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1、1 1、对策现象及其三个要素、对策现象及其三个要素（以（以“田忌赛马田忌赛马”为例）为例）运筹学 第13讲：对策论（一）一、对策论的基本概念一、对策论的基本概念u 局中人局中人：与对策有：与对策有直接直接效用关系的实体（人、集体等）效用关系的实体（人、集体等）u 策略策略：一个局中人对付其他局中人的方法或措施：一个局中人对付其他局中人的方法或措施田忌的策略共有田忌的策略共有 3！=61 1=(=(上上,中中,下下)；2 2=(=(上上,下下,中中)；3 3=(=(中中,上上,下下)；4 4=(=(中中,下下,上上)；5 5=(=(下下,上上,中中)；6 6=(=(下下,中中,上上)。同理，齐王
2、的策略分别为：同理，齐王的策略分别为：1 1=(=(上上,中中,下下)；2 2=(=(上上,下下,中中)；3 3=(=(中中,上上,下下)；4 4=(=(中中,下下,上上)；5 5=(=(下下,上上,中中)；6 6=(=(下下,中中,上上)。齐王、田忌、孙膑、马齐王、田忌、孙膑、马X XX X第1页/共16页策略集策略集：局中人：局中人i 所有策略的集合，用所有策略的集合，用Si 表示表示例如：设田忌为第例如：设田忌为第1人，人，i=1；齐王为第；齐王为第2人，人，i=2。则田忌的策略集为：则田忌的策略集为：S11,2,3,4,5,6；齐王的策略集为：齐王的策略集为：S21,2,3,4,5,6
3、。局势局势：每个局中人各从其策略集中取一个策略参与对策，则：每个局中人各从其策略集中取一个策略参与对策，则这些策略的组合称为局势，用这些策略的组合称为局势，用s表示。表示。例如：田忌和齐王的某个局势为：例如：田忌和齐王的某个局势为：s s5151或或(5 5,1 1)，即，即s s51 51=(=(5 5,1 1)U U1 1(s s5151)=)=u 赢得函数赢得函数：局中人：局中人i 在局势在局势s下的所得，用下的所得，用Ui(s)表示表示U U2 2(s s5151)=)=U U1 1(s s1111)=)=U U2 2(2 2,5 5)=)=1-1-31已知：已知：1 1=(=(上上,
4、中中,下下)；2 2=(=(上上,下下,中中)；3 3=(=(中中,上上,下下)；4 4=(=(中中,下下,上上)；5 5=(=(下下,上上,中中)；6 6=(=(下下,中中,上上)。i ij j,i i=j j=1,=1,6,6。运筹学 第13讲：对策论（一）第2页/共16页2 2、矩阵对策的基本模型、矩阵对策的基本模型h 赢得矩阵：局中人赢得矩阵：局中人i 在不同局势下的赢得所组成的矩阵，用在不同局势下的赢得所组成的矩阵，用Ai 表示。表示。例如：田忌的赢得矩阵为：例如：田忌的赢得矩阵为：1A123456123456齐王的赢得矩阵为：齐王的赢得矩阵为：A2A1，A1 也可称为齐王的也可称为
5、齐王的损失矩阵损失矩阵运筹学 第13讲：对策论（一）第3页/共16页h 矩阵对策矩阵对策 两个局中人的对策表述两个局中人的对策表述 G（S1,S2,A1）（S1，S2，A）本节中我们仅研究二人有限零和对策，即本节中我们仅研究二人有限零和对策，即A A1 1+A A2 2=0=0运筹学 第13讲：对策论（一）第4页/共16页3 3、对策的分类、对策的分类 按局中人的数目分类：二人对策，多人对策（诸侯争霸）按局中人的数目分类：二人对策，多人对策（诸侯争霸）按策略的数目分类：有限对策，无限对策（警察抓罪犯）按策略的数目分类：有限对策，无限对策（警察抓罪犯）按赢得矩阵之和是否为零分类：零和对策，非零和
6、对策（囚按赢得矩阵之和是否为零分类：零和对策，非零和对策（囚徒困境）徒困境）按局中人是否合作分类：非合作对策（同类企业竞争），合按局中人是否合作分类：非合作对策（同类企业竞争），合作对策（供应链成员，作对策（供应链成员，OPEC等）等）综上所述，田忌赛马为二人有限零和不合作对策。综上所述，田忌赛马为二人有限零和不合作对策。运筹学 第13讲：对策论（一）第5页/共16页例例1二、纯策略二、纯策略如果甲、乙都是理性的人，应各选什么策略？如果甲、乙都是理性的人，应各选什么策略？设对策设对策G（S1，S2，A），其中），其中1231234A运筹学 第13讲：对策论（一）第6页/共16页设有对策设有对策
7、G（S1，S2，A），其中），其中S11 1,2 2,，m m，S21,2,n，A=(aij)mn。如果A中存在一个元素ark满足：则局势（r,k）称为G的解或鞍点。*=r r,*=k k称为甲、乙的最优纯策略。设G的值为v vG G，v vG G=a arkrk 。运筹学 第13讲：对策论（一）第7页/共16页例例2求解求解G（S1，S2，A），其中），其中1231234A运筹学 第13讲：对策论（一）矩阵对策中可能存在多个解，但其值是唯一的。矩阵对策中可能存在多个解，但其值是唯一的。第8页/共16页例例3 某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖用煤的采购量。某单位采购员在秋天时要决定冬季取暖用
8、煤的采购量。已知在正常气温条件下需要煤已知在正常气温条件下需要煤15吨，在较暖和较冷气温条吨，在较暖和较冷气温条件下需要煤件下需要煤10吨和吨和20吨。假定冬季的煤价随天气寒冷程度吨。假定冬季的煤价随天气寒冷程度而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤的价格分而变化，在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤的价格分别为别为100元、元、150元和元和200元。又设秋季时每吨煤的价格为元。又设秋季时每吨煤的价格为100元，在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下，元，在没有关于当年冬季气温情况准确预报的条件下，秋季应采购多少吨煤能使总支出最少？秋季应采购多少吨煤能使总支出最少？运筹学 第13讲：对
9、策论（一）第9页/共16页在对策在对策G（S1，S2，A）中，）中，运筹学 第13讲：对策论（一）局中人甲的至少赢得：局中人甲的至少赢得：（所得小中求大）（所得小中求大）局中人乙的至多损失：局中人乙的至多损失：（所失大中求小）（所失大中求小）则则v v1 1 v v2 2？Z 当当v1=v2时，时，G有纯策略解；有纯策略解；Z 当当v1v2时，？时，？第10页/共16页例如：例如：可知可知G无纯策略解，即局中人不能仅仅选取某一个纯策略参与对策。无纯策略解，即局中人不能仅仅选取某一个纯策略参与对策。运筹学 第13讲：对策论（一）局中人只能以一定的概率随机选取某个纯策略来参与对策，即采用局中人只能
10、以一定的概率随机选取某个纯策略来参与对策，即采用“混合策略混合策略”。第11页/共16页三、混合策略三、混合策略设有对策设有对策G（S1，S2，A），其中），其中S11 1,2 2,，m m，S21,2,n，A=(aij)mn。记：则分别称S1*和S2*为局中人甲、乙的混合策略集；对于称x和y为混合策略，（x,y）为混合局势。运筹学 第13讲：对策论（一）第12页/共16页例例4求解求解G（S1，S2，A），），S11,2，S2 1,2，求甲乙两人应采取的策略？，求甲乙两人应采取的策略？如果双方进行一次对策，则甲随机选择，乙选2的概率大一点；如果双方进行六次对策，甲分别取3次1 1和2 2，乙
11、选2 2次1 1，4 4次2 2运筹学 第13讲：对策论（一）第13页/共16页1 1、占优策略、占优策略四、矩阵对策的求解四、矩阵对策的求解n 在在G=(S1,S2,A)中，中，A=(aij)mn，若，若akjalj，j=1,2,n，称局中，称局中人甲的纯策略人甲的纯策略 k 占优于纯策略占优于纯策略 l；若若aikail，i=1,2,m，则称局，则称局中人乙的纯策略中人乙的纯策略 k 占优于纯策略占优于纯策略 l。例例1设对策设对策G（S1，S2，A），其中），其中123123A运筹学 第13讲：对策论（一）第14页/共16页运筹学 第13讲：对策论（一）作业：作业：9.1,9.5,9.79.1,9.5,9.7，9.89.8第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页