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1、定理定理9 设设(x*,y*)是矩阵对策是矩阵对策G的解，的解，=VG，则则若若xi*0,则则 j aijyj*=i aijxi*=若若yj*0,则则 i aijxi*若若若若 j aijyj*49/11=VG，所以所以y1*=0 。根据定理根据定理4和定理和定理9，可由，可由49/11=3y2+11y349/11=5y2+2y3 1=y2 +y3求得求得y2*=9/11,y3*=2/11。所以局中人所以局中人最优策略最优策略为为y*=(0，9/11，2/11)。例例3 求解矩阵对策求解矩阵对策G=S1,S2;A,其中其中S1=1,2,3和和S2=1,2。解解：设局设局中人中人的混合策略为的混
2、合策略为(y,1y),y 0,1 过数轴上过数轴上O和和1的两点作两条垂线的两点作两条垂线,在垂线在垂线上把局中人上把局中人采取纯策略采取纯策略 1和和 2时，局中人时，局中人分别采分别采取纯策略取纯策略 1,2,3 时的时的损失值标出。如图损失值标出。如图0 1 25723 11B1BB2 1 2 3AV=2y+7(1-y)V=3y+5(1-y)V=11y+2(1-y)折线折线B1 B B2 上的点的纵上的点的纵坐标就是对应坐标就是对应y的最大的最大损失值。按损失值。按最小最大最小最大原则原则应选择应选择y=OA，AB即为对策值。为求即为对策值。为求出出y和对策值和对策值VG，可可A=2 7
3、 11 2 3 5方程组：方程组：VG=2y+7(1-y)VG=11y+2(1-y)y=5/14,VG=73/14。所以所以局局中人中人最优策略为最优策略为y*=(5/14，9/14)。下面求下面求x*：因因E(2,y*)=35/14+5 9/14=60/14 73/14=VG，所以所以x2*=0 。根据定理根据定理4和定理和定理9，可由，可由73/14=2x1+11x373/14=7x1+2x3 1=x1 +x3求得求得x1*=9/14,x3*=5/14。所以局中人所以局中人最优策略最优策略为为x*=(9/14，0，5/14)。0 1 25723 11B1BB2 1 2 3AV=2y+7(1
4、-y)V=3y+5(1-y)V=11y+2(1-y)折线折线B1 B B2 上的点的纵上的点的纵坐标就是对应坐标就是对应y的最大的最大损失值。按损失值。按最小最大原最小最大原则则应选择应选择y=OA，AB即即为对策值。为求出为对策值。为求出y和和对策值对策值VG，可求可求三三 线性方程组方法线性方程组方法根据定理根据定理4，9，如果假设最优策略中，如果假设最优策略中xi*和和yj*均大于零，均大于零，则求矩阵对策的解转化为求下列两个方程组：则求矩阵对策的解转化为求下列两个方程组：mv ,j=1,2,n i=1 aijxi=1 i=1 m xiv ,i=1,2,m j=1 n aijyi=1 j
5、=1 n yi和和如果上述方程组存在非负解如果上述方程组存在非负解x*和和y*,则便求得了对策的则便求得了对策的一个解一个解(x*,y*)。如果由上述两个方程组求出的如果由上述两个方程组求出的x*和和y*中有负的分量，则可视具体情况，将上述两方程组中中有负的分量，则可视具体情况，将上述两方程组中的某些等式改成不等式，继续试算求解，直至求出对的某些等式改成不等式，继续试算求解，直至求出对策的解。策的解。例例4 某厂用三种不同的设备某厂用三种不同的设备1,2,3加工三种不同的加工三种不同的产品产品 1,2,3。已知三种设备加工三种产品时，单已知三种设备加工三种产品时，单位时间内创造的价值由下表给出
6、。位时间内创造的价值由下表给出。使用使用设备设备被被加工产品加工产品 1 2 3 1 2 33-12-242426出现负值是由于设备的消耗出现负值是由于设备的消耗大于创造出的价值。在上述大于创造出的价值。在上述条件下，求出一个合理的加条件下，求出一个合理的加工方案。工方案。解：解：此问题可看成是一个矩阵对策问题此问题可看成是一个矩阵对策问题G=S1,S2;A,S1=1,2,3和和S2=1,2,3 3 -2 4A=-1 4 22 2 6易知易知A无鞍点。无鞍点。为为简化计算简化计算,由定理由定理7转而求赢得矩阵为转而求赢得矩阵为 1 -4 2A=A(2)33=-3 2 00 0 4的矩阵对策的矩
7、阵对策G，为此求为此求方程组：方程组：和和 x1 3x2=x1 +x2+x3=1-4x1+2x2=2x1+4x3=y1 4y2+2y3=y1 +y2+y3=1-3y1+2y2 =4y3=经过计算，可知经过计算，可知方程组方程组不存在非不存在非负解负解。于是。于是将第一个方程组第将第一个方程组第3式取为不等式，第二个方程组第式取为不等式，第二个方程组第1式取为不等式，转而求式取为不等式，转而求和和 x1 3x2=x1 +x2+x3=1-4x1+2x2=2x1+4x3 y1 4y2+2y3y1 +y2+y3=1-3y1+2y2 =4y3=和和 x1 3x2=x1 +x2+x3=1-4x1+2x2=2x1+4x3=y1 4y2+2y3=y1 +y2+y3=1-3y1+2y2 =4y3=经过计算，可知方经过计算，可知方程组程组不存在非负解不存在非负解。于是于是由定理由定理9，可知，可知x1*=0,y3*=0代入两不等式组得到代入两不等式组得到x2*=0,x3*=1,y1*=2/5,y2*=3/5,=0故原对策问题的最优解为故原对策问题的最优解为 x*=(0,0,1)，y*=(2/5,3/5,0)VG=+2=2。