 TOL;最大迭代次数 Nmax.输出:近似解 x 或失败信息.Step 1 Set i=1;Step 2 While(i Nmax)do steps 3-6Step 3 Set x=g(x0);/*计算 xi*/Step 4 If|x x0|1)阶收敛的方法，改用Stefensen迭代方法优点不多。第32页/共34页取计算结果如下：法2原迭代次数29法3原来不收敛法1原来不收敛返回第33页/共34页感谢您的观看。第34页/共34页