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1、4.1 参数估计参数估计的基本概念总体均值和比例的区间估计必要样本容量的确定第1页/共93页4.1.1 参数估计的基本概念总体样本样本算术平均数算术平均数统计量用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator),其取值称为估计值（estimate)。同一个参数可以有多个不同的估计量。参数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确定的。参数第2页/共93页点估计点估计:用估计量的数值作为总体参数的估计值。一个总体参数的估计量可以有多个。例如，在估计总体方差时，和 都可以作为估计量。第3页/共93页点估计量的常用评价准则：无偏性无偏性：估计量的数学期望与总体待估参数的真值相等：P P
2、()B BA A无偏无偏有偏第4页/共93页点估计量的常用评价准则：有效性 在两个无偏估计量中方差较小的估计量较为有效。AB 的抽样分布 的抽样分布P P()第5页/共93页估计量的常用评价准则：一致性l指随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数。AB较小的样本容量较大的样本容量 P(X)X X第6页/共93页区间估计根据事先确定的置信度1-给出总体参数的一个估计范围。置信度1-的含义是：在同样的方法得到的所有置信区间中，有100(1-)%的区间包含总体参数。抽样分布是区间估计的理论基础。估计值(点估计)置信下限置信上限置信区间第7页/共93页抽样分布 Sampling Distr
3、ibution从总体中抽取一个样本量为n的随机样本，我们可以计算出统计量的一个值。如果从总体中重复抽取样本量为n的样本，就可以得到统计量的多个值。统计量的抽样分布就是这一统计量所有可能值的概率分布。第8页/共93页抽样分布：几个要点抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的分布。在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可观测的（常常被假设为正态分布）。样本数据的统计分布是可以直接观测的，最直观的方式是直方图，可以用来对总体分布进行检验。抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出，在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数可能完全不同于总体或样本数据的分布。第9页/共93页抽样分布的一个演示：重复抽样时样
4、本均值的抽样分布（1）设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。总体的均值、方差及分布如下。均值和方差总体的频数分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3第10页/共93页抽样分布的一个演示：重复抽样时样本均值的抽样分布（2）现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表.3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2 的样本（共16个）第11页/共93页抽样分布的一个演示：重复抽样时样本均值的抽
5、样分布（3）各样本的均值如下表，并给出样本均值的抽样分布x x样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P(x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.53.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）第12页/共93页所有样本均值的均值和方差1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/nM为样本数目第13页/共93页样本均值的抽样分布与总体分布的比较 =2.5 2=1.25总体分布1 14 42 23
6、30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5第14页/共93页样本均值的抽样分布 =50=50 =10=10X X总体分布n=4抽样分布Xn=16 一一般般的的，当当总总体体服服从从 N N(,2 2)时时，来来自自该该总总体体的的容容量量为为n n的的样样本本的的均均值值 X X也也服服从从正正态态分分布布，X X 的的期望为期望为，方差为，方差为2 2/n n。即。即 X XN N(,2 2/n n)。第15页/共93页f(X)f(X)X X小样本
7、中心极限定理从从均均值值为为，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样样分分布布近近似服从均值为似服从均值为、方差为、方差为2 2/n n的正态分布。的正态分布。大样本大样本(n n 30)30)第16页/共93页标准误（Standard Error）简单随机抽样、重复抽样时，样本均值抽样分布的标准差等于 ，这个指标在统计上称为标准误。统计软件在对变量进行描述统计时一般会输出这一结果。第17页/共93页有限总体校正系数Finite Population Correction Factor简
8、单随机抽样、不重复抽样时，样本均值抽样分布的方差略小于重复抽样的方差，等于 这一系数称为有限总体校正系数。当抽样比（n/N）时可以忽略有限总体校正系数。第18页/共93页4.2 总体均值和比例的区间估计第19页/共93页相关理论总体正态？n30？2 2已知？否是是否否是实际中总体方差总是未知的，因而这是应用最多的公式。在大样本时t值可以用z值来近似。根据中心极限定理得到的近似结果。未知时用s来估计。增大n？数学变换?第20页/共93页l当 时总体比例的置信区间可以使用正态分布来进行区间估计。（样本比例记为 ，总体比例记为）总体比例的置信区间第21页/共93页关于置信区间的补充说明置信区间的推导
9、：有限总体不重复抽样时，样本均值或比例的方差需要乘以“有限总体校正系数”（当抽样比f=n/N小于时可以忽略不计），前面的公式需要进行相应的修改。第22页/共93页关于置信度含义的说明样本均值的 抽样分布在所有的置信区间中，有(1-)*100%的区间包含 总体真实值。对于计算得到的一个具体区间，“这个区间包含总体真实值”这一结论有(1-)*100%的可能是正确的。说“总体均值有95%的概率落入某一区间”是不严格的，因为总体均值是非随机的。=1-/2/2X_x_x第23页/共93页Example：用SPSS进行区间估计例：儿童电视节目的赞助商希望了解儿童每周看电视的时间。下面是对100名儿童进行随
10、机调查的结果（小时）。计算平均看电视时间95%的置信区间。39.719.534.727.041.315.120.531.318.317.021.529.915.016.436.823.424.128.923.424.440.646.423.639.435.519.529.331.220.634.915.531.638.938.727.226.514.715.628.424.043.920.629.19.521.042.413.932.829.832.933.038.028.720.619.738.637.117.015.123.421.021.829.321.322.823.432.511.3
11、43.830.815.823.220.333.530.037.824.426.929.027.727.122.036.123.022.126.522.926.930.225.223.835.321.635.730.822.724.521.926.550.3第24页/共93页SPSS输出结果（数据：）操作：分析-描述统计-探索统计量标准误均值27.191.8373均值的 95%置信区间下限25.530上限28.8525%修整均值26.977中值26.500方差70.104标准差8.3728极小值9.5极大值50.3第25页/共93页总体比例的置信区间：例子解：显然有因此可以用正态分布进行估计。/
12、2结论：我们有90的把握认为悉尼青少年中每天都抽烟的青少年比例在19.55%23.85%之间。19861986年对悉尼995995名青少年的随机调查发现，有216216人每天都抽烟。试估计悉尼青少年中每天都抽烟的青少年比例的90%90%的置信区间。第26页/共93页SPSS的计算结果在SPSS中将“是否吸烟”输入为取值为1和0的属性变量，权数分别为216和779。计算这一变量均值的置信区间即为比例的置信区间。统计量标准误均值.2171.01308均值的 90%置信区间下限.1956上限.23865%修整均值.1857中值.0000方差.170标准差.41247极小值.00极大值1.00范围1.
13、00四分位距.00第27页/共93页4.3 必要样本量的计算 样本量越大抽样误差越小。由于调查成本方面的原因，在调查中我们总是希望抽取满足误差要求的最小的样本量。第28页/共93页关于抽样误差的几个概念实际抽样误差抽样平均误差最大允许误差第29页/共93页实际抽样误差样本估计值与总体真实值之间的绝对离差称为实际抽样误差。由于在实践中总体参数的真实值是未知的，因此实际抽样误差是不可知的；由于样本估计值随样本而变化，因此实际抽样误差是一个随机变量。第30页/共93页抽样平均误差抽样平均误差：样本均值的标准差，也就是前面说的标准误。它反映样本均值（或比例）与总体均值（比例）的平均差异程度。例如对简单
14、随机抽样中的样本均值有：或 （不重复抽样）我们通常说“抽样调查中可以对抽样误差进行控制”，就是指的抽样平均误差。由上面的公式可知影响抽样误差的因素包括：总体内部的差异程度；样本容量的大小；抽样的方式方法。第31页/共93页最大允许误差最大允许误差（allowable error)：在确定置信区间时样本均值（或样本比例）加减的量，一般用E来表示，等于置信区间长度的一半。在英文文献中也称为margin of error。置信区间=最大允许误差是人为确定的，是调查者在相应的置信度下可以容忍的误差水平。第32页/共93页如何确定必要样本量？必要样本量受以下几个因素的影响：1、总体标准差。总体的变异程度
15、越大，必要样本量也就越大。2、最大允许误差。最大允许误差越大，需要的样本量越小。3、置信度1-。要求的置信度越高，需要的样本量越大。4、抽样方式。其它条件相同，在重复抽样、不重复抽样；简单随机抽样与分层抽样等不同抽样方式下要求的必要样本容量也不同。第33页/共93页简单随机抽样下估计总体均值时样本容量的确定l式中的总体方差可以通过以下方式估计：l根据历史资料确定l通过试验性调查估计第34页/共93页简单随机抽样下估计总体比例时样本容量的确定l式中的总体比例可以通过以下方式估计：l根据历史资料确定l通过试验性调查估计l取为。第35页/共93页不重复抽样时的必要样本量比重复抽样时的必要样本量要小。
16、式中n0是重复抽样时的必要样本容量。第36页/共93页样本量的确定（实例1）需要多大规模的样本才能在 90%的置信水平上保证均值的误差在 5 之内?前期研究表明总体标准差为 45.nZE=222222(1645)(45)(5)219.2 220.向上取整第37页/共93页样本量的确定（实例2）一家市场调研公司想估计某地区有电脑的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不超过，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计值）？解:已知E，Z/2，当未知时取为。第38页/共93页实例3你在美林证券公司的人力资源部工作。你计划在员工中进行调查以求出他们的平均医疗支出。你希望有
17、95%置信度使得样本均值的误差在$50 以内。过去的研究表明 约为$400。需要多大的样本容量?nZE=222222(196)(400)(50)24586246.第39页/共93页4.2 假设检验假设检验4.2.1 假设检验的基本问题4.2.2 单个总体参数的检验4.2.3 两个总体参数的检验第40页/共93页4.2.1 假设检验的基本问题基本原理零假设和备择假设检验统计量和拒绝域两类错误与显著性水平第41页/共93页实际中的假设检验问题假设检验:事先作出关于总体参数、分布形式、相互关系等的命题（假设），然后通过样本信息来判断该命题是否成立（检验）。l产品自动生产线工作是否正常？l某种新生产方
18、法是否会降低产品成本？l治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高？l厂商声称产品质量符合标准，是否可信？l 第42页/共93页案例美国劳工局公布的数字表明，1998年11月美国的平均失业时间为周。在费城市市长的要求下进行的一项研究调查了50名失业者，平均失业时间为周。根据调查结果能否认为费城的平均失业时间高于全国平均水平？澳大利亚统计局公布的2003年第一季度失业率为6.1%。而Roy Morgan公司在调查了14656名14岁以上的居民以后得到的失业率为7.8%。你认为Roy Morgan的结果显著高于统计局的数字吗？第43页/共93页假设检验的基本原理利用假设检验进行推断的基本原理是：小概率事件
19、在一次试验中几乎不会发生。如果对总体的某种假设是真实的（例如学生上课平均出勤率95%），那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件，例如样本出勤率=55%）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了（样本出勤率=55%），就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝提出的假设。第44页/共93页假设检验的步骤根据实际问题提出一对假设（零假设和备择假设）；构造某个适当的检验统计量，并确定其在零假设成立时的分布；根据观测的样本计算检验统计量的值；根据犯第一类错误的损失规定显著性水平；确定决策规则：根据确定检验统计量的临界值并进而给出拒绝域，或者计算p值等；下结论：根据决策规则得出拒绝或不
20、能拒绝零假设的结论。注意“不能拒绝零假设”不同于“接受零假设”。第45页/共93页1、零假设和备择假设的选择零假设和备择假设是互斥的，它们中仅有一个正确；等号必须出现在零假设中；最常用的有三种情况：双侧检验、左侧检验和右侧检验。检验以“假定零假设为真”开始，如果得到矛盾说明备择假设正确。双侧检验 左侧检验 右侧检验H0=0 0 0H1 0 0第46页/共93页单侧检验时零假设和备择假设的选择通常把研究者要证明的假设作为备择假设；将所作出的声明作为原假设；把现状（Status Quo）作为原假设；把不能轻易否定的假设作为原假设；第47页/共93页零假设和备择假设：把研究者要证明的假设作为备择假设
21、某种汽车原来平均每加仑汽油可以行驶24英里。研究小组提出了一种新工艺来提高每加仑汽油的行驶里程。为了检验新的工艺是否有效需要生产了一些产品进行测试。该测试中的零假设和备择假设该如何选取？要证明的结论是24，因此零假设和备择假设的选择为：24 24第48页/共93页零假设和备择假设：检验一种声明是否正确某种减肥产品的广告中声称使用其产品平均每周可减轻体重8公斤以上。要检验这种声明是否正确你会如何设定零假设和备择假设？l没有充分的证据不能轻易否定厂家的声明，因此一般将所作出的声明作为原假设。l零假设和备择假设的一般选择为：8 Z /2时拒绝零假设，否则不能拒绝零假设。l本例中统计量的观测值等于，因
22、此结论是拒绝零假设，认为平均抗拉力有显著变化。统计量的观测值等于H0 =0 0H1 0 0第58页/共93页p值也称为观测到的显著性水平,是能拒绝H0 的的最小值，（2）根据p值进行假设检验：双侧检验/2拒绝拒绝0Z1/2 p-值1/2 p-值 决策规则：p值 t 时拒绝零假设，否则不能拒绝零假设。l本例中统计量的观测值等于，拒绝零假设。H0 0 0H1 0 0（1）根据z值（或t值）进行右侧检验第63页/共93页（2）根据p值进行假设检验：右侧检验0t拒绝p-值 决策规则：p值 时 拒绝 H0。例中p值等于0.01083(Excel计算）。t 第64页/共93页左侧检验问题一家公司付给生产一
23、线雇员的平均工资是每小时元。公司最近准备选一个新的城市建子公司，备选的城市有几个，能获得每小时工资低于元的劳动力是公司选择城市的主要因素。从备选的某城市抽取40名工人，样本数据的结果是：平均工资是每小时元，样本标准差是元。请在的显著性水平下分析样本数据是否说明该城市工人的平均每小时工资显著低于元。第65页/共93页3、左侧检验问题解：根据题意（由于是大样本，本题也可以用Z统计量近似计算），观测到的统计量的值等于第66页/共93页0 0-t Z,tZ,t拒绝域接受域1-1-统计量的观测值等于l决策规则：t obs-t 时拒绝零假设，否则不能拒绝零假设。l本例中统计量的观测值等于。H0 0H1 0
24、（1）根据z值（或t值）进行左侧检验第67页/共93页（2）根据p值进行左侧检验0 0t t拒绝p-值 决策规则：p值 时 拒绝 H0。本例中p值等于0593(Excel计算）。t 第68页/共93页4 总体比例的检验 l构造检验统计量(np0 5,n(1-p0)5)l决策规则：同均值的决策规则，可以使用Z值、p值或置信区间进行双侧、左侧或右侧检验。第69页/共93页案例澳大利亚统计局公布的2003年第一季度失业率为6.1%。而Roy Morgan公司在调查了14656名14岁以上的居民以后得到的失业率为7.8%。你认为Roy Morgan的结果显著高于统计局的数字吗？=0.01.第70页/共
25、93页右侧检验解：根据题意，显然有np0 5,n(1-p0)5.观测到的z统计量的值等于检验的结论是拒绝零假设。第71页/共93页案例美国劳工局公布的数字表明，1998年11月美国的平均失业时间为周。在费城市市长的要求下进行的一项研究调查了50名失业者。根据调查结果能否认为费城的平均失业时间高于全国平均水平？。（用SPSS Statistics求解）【数据文件：失业时间.xls】第72页/共93页描述统计结果(SPSS Statistics)第73页/共93页假设检验结果(SPSS Statistics)单个样本检验单个样本检验检验值=14.6 tdfSig.(双侧)均值差值差分的 95%置信
26、区间下限上限weeks.67049.506.940-1.883.76双侧检验的p值。如果需要做单侧检验，相应的p值一般等这一数值除以2。这里做右侧检验，p值等于，因而不能拒绝原假设。第74页/共93页4.2.3 两个总体均值差异的假设检验 1、独立样本的假设检验2、两个匹配样本的假设检验第75页/共93页1、两个独立样本的假设检验与一个总体的情况类似，两个总体均值假设检验中的备择假设一般有以下三种情况：第76页/共93页两个总体均值的比较：检验统计量的选择总体正态？大样本？方差已知？否是是否否是增大n;数学变换等。方差相等？否是第77页/共93页两个总体均值的比较在应用中可能需根据样本数据对总
27、体的正态性进行检验。（非参数检验一章讲解）在实际应用中，总体方差一般是未知的，因而统计软件中普遍使用t检验。两个总体方差相等和不相等时，t统计量的计算公式不同。因此，检验两个总体的均值是否相等时，需要先检验两个总体的方差是否相等！第78页/共93页（1）两个总体方差是否相等的检验在SPSS Statistics 中，检验两个总体均值是否相等时，会同时检验两个总体的方差是否相等。SPSS Statistics 使用的是Levene 检验。根据F 统计量相应的p值进行决策：pa时拒绝零假设。（原假设为两个总体方差相等）第79页/共93页l检验统计量：l其中l决策规则与单个总体t检验的决策规则相同，
28、可以使用t值、p值或置信区间进行双侧、左侧或右侧检验。（2）两正态总体，方差未知但相等第80页/共93页l检验统计量：l自由度为l决策规则与单个总体t检验的决策规则相同，可以使用t值、p值或置信区间进行双侧、左侧或右侧检验。（3）两正态总体，方差未知且不相等第81页/共93页实例某农业研究所研制出一种新的化肥，现要研究施肥土地的小麦产量是否比不施肥土地的小麦产量有显著提高，随机抽取几块土地进行试验。选10快试验田不施肥，结果最后的每亩产量数据为（单位：公斤）：172、158、186、214、224、228、196、190、202、170。另选8块试验田施肥，结果最后的每亩产量数据为：252、2
29、04、234、246、222、210、244、212。试检验施肥和不施肥的平均亩产量有无显著差异（）。第82页/共93页解将整理好的数据输入SPSS。注意按两个变量输入，一个变量为亩产，一个变量为施肥情况(1=是，0=否），共有18个观测。在SPSS Statistics中选择两个独立样本的t检验，进行相应设定，结果如下。第83页/共93页方差是否相等的检验p值，不能拒绝方差相等的原假设。在方差相等时下面一行的输出结果无效。在方差不相等时上面一行的输出结果无效。第84页/共93页均值是否相等的检验p值，拒绝均值相等的原假设。第85页/共93页2、两个总体均值差异的检验（匹配样本）如果两个样本是
30、非独立的匹配样本（paired-sample)，即两个样本中的数据是一一对应的，这时对两个总体的均值的比较，就是对两个样本对应数据之差的检验。第86页/共93页一个例子某市场研究公司公司调查了10个人在广告播出前后的购买潜力等级分值，分数越高说明购买潜力越高。试检验广告是否有明显效果？显著性水平。个体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 广告后 6 6 7 4 3 9 7 6 5 6 6 7 4 3 9 7 6 5 6 6 广告前 5 4 7 3 5 8 5 6 4 5 4 7 3 5 8 5 6 4 6 6第87页/共93页匹配样本用表示第i个匹
31、配个体观测结果的差，i=1,n记如果两种方法所需费用都服从正态分布，则可构造检验统计量如下：决策规则同一个总体的t检验。第88页/共93页案例 个体广告后广告前d 1651264237704431535-2698177528660954110660计算表明，均值，标准差。第89页/共93页SPSS Statistics 输出结果右侧检验时相应的p值等于，因此检验的结论是不能拒绝原假设。第90页/共93页小结（1）（1）根据总体是否正态、总体方差是否已知和样本容量的大小，计算总体均值的置信区间有不同的公式。最常用的公式为（2）在 时总体比例的置信区间为（3）必要样本容量的计算公式：第91页/共93页小结（2）理解假设检验的小概率原则掌握确定零假设的方法掌握一个总体均值和比例的检验方法掌握两个总体均值的检验方法（独立样本和匹配样本）理解假设检验中p值及计算方法了解用SPSS Statistics进行假设检验的操作方法，熟悉 SPSS的输出结果。第92页/共93页中央财经大学统计学院 93感谢您的观看！第93页/共93页