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1、高等数学第一章函数极限现在学习的是第1页，共41页一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放现在学习的是第2页，共41页通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接无限接近近”.现在学习的是第3页，共41页现在学习的是第4页，共41页2.另两种情形另两种情形:现在学习的是第5页，共41页3.几何解释几何解释:现在学习的是第6页，共41页例例1 证明证明证证故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时现在学习的是第7页，共41页现在学习的是第8页，共41页二、自变量趋向有限值时函数的极
2、限二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子 这个函数虽在这个函数虽在x=1处无处无定义，但从它的图形上定义，但从它的图形上可见，当点从可见，当点从1的左侧的左侧或右侧无限地接近于或右侧无限地接近于1时，时，f(x)的值无限地接近于的值无限地接近于4，我们称常数，我们称常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4现在学习的是第9页，共41页现在学习的是第10页，共41页现在学习的是第11页，共41页注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式定义中定义中所以所以x x0时
3、时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状态处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近附近的变化趋势，即的变化趋势，即 x x0时时f(x)变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定。约定x x0但但 xx0现在学习的是第12页，共41页0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式|f(x)A|来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小
4、越小2.几何解释几何解释:现在学习的是第13页，共41页例例2 证明证明证证于是于是恒有恒有例例3 设设x00 证明证明现在学习的是第14页，共41页证证恒有恒有例例4 证明证明证证（不妨设（不妨设1）现在学习的是第15页，共41页现在学习的是第16页，共41页例例5 证明证明证证不妨设不妨设现在学习的是第17页，共41页注注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察的附近考察问题的，对于问题的，对于
5、“附近附近”应如何理解，请揣摩一下。应如何理解，请揣摩一下。现在学习的是第18页，共41页3.单侧极限单侧极限:例如例如,现在学习的是第19页，共41页左极限左极限右极限右极限现在学习的是第20页，共41页例例6证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,现在学习的是第21页，共41页三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性3.不等式性质（局部）不等式性质（局部）定理定理(保序性保序性)现在学习的是第22页，共41页推论推论定理定理(保号性保号性)推论推论现在学习的是第23页，共41页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关
6、系)定义定义定理定理现在学习的是第24页，共41页证证现在学习的是第25页，共41页例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在都存在,且相等且相等.Heine定理，又称归并原则现在学习的是第26页，共41页即即证明证明设设即即恒有恒有再由再由则对上述则对上述有有又又故故现在学习的是第27页，共41页设对设对都有都有要证要证用反证法用反证法若若即即但但现取现取有有满足满足即即但但此与此与矛盾矛盾现在学习的是第28页，共41页例例7证证二者不相等二者不相等,现在学习的是第29页，共41页四、小
7、结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)现在学习的是第30页，共41页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 现在学习的是第31页，共41页思考题思考题现在学习的是第32页，共41页思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.现在学习的是第33页，共41页练练 习习 题题一、填空题一、填空题:现在学习的是第34页，共41页现在学习的是第35页，共41页练习题答案练习题答案现在学习的是第36页，共41页现在学习的是第37页，共41页现在学习的是第38页，共41页现在学习的是第39页，共41页现在学习的是第40页，共41页现在学习的是第41页，共41页