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1、17.1 方程求根与二分法 7.1.1 引言（1.1）本章主要讨论求解单变量非线性方程 其中 也可以是无穷区间.如果实数 满足 ，则称 是方程(1.1)的根，或称 是 的零点.第1页/共112页2若 可分解为 其中 为正整数，且 则称 为方程(1.1)的 重根，或 为 的 重零点，时为单根.若 是 的 重零点，且 充分光滑，则 如果函数 是多项式函数，即（1.2）其中 为实数，则称方程(1.1)为 次代数方程.第2页/共112页3它在整个 轴上有无穷多个解，若 取值范围不同，解也不同，因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 的定义域，即 的求解区间 时的求根公式是熟知的，时的求根公式可在数
2、学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当 时就不能用公式表示方程的根，所以 时求根仍用一般的数值方法 根据代数基本定理可知,次方程在复数域有且只有 个根（含重根，重根为 个根）.另一类是超越方程，例如第3页/共112页4 迭代法要求先给出根 的一个近似，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为方程(1.1)的有根区间.非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接方法求解，都要使用迭代法.通常可通过逐次搜索法求得方程 的有根区间.第4页/共112页5 例1 求方程 的有根区间.解 根据有根区间定义，对 的根进行搜索计算，结果如下：由此可知方程的有根区间为 第5页/共1
3、12页6 检查 与 是否同号，如果同号，说明所求的根 在 的右侧,这时令否则 必在 的左侧，这时令见图7-1.考察有根区间 ，取中点 将它分为两半，7.1.2 二分法假设中点 不是 的零点，然后进行根的搜索.图7-1 不管出现哪一种情况，新的有根区间 的长度仅为 的一半.第6页/共112页7 对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续，即用中点 将区间 再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根在 的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间 ，其长度是 的一半.如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 的长度 当 时趋于零.第7页/共112页8 就是说，如果二分过程
4、无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点 ，该点显然就是所求的根.作为根的近似，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列 该序列必以根 为极限.每次二分后，设取有根区间 的中点 第8页/共112页9 由于 只要二分足够多次（即 充分大），便有 这里 为预定的精度.（1.3）第9页/共112页10 例2 求方程 在区间 内的一个实根，要求准确到小数点后第2位.解 这里 ，而 取 的中点 ，将区间二等分，由于 ，即 与 同号，故所求的根 必在 右侧，这时应令 ，而得到新的有根区间 如此反复二分下去,按误差估计（1.3）式,欲使（1.3）只需 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度.第10页/共112页
5、11 计算结果如表7-2.第11页/共112页12 二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为：步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的值 步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值 步骤3 判断 若 ，则 即是根，计算过程结束，否则检验.若 ，则以 代替 ，否则以代替 .第12页/共112页13此时中点 即为所求近似根.误差 ，反复执行步骤2和步骤3，直到区间 长度小于允许第13页/共112页147.2 不动点迭代法及其收敛性 7.2.1 不动点与不动点迭代法 将方程（1.1）改写成等价的形式（2.1）若 满足 ，则 ；反之亦然，称为函数 的一个不动点.求 的零点就等价于求 的不动点.选择一个初
6、始近似值 ，将它代入(2.1)右端，即可求得（1.1）第14页/共112页15如此反复迭代计算（2.2）称为迭代函数.如果对任何 ，由（2.2）得到的序列 有极限 则称迭代方程(2.2)收敛，且 为 的不动点，故称（2.2）为不动点迭代法.第15页/共112页16 方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲线 与直线 的交点 对于 的某个近似值 ，在曲线 上可确定一点 ，它以 为横坐标，而纵坐标则等于 就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.过 引平行 轴的直线，设此直线交直线 于点 ，然后过 再作平行于 轴的直线，与曲线 的交点 上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程 归结为一
7、组显式的计算公式 .第16页/共112页17则点 的横坐标为 ，图7-2记作 ，纵坐标则等于 按图7-2中箭头所示的路径继续做下去.在曲线 上得到点列，其横坐标分别为第17页/共112页18 例3 求方程（2.3）在 附近的根 解 设将方程（2.3）改写成下列形式 依公式 求得的迭代值 如果点列 趋向于点 ，则相应的迭代值 收敛到所求的根 据此建立迭代公式 第18页/共112页19各步迭代的结果见表7-3.这时可以认为 实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根.如果仅取6位数字，那么结果 与 完全相同，（2.3）第19页/共112页20但若采用方程（2.3）的另一种等价形式建立迭代公式 仍取迭
8、代初值 ，则有 结果会越来越大，不可能趋于某个极限.这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3.一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值的.图7-3第20页/共112页21 7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 首先考察 在 上不动点的存在唯一性.定理1 设 满足以下两个条件：1.对任意 有 2.存在正常数 ，使对任意 都有（2.4）则 在 上存在唯一的不动点 第21页/共112页22 因 ，以下设 及 ，若 或 ，则不动点为 或 ，存在性得证.定义函数显然 ，由连续函数性质可知存在 ,且满足使 ,即即为 的不动点.证明 先证不动点存在性.第22页/共112页23
9、再证唯一性.设 都是 的不动点，引出矛盾.故 的不动点只能是唯一的.则由(2.4)得（2.4）第23页/共112页24（2.5）定理2 设 满足定理1中的两个条件，则对任意 ，由（2.2）得到的迭代序列 收敛到 的不动点 ，并有误差估计 证明 设 是 在 上的唯一不动点，由条件，可知 ，再由（2.4）得 因 ，故当 时序列 收敛到 .（2.4）（2.2）第24页/共112页25 再证明估计式（2.5），由（2.4）有（2.6）反复递推得 于是对任意正整数 有（2.5）（2.4）第25页/共112页26在上式令 ，注意到 即得式（2.5）.迭代过程是个极限过程.在用迭代法实际计算时，必须按精度要
10、求控制迭代次数.原则上可以用误差估计式（2.5）确定迭代次数，但由于它含有信息 而不便于实际应用.根据式（2.6），对任意正整数 有 在上式中令 知（2.6）（2.5）第26页/共112页27 由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差 足够小即可保证近似值 具有足够精度.对定理1和定理2中的条件2，如果且对任意 有（2.7）则由中值定理可知对 有 表明定理中的条件2可用（2.7）代替.第27页/共112页28 例3中，当 时，,在区间 中，故（2.7）成立.又因 ，故定理1中条件1也成立.所以迭代法是收敛的.而当 时，在区间 中 不满足定理条件.（2.7）第28页/共112页29 7.2.3 局部
11、收敛性与收敛阶 上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性，定理的条件有时不易检验，实际应用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性，即局部收敛性.定义1 设 有不动点 ，如果存在 的某个邻域 对任意 ，迭代（2.2）产生的序列 且收敛到 ，则称迭代法（2.2）局部收敛.通常称为全局收敛性.（2.2）第29页/共112页30 证明 由连续函数的性质，存在 的某个邻域 使对于任意 成立 定理3 设 为 的不动点，在 的某个邻域连续，且 ，则迭代法（2.2）局部收敛.此外，对于任意 ，总有 ，于是依据定理2可以断定迭代过程 对于任意初值 均收敛.这是因为（2.2）第30页/共112页31 讨论迭代序列的收
12、敛速度.例4 用不同方法求方程 的根 解 这里 ，可改写为各种不同的等价形式 其不动点为 由此构造不同的迭代法：第31页/共112页32取 ，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表.第32页/共112页33 从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.注意 .迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 .第33页/共112页34 定义2 设迭代过程 收敛于方程的根 ，如果迭代误差 当 时成立下列渐近关系式则称该迭代过程是 阶收敛的.特别地,时称线性收敛，时称超线性收敛，时称平方收敛.第34页/共112页35
13、 定理4 对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续，并且 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的.（2.8）证明 由于 ，据定理3立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性.再将 在根 处做泰勒展开，利用条件（2.8），则有 第35页/共112页36注意到 ，因此对迭代误差，当 时有（2.9）这表明迭代过程 确实为 阶收敛.由上式得 上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取.如果当 时 ，则该迭代过程只可能是线性收敛.第36页/共112页37 在例4中，迭代法（3）的 ，故它只是线性收敛.而迭代法（4）的 ，而 由定理4知 ，该迭代过程为2阶收敛.第37页/共112页387.3 迭代收敛
14、的加速方法 7.3.1 埃特金加速收敛方法 设 是根 的某个近似值，用迭代公式迭代一次得 由微分中值定理，有 其中 介于 与 之间.假定 改变不大，近似地取某个近似值 ，（3.1）则有 第38页/共112页39由于 将它与（3.1）式联立，消去未知的 ，由此推知 在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近似，记作 .若将校正值 再迭代一次，又得 有（3.1）第39页/共112页40 一般情形是由 计算 ，(3.2)称为埃特金（Aitken）加速方法.可以证明 它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快.（3.2）记 第40页/共112页41 7.3.2 斯蒂芬森迭代法 埃特金方法不管原序列 是怎
15、样产生的，对 进行加速计算，得到序列 .如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法：称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.（3.3）第41页/共112页42 它的理解为，要求 的根 ，已知 的近似值 及 ，其误差分别为 过 及 两点做线性插值函数.它与 轴交点就是（3.3）中的 ，即方程 的解 令（3.3）第42页/共112页43 实际上（3.3）是将不动点迭代法（2.2）计算两步合并成一步得到的，可将它写成另一种不动点迭代（3.4）其中（3.5）（2.2）（3.3）第43页/共112页44 定理5 若 为（3.5）定义的迭代函数 的不动点，则 为 的不动点.反之，若 为
16、 的不动点，设 存在，则 是 的不动点，且斯蒂芬森迭代法（3.3）是2阶收敛的.解 例3中已指出,下列迭代 是发散的，现用(3.3)计算，取 .例5 用斯蒂芬森迭代法求解方程 计算结果如下表.（3.5）（3.3）第44页/共112页45 至于原来已收敛的迭代法（2.2），由定理5可知它可达到2阶收敛.计算表明它是收敛的，这说明即使迭代法（2.2）不收敛，用斯蒂芬森迭代法（3.3）仍可能收敛.第45页/共112页46 更进一步还可知若（2.2）为 阶收敛，则（3.3）为阶收敛.例6 求方程 在 中的解.解 由方程得等价形式 ，取对数得 由此构造迭代法 且当 时，由于 ,根据定理2此迭代法是收敛的
17、.（2.2）（3.3）第46页/共112页47 若取 迭代16次得 ，有六位有效数字.若用（3.3）进行加速，计算结果如下：这里计算2步（相当于（2.2）迭代4步）结果与 相同，说明用迭代法（3.3）的收敛速度比迭代法（2.2）快得多.第47页/共112页487.4 牛顿法 7.4.1 牛顿法及其收敛性 设已知方程 有近似根 （假定 )，将函数 在点 展开，有 于是方程 可近似地表示为（4.1）牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.第48页/共112页49这是个线性方程，记其根为 ，则 的计算公式为（4.2）这就是牛顿(Newton)法.牛顿法的几何解
18、释.方程 的根 可解释为曲线 与 轴的交点的横坐标图7-4（图7-4).第49页/共112页50 设 是根 的某个近似值，过曲线 上横坐标为 的点 引切线，并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.注意到切线方程为 这样求得的值 必满足（4.1），从而就是牛顿公式（4.2）的计算结果.由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.由定理4，可以直接得到牛顿法的收敛性，（4.2）（4.1）第50页/共112页51由于 假定 是 的一个单根，即 ，则由上式知 于是依据定理4可以断定，牛顿法在根 的邻近是平方收敛的.(4.2)的迭代函数为 又因（4.2）第51页/共112页52故由（2.9）可得（4
19、.3）例7 用牛顿法解方程（4.4）解 这里牛顿公式为 取迭代初值 ，迭代结果列于表7-6中.所给方程（4.4）实际上是方程 的等价形式.（2.9）第52页/共112页53 牛顿法的计算步骤：步骤1 准备 选定初始近似值 ，计算 步骤2 迭代 按公式 迭代一次，得新的近似值 ，若用不动点迭代到同一精度 可见牛顿法的收敛速度是很快的.要迭代17次.计算 第53页/共112页54 此处 是允许误差，而 其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数，步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 ，步骤3 控制 如果 满足 或 ，则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步骤4.一般可取第54页/共112页55或
20、者 ，则方法失败；否则以 代替 转步骤2继续迭代.第55页/共112页56 7.4.2 牛顿法应用举例 对于给定的正数 ，应用牛顿法解二次方程 可导出求开方值 的计算程序（4.5）这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知 第56页/共112页57以上两式相除得 据此反复递推有（4.6）记 第57页/共112页58 解 取初值 ，对 按(4.5)式迭代3次便得到精度为 的结果（见表7-8).对任意 ，总有 ，故由上式推知，当时 ，即迭代过程恒收敛.例8 求 .整理（4.6）式，得（4.6）（4.5）第58页/共112页59 由于公式（4.5）对任意初值 均收
21、敛，并且收敛的速度很快，因此可取确定的初值如 编成通用程序.（4.5）第59页/共112页60 7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 及 ，计算量较大且有时 计算较困难，为克服这两个缺点，通常可用下述方法.（1）简化牛顿法，也称平行弦法.其迭代公式为（4.7）迭代函数 二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛，如给的不合适可能不收敛.第60页/共112页61 若在根 附近成立 ，即取则迭代法（4.7）局部收敛.在（4.7）中取 ，则称为简化牛顿法，这类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似.如图7-5所示.图7-5即
22、第61页/共112页62 （2 2）牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值 的选取.如果 偏离所求根 较远，则牛顿法可能发散.例如，用牛顿法求方程（4.8）在 附近的一个根 .设取迭代初值 ，用牛顿法公式（4.9）计算得 第62页/共112页63迭代3次得到的结果 有6位有效数字.但如果改用 作为迭代初值，则依牛顿法公式（4.9）迭代一次得 这个结果反而比 更偏离了所求的根 .为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性：（4.10）满足这项要求的算法称下山法.（4.9）第63页/共112页64 将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.将
23、牛顿法的计算结果 与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值（4.11）其中 称为下山因子，（4.12）(4.12)称为牛顿下山法.（4.11）即为 第64页/共112页65 选择下山因子时从 开始，逐次将 减半进行试算，若用此法解方程（4.8），当 时由（4.9）求得直到能使下降条件（4.10）成立为止.，它不满足条件（4.10）.通过 逐次取半进行试算，当 时可求得此时有 ，显然 .而 由 计算 时 ,均能使条件（4.10）成立.计算结果如下：（4.10）（4.9）（4.8）第65页/共112页66 即为 的近似.一般情况只要能使条件（4.10）成立，则可得到 ，从而使 收敛.（4.10
24、）第66页/共112页67 7.4.4 重根情形 设 ，整数 ，则 为方程 的 重根，此时有 只要 仍可用牛顿法（4.2）计算，此时迭代函数 的导数为 且 ，所以牛顿法求重根只是线性收敛.（4.2）第67页/共112页68则 .（4.13）求 重根，则具有2阶收敛，但要知道 的重数 .构造求重根的迭代法，还可令 ，若 是 的 重根，则 若取 用迭代法 第68页/共112页69从而可构造迭代法（4.14）它是二阶收敛的.故 是 的单根.对它用牛顿法，其迭代函数为 第69页/共112页70 例9 方程 的根 是二重根，用上述三种方法求根.解 （1）牛顿法 先求出三种方法的迭代公式：（2）用（4.1
25、3）式 （3）用（4.14）式 取初值 ，计算结果如表7-9.（4.13）第70页/共112页71 从结果看出，经过三步计算，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而由于牛顿法只有线性收敛，所以要达到同样精度需迭代30次.第71页/共112页727.5 弦截法与抛物线法 当函数 比较复杂时，计算 往往较困难，值 的计算.为此可以利用已求函数值 来回避导数还要算 .用牛顿法求方程 的根，每步除计算 外，第72页/共112页73 7.5.1 弦截法 设 是 的近似根，利用 构造一次插值多项式 ，并用 的根作为新的近似根 .（5.1）由于 因此有（5.2）第73页/共112页74（5.2）可以看做
26、将牛顿公式 中的导数 用差商 取代的结果.接着讨论几何意义.曲线 上横坐标为 的点分别记为 ，则弦线 的斜率等于差商值 ,（5.2）第74页/共112页75按（5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标.表7-6这种算法因此而称为弦截法.其方程为（5.2）第75页/共112页76 而弦截法（5.2），在求 时要用到前面两步的结果 ，弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者有本质的区别.切线法在计算 时只用到前一步的值 .因此使用这种方法必须先给出两个开始值 .例10 用弦截法解方程 解 设取 作为开始值，用弦截法求得的结果见表7-10，（5.2）第76页/共112页77 实际上，
27、弦截法具有超线性的收敛性.比较例7牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的.定理6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数，且对任意 有 ，又初值 那么当邻域充分小时，弦截法（5.2）将按 阶收敛到根 .这里 是方程 的正根.（5.2）第77页/共112页78 7.5.2 抛物线法 设已知方程 的三个近似根 ，几何上，这种方法的基本思想是用抛物线与 轴的交点 作为所求根 的近似位置（图7-7).图7-7以这三点为节点构造二次插值多项式 ，的一个零点 作为新的近似根，并适当选取 这样确定的迭代过程称为抛物线法，亦称密勒（Mller）法.第78页/共112页79插值多项式 有两个零点
28、：（5.3）式中 问题是该如何确定 .假定在 三个近似根中，更接近所求的根 .第79页/共112页80 为了保证精度，选（5.3）中较接近 的一个值作为新的近似根 .为此，只要取根式前的符号与 的符号相同.例11 用抛物线法求解方程 解 设用表7-10的前三个值 作为开始值，计算得（5.3）第80页/共112页81故 代入（5.3）式求得 以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快.在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有下列渐近关系式（5.3）第81页/共112页82可见抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶 ,从（5.3）看到，即使 均为实数，也可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实
29、根和复根.收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.（5.3）第82页/共112页837.6 求根问题的敏感性与多项式的零点第83页/共112页84 7.6.1 求根问题的敏感性与病态代数方程 方程求根的敏感性与函数求值是相反的，若 ，则由 求 的病态性与由 求 的病态性相反，光滑函数 在根 附近函数绝对误差与自变量误差之比若 ，则求根为反问题，即输入 满足若找到一个 使 ,则解的误差 与 之比为 ，即 误差将达到 ，如果 非常小，这个值就非常大，直观的可用图7-8表示.第84页/共112页85图7-8第85页/共112页86 对多项式方程若系数有微小扰动其根变化很大，这种根对系数变化的敏感性成为病态的
30、代数方程.若多项式 的系数有微小变化，可表示为其中 是一个多项式，次数不大于 的零点表示为 ，令 为 的零点，即 ，将（6.2）对 求导，可得（6.1）（6.2）第86页/共112页87于是当 时有当 充分小时，利用 在 处的泰勒展开得它表明系数有微小变化 时引起根变化的情况.当 很大时代数方程（6.1）就是病态的.（6.3）（6.4）第87页/共112页88 例12 多项式 解 取 的根由（6.4）可得实际上，方程 的根 分别为这说明方程是严重病态的.第88页/共112页89 7.6.2 多项式的零点 很多问题要求多项式的全部零点，即方程（6.1）的全部根，它等价于求的全部根.前面讨论的任一
31、种方法都可用于求出一个根 ，但通常使用牛顿法最好，可利用秦九韶算法计算 及 的值.（6.5）第89页/共112页90 再求 的一个根 ，,如此反复直到求出全部 个根.由牛顿法 计算到 ，则得到 .由于 ，即 ，将 的次数降低一阶.一般地，这里 为二次多项式，在此过程中当 增加时不精确性也增加，为了解决此困难可通过原方程 的牛顿法改进 的结果.第90页/共112页91 由于 可能是复根，因此使用抛物线法对求复根更有利.若 为复根，记 ，则 也是一个根，于是 是 的一个二次因子，于是 是 阶多项式，可降低二阶.即使不是复根，也可通过抛物线法求出两个实根，它比牛顿法更优越.第91页/共112页92
32、例13 求 的全部零点.解 先用抛物线法求方程的根，取 计算到 为止.结果见表7-11.第92页/共112页93求得根为 ，从而可得再由 可求得另外两根为可对原方程 ，以此两根为初值，用牛顿法迭代一次可得到更精确的根第93页/共112页94 令一种求多项式零点的方法是将其转化为求矩阵的特征值问题.由于方程（6.5）是矩阵的特征多项式，利用计算矩阵特征值方法求矩阵 的全部特征值，则可得到方程（6.5)的全部根，MATLAB中的roots函数使用的就是这种方法.此外还有专门针对求多项式全部零点的专门方法.第94页/共112页957.7 非线性方程组的数值解法 第95页/共112页96 考虑方程组（
33、7.1）其中 均为 的多元函数.用向量记号记 ,（7.2）(7.1）就可写成 7.7.1 非线性方程组第96页/共112页97 的非线性函数时，称方程组（7.1）为非线性方程组.当 ，且 中至少有一个是自变量 例14 求 平面上两条抛物线 及的交点，这就是方程组（7.1)中 的情形.解 当 时无解.当 时有唯一解当 时有两个解.及 当 时有4个解第97页/共112页98 求方程组（7.1）的根可直接将单个方程 的求根方法加以推广，实际上只要把单变量函数 看成向量函数 ，将方程(7.1）改写为方程组(7.2)，就可将前面讨论的求根方法用于求方程组（7.2）的根.为此设向量函数 定义在区域 若 ，
34、则称 在 连续，这意味着对任意实数 ，存在实数 ，使得对满足 的 ，有 如果 在 上每点都连续，则称 在域 上连续.第98页/共112页99 向量函数 的导数 称为 的雅可比矩阵，它表示为（7.3）第99页/共112页100 7.7.2 多变量方程的不动点迭代法 为了求解方程组（7.2），可将它改写为便于迭代的形式（7.4）其中向量函数 ，且在定义域 上连续，如果 ，满足 ，称 为函数 的不动点，也就是方程组（7.2）的一个解.根据（7.4）构造的迭代法 称为不动点迭代法，称为迭代函数.（7.5）第100页/共112页101 如果由它产生的向量序列 满足 ，对（7.5）取极限，由 的连续性可得
35、 ，故 是 的不动点，也就是方程组（7.2）的一个解.第101页/共112页102 类似于 时单个方程有下面的定理.定理7 函数 定义在区域 ，假设：（1）存在闭集 及实数 ，使 （2）对任意 ，有 .则 在 有唯一不动点 ，且对任意 ，由迭代法（7.5）生成的序列 收敛到 ，并有误差估计 定理的条件（1）称为 的压缩条件.（7.6）（7.7）第102页/共112页103 若 是压缩的，则它也是连续的.条件（2）表明 把区域 映入自身，此定理也称压缩映射原理.它是迭代法在域 的全局收敛性定理.类似于单个方程还有以下局部收敛定理.定理8 设 在定义域内有不动点 的分量函数有连续偏导数且则存在 的
36、一个邻域 ，对任意 ，迭代法（7.5）产生的序列 收敛于 （7.8）中的 是指函数 的雅可比矩阵的谱半径.（7.8）第103页/共112页104 类似于一元方程迭代法也有向量序列 收敛阶的定义，设 收敛于 ，若存在常数 及 ，使则称 为 阶收敛.（7.9）第104页/共112页105设 ，不难验证 ，故有 时 .例15 用不动点迭代法求解方程组 解 将方程组化为（7.4）的形式，其中第105页/共112页106 又对一切 ，于是有 ，即 满足条件（7.6）.根据定理7，在域 中存在唯一不动点 内任意点出发的迭代法收敛于 .今取 ，用迭代法（7.5）可求得 第106页/共112页107 由于对一
37、切 都有 ，故 ，从而有 ，满足定理7的条件.此外还可看到故 ，即满足定理8条件.第107页/共112页108 7.7.3 非线性方程组的牛顿迭代法 将单个方程的牛顿法直接用于方程组（7.2）则可得到解非线性方程组的牛顿迭代法这里 是（7.3）给出的雅可比矩阵的逆矩阵.求出向量 ，再令 .每步包括了计算向量函数 及矩阵（7.10）具体计算时记 ，先解方程组第108页/共112页109 定理9 设 的定义域为 满足 在 的开邻域 上 存在且连续，非奇异，则牛顿法生成的序列 在闭域 上超线性收敛于 ，若还存在常数 ，使则 至少平方收敛.牛顿法有以下收敛性定理.第109页/共112页110 例16 用牛顿法解例15的方程组 解 选 ，解线性方程组 ，即第110页/共112页111解得 ，按牛顿迭代法（7.10）计算结果如表7-12.第111页/共112页112感谢您的观看！第112页/共112页