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1、自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型第1页，此课件共82页哦第一章第一章 总结总结1.自动控制系统定义自动控制系统定义2.开环和闭环控制区别开环和闭环控制区别3 反馈（闭环）控制系统组成反馈（闭环）控制系统组成4 控制系统要求及其关系控制系统要求及其关系第2页，此课件共82页哦第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章重点掌握内容：本章重点掌握内容：1 电路系统的微分方程和传递函数电路系统的微分方程和传递函数2 结构图的化简结构图的化简3 由信号流图得出系统的传递函数由信号流图得出系统的传递函数4 典型环节及其阶跃信号响应典型环节及其阶跃信号响应第3页，此课件共82页哦控制
2、系统控制系统时域：微分方程时域：微分方程复域：传递函数复域：传递函数频域：频率特性频域：频率特性2.1 引言引言知识体系知识体系描述描述分析分析时域中分析时域中分析复域中分析复域中分析频域中分析频域中分析评价系统的性能评价系统的性能:稳定性稳定性快速性快速性(动态性能动态性能)准确性准确性(稳态性能稳态性能)校正系统校正系统第4页，此课件共82页哦2.1 引言引言数学模型数学模型:描述系统各变量之间相互关系的数学表达式描述系统各变量之间相互关系的数学表达式.微分方程与时域模型微分方程与时域模型：描述各变量间最基本的数学工具就是微分方程。这：描述各变量间最基本的数学工具就是微分方程。这种在时间域
3、上建立的数学关系称为时域模型。种在时间域上建立的数学关系称为时域模型。复频域模型复频域模型：对于线性定常系统，可以利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，：对于线性定常系统，可以利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，将时域模型转换为复频域模型。将时域模型转换为复频域模型。无论是时域模型还是复频域模型，只要描述的是系统外部输入量和输出量无论是时域模型还是复频域模型，只要描述的是系统外部输入量和输出量之间的数学关系，就称其为之间的数学关系，就称其为输入输入-输出模型输出模型。本章重点本章重点：建立控制系统的微分方程模型建立控制系统的微分方程模型 传递函数模型传递函数模型 结构图模型以及信号流图模型结构图模型以及信号
4、流图模型 第5页，此课件共82页哦2.1 引言引言几种模型间的关系几种模型间的关系微分方程微分方程时域时域(t)传递函数传递函数复数域复数域(s)频率特性频率特性频域频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=j j =s系统系统 第6页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程线性定常系统为本书主要研究的系统。线性定常系统为本书主要研究的系统。线性系统线性系统：满足线性叠加原理。：满足线性叠加原理。直观地看：系统直观地看：系统输入值与输出值的函数波形不变化。输入值与输出值的函数波形不变化。本节要点本节要点：线性元件的微分方程，非线性微分方程的：线性元件的微分方程，非线性微分方
5、程的线性化，线性系统微分方程的编写线性化，线性系统微分方程的编写线性叠加原理线性叠加原理输入激励：输入激励：u1(t),u2(t),对应输出响应：对应输出响应：y1(t),y2(t)有：若输入有：若输入 u1(t)+u2(t),则输出响应：则输出响应：y1(t)+y2(t)第7页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程列写物理系统的微分方程步骤：列写物理系统的微分方程步骤：(1)(1)定义系统及其组成元件，确定各元件的定义系统及其组成元件，确定各元件的输入量输入量和和输出量输出量，确定，确定系统的系统的输入量、中间变量和输出量输入量、中间变量和输出量。(2)(2)确定必要的假设条
6、件。确定必要的假设条件。(3)(3)根据系统自身的物理根据系统自身的物理规律规律列写各组成元件的原始方程。列写各组成元件的原始方程。(4)(4)消去中间变量建立系统描述消去中间变量建立系统描述输出量输出量与与输入量输入量之间关系的微分方程。之间关系的微分方程。(5)(5)若是线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列若是线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列 输出量有关各项输出量有关各项=方程左边方程左边 输入量有关各项输入量有关各项=方程右边方程右边 若为非线性方程，线性化处理。若为非线性方程，线性化处理。第8页，此课件共82页哦输入输入输出输出例例2-1 列写列写RLC串联电路的微分方程，输串
7、联电路的微分方程，输入入ui(t)，输出，输出u0(t)消去消去i(t)，得到：，得到：RLC串联电路串联电路物理规律：物理规律：基尔霍夫定律基尔霍夫定律电压定律电压定律能量守恒定律能量守恒定律第9页，此课件共82页哦弹簧-质量-阻尼器系统例例2-2 列写如图所示弹簧、质列写如图所示弹簧、质量、阻尼器系统的微分方程，量、阻尼器系统的微分方程，输入输入F(t)，输出，输出 y(t)。物理规律：牛顿第二定理物理规律：牛顿第二定理第10页，此课件共82页哦负载的转负载的转动惯量动惯量黏性阻黏性阻尼系数尼系数扭转弹扭转弹性系数性系数输出输出 输入输入机械转动系统例例2-3 考虑右图的机械传动系考虑右图
8、的机械传动系统，输入为外加转矩统，输入为外加转矩M(t)，输，输出为转角出为转角(t)。物理规律：转动系统牛顿定律物理规律：转动系统牛顿定律第11页，此课件共82页哦液位系统液位系统例例2-5 考虑右图的液位系统，考虑右图的液位系统，贮贮罐排放泵排放流量罐排放泵排放流量Q0为恒值，为恒值，输入进液量输入进液量Qi(t)，输出，输出h(t)。物理规律：流量平衡关系物理规律：流量平衡关系流量流量=横截面积横截面积x高度的变化量高度的变化量正位移泵输出量恒定，正位移泵输出量恒定，与罐内液面高度无关。与罐内液面高度无关。Q0为常量。为常量。第12页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程
9、 线性与非线性特性：线性与非线性特性：绝大多数物理系统在某些工作范围内为线性特性。绝大多数物理系统在某些工作范围内为线性特性。当工作范围扩大或不加限制时，系统都会呈现为非线性当工作范围扩大或不加限制时，系统都会呈现为非线性特性，数学模型为非线性微分方程。特性，数学模型为非线性微分方程。如：弹簧受力过大、电阻承受电压或电流过大。如：弹簧受力过大、电阻承受电压或电流过大。非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化：增量化的微分方程增量化的微分方程在工作点附近足够小的范围内考虑输入增量和输出增量在工作点附近足够小的范围内考虑输入增量和输出增量间的变化关系，可用在工作点附近用过该点的小范围的间的变化
10、关系，可用在工作点附近用过该点的小范围的切线来进行研究。切线来进行研究。2.2.3 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化第13页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程线性化线性化：泰勒级数展开，要求：工作点附近连续可微：泰勒级数展开，要求：工作点附近连续可微第14页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程在大多数情况下，控制系统在工在大多数情况下，控制系统在工作点附近非线性程度是不严重，作点附近非线性程度是不严重，因此，这种工作点附近的小偏差因此，这种工作点附近的小偏差线性化方法对于基于偏差产生控线性化方法对于基于偏差产生控制作用的反馈控制系统来说是可制作
11、用的反馈控制系统来说是可行的。行的。注意注意：工作点附近连续可微工作点附近连续可微工作点的非线性严重程工作点的非线性严重程度影响效果度影响效果工作点不同，工作点不同，K K值不同值不同 多变量方法类似。多变量方法类似。第15页，此课件共82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程横截面积为横截面积为C的贮罐液位系统的贮罐液位系统 流入量：流入量：Qi(t),流出量：流出量：Q0(t)液位高度：液位高度：h(t).液体流量变化的平衡关系得：液体流量变化的平衡关系得：由流体力学可知由流体力学可知 （是出料阀的节流系数，是出料阀的节流系数，S S为出料阀流通面积）为出料阀流通面积）第16页，此课件共
12、82页哦2.2 系统的微分方程系统的微分方程非线性的部分：非线性的部分：设工作在设工作在(S0,h0)：第17页，此课件共82页哦编写原则：编写原则：分解分解：先从工作原理入手划分控制系统的各组成环节，：先从工作原理入手划分控制系统的各组成环节，并列写它们的原始微分方程；若原始方程为非线性方程，并列写它们的原始微分方程；若原始方程为非线性方程，则需要线性化处理分为各个环节，先写各环节的微分方则需要线性化处理分为各个环节，先写各环节的微分方程（变复杂为简单）。程（变复杂为简单）。合并合并：消去中间变量合并方程，按一定的形式（如标准：消去中间变量合并方程，按一定的形式（如标准形式）整理得出描述控制
13、系统被控输出量与参考输入量形式）整理得出描述控制系统被控输出量与参考输入量和扰动输入量之间动态特性的线性微分方程和扰动输入量之间动态特性的线性微分方程。以转速自动控制系统为例。以转速自动控制系统为例。2.2 系统的微分方程系统的微分方程2.2.4 控制系统的微分方程控制系统的微分方程第18页，此课件共82页哦参考输入：参考输入：ur输出量：输出量：扰动量：扰动量：Mc测量反馈：测量反馈：Uf转速控制系统第19页，此课件共82页哦转速控制系统（1 1）比较元件）比较元件 （2 2）控制器）控制器 运算放大器运算放大器I I：运算放大器运算放大器IIII：（3 3）执行机构（功率放大器）执行机构（
14、功率放大器）第20页，此课件共82页哦（4 4）被控对象（电动机）被控对象（电动机）（5 5）测量装置）测量装置 消去中间变量，合并得：消去中间变量，合并得：转速控制系统第21页，此课件共82页哦转速控制系统若若Mc(t)为常量：为常量：若若ur(t)为常量：为常量：第22页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数 “三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程微分方程时域时域(t)传递函数传递函数复数域复数域(s)频率特性频率特性频域频域()L(s)L-1(s)F()F-1()s=j j =s系统系统 第23页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数2.3.1 线性系统传递函数的概
15、念和定义线性系统传递函数的概念和定义第24页，此课件共82页哦系统传递函数定义：在零初始条件下，系统系统传递函数定义：在零初始条件下，系统输出变量输出变量的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换与与输入变量的拉普拉斯变换输入变量的拉普拉斯变换之比。之比。2.3 传递函数传递函数零初始条件下，各阶导数在零时刻都为零初始条件下，各阶导数在零时刻都为0,0,有：有：第25页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数说明：说明：（1）传递函数是对线性定常微分方程求拉普拉斯变换得到的，因此，传递函数表达）传递函数是对线性定常微分方程求拉普拉斯变换得到的，因此，传递函数表达式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的系
16、数相对应，取决于系统的式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的系数相对应，取决于系统的结构和参数。结构和参数。（2）若传递函数的分母多项式中的最高次为）若传递函数的分母多项式中的最高次为n，则称系统为，则称系统为n阶系统。实际物理阶系统。实际物理系统不可避免的含有惯性元件，并受到能源功率的限制，系统传递函系统不可避免的含有惯性元件，并受到能源功率的限制，系统传递函数中分母多项式的阶数数中分母多项式的阶数n总是大或等于分子多项式的阶数总是大或等于分子多项式的阶数m，即，即 n m。换句话说，实际系统的传递函数一定是真有理函数。换句话说，实际系统的传递函数一定是真有理函数。（3 3）一个传递函数
17、只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单输入、单输出的一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单输入、单输出的关系。对于多输入、多输出情况，一般需要采用传递矩阵来表示。关系。对于多输入、多输出情况，一般需要采用传递矩阵来表示。第26页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数零、极点表示的形式零、极点表示的形式 2.3.2 传递函数的常用表现形式传递函数的常用表现形式第27页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数时间常数表示的形式时间常数表示的形式 第28页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数若考虑有若考虑有v个等于个等于0的极点情况，并划分实数零、极点的极点情况，并划
18、分实数零、极点和共轭复数零、极点时，和共轭复数零、极点时，便于确定随动系统的稳态误差系数，也便于在求解系统的响应时，研究便于确定随动系统的稳态误差系数，也便于在求解系统的响应时，研究引起振荡响应的共轭极点对。引起振荡响应的共轭极点对。第29页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数2.3.3 典型输入信号及其拉普拉斯变换典型输入信号及其拉普拉斯变换单位阶跃函数单位阶跃函数 单位斜坡函数单位斜坡函数第30页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数单位抛物线函数单位抛物线函数 单位脉冲函数，单位脉冲函数，-函数函数 -函数的强度，也称单位脉冲函函数的强度，也称单位脉冲函数的冲量定义为数的冲量定
19、义为:第31页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数:线性定常系统在单位脉冲输入信号线性定常系统在单位脉冲输入信号激励下的输出响应，通常用激励下的输出响应，通常用g(t)表示。表示。2.3.4 单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数第32页，此课件共82页哦2.3 传递函数传递函数单位脉冲相应函数单位脉冲相应函数g(t)与传递函数的关系：与传递函数的关系：用途：用途：单位脉冲响应是线性定常系统的数学模型；单位脉冲响应是线性定常系统的数学模型；基于卷积定理来描述系统输出的时域函数；基于卷积定理来描述系统输出的时域函数；第33页，此课件共82页哦典型环节典型环节：比例
20、环节比例环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节 微分环节微分环节 振荡环节振荡环节 延迟环节延迟环节2.3 传递函数传递函数2.3.6 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数第34页，此课件共82页哦特点特点：输出量按一定比例复现输入量，成正比。输出量按一定比例复现输入量，成正比。线性方程线性方程：y(t)=Ku(t)，K为比例系数或者传递系数。为比例系数或者传递系数。传递函数传递函数：比例环节比例环节K=R2/R1第35页，此课件共82页哦特点特点：输出量的：输出量的变化速度变化速度和和输入量输入量成正比。成正比。积分方程积分方程：传递函数传递函数：（：（K为比例系数，为比例系数，T为时
21、间常数）为时间常数）积分环节积分环节 第36页，此课件共82页哦环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。出不能立即复现，存在时间上的延迟。传递函数：传递函数：惯性环节惯性环节微分方程：微分方程：第37页，此课件共82页哦特点特点：含两个独立的储能元件，当输入量变化时，两个储能：含两个独立的储能元件，当输入量变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。微分方程微分方程：其中，其中，阻尼比阻尼比00 1num1=7,1;%输入输入G1分子系数
22、分子系数den1=1,3,5;%输入输入G1分母系数分母系数num2=1;%输入输入G2分子系数分子系数den2=conv(1,2,3,1,1);%输入两个多项式因子的乘积作为输入两个多项式因子的乘积作为 G2分分母系数母系数G1=tf(num1,den1);G2=tf(num2,den2);%输入两个传递函数输入两个传递函数第72页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真Gzp1=zpk(G1);Gzp2=zpk(G2);%求零极点形式求零极点形式nums,dens=series(num1,den1,num2,den2);%将两个传递函数串联方法一将两个传递函数
23、串联方法一Gs=G1*G2;%将两个传递函数串联方法二将两个传递函数串联方法二第73页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真nump,denp=parallel(num1,den1,num2,den2);%将两个传递函数并联方法一将两个传递函数并联方法一Gp=G1+G2;%将两个传递函数并联方法二将两个传递函数并联方法二Gf=feedack(G1,G2,-1);%反馈连接反馈连接,负反馈为负反馈为-1，正反馈为，正反馈为+1第74页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真2.7.2 求解系统的输出响应求解系统的输出响应（1）根据系统
24、输出响应函数方程直接计算响应值，然后调用绘图指令绘）根据系统输出响应函数方程直接计算响应值，然后调用绘图指令绘制响应结果曲线；制响应结果曲线；（2）可直接调用求解相应输入激励下的系统输出响应的函数，如：）可直接调用求解相应输入激励下的系统输出响应的函数，如：impulse(),step()和和lsim()。绘图的目的就是显示计算和分析结果。绘图的目的就是显示计算和分析结果。第75页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真例例2-18 考虑二阶系统的拉普拉斯变换为：考虑二阶系统的拉普拉斯变换为：其中，其中，n=1。求：系。求：系统统分分别别在在=0,0.2,0.6,
25、1.2时时的的单单位脉冲响位脉冲响应应和和单单位位阶跃阶跃响响应应。1）在求解系统的单位脉冲响应时，先求得单位脉冲响应表达式，然后）在求解系统的单位脉冲响应时，先求得单位脉冲响应表达式，然后调用绘图指令绘制响应结果曲线。调用绘图指令绘制响应结果曲线。第76页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真根据（根据（2.156）建立一个）建立一个M文件文件ex2_18.m。运行结果。运行结果如图如图2-39所示：所示：第77页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真2）直接调用求解系统单位阶跃响的函数）直接调用求解系统单位阶跃响的函数step
26、()在屏幕上直接输入代码在屏幕上直接输入代码：clear%清除变量清除变量clc%清屏清屏t=0:0.02:30;%给出绘图时刻给出绘图时刻zeta=0,0.2,0.6,1,2;%给出阻尼系数给出阻尼系数for i=1:length(zeta)num=1;den=1,2*zeta(i),1;y(:,i)=step(num,den,t);%求其脉冲响应求其脉冲响应endplot(t,y)%画出图形画出图形xlabel(Time/(sec);%标注标注x轴轴ylabel(y(t)/(m);%标注标注y轴轴第78页，此课件共82页哦2.7 利用利用MATLAB的建模和仿真的建模和仿真title(Th
27、e step Response of Two Order System);%对图命名对图命名for i=1:length(zeta)%标注曲线标注曲线text(3.5,y(170,i),leftarrowzeta=,num2str(zeta(i);endgrid on%显示网格显示网格运行结果运行结果如图如图2-40所示：所示：第79页，此课件共82页哦1.1.微分方程微分方程的建立的建立 微分方程是描述物理系统动态特性的数学模型，适合用于描述机械系统、微分方程是描述物理系统动态特性的数学模型，适合用于描述机械系统、电气系统、流体系统以及热力学系统等物理系统的输入输出特性。因直接利用电气系统、
28、流体系统以及热力学系统等物理系统的输入输出特性。因直接利用系统自身的物理规律在时域内建立各物理量之间的数学关系，故微分方程属于系统自身的物理规律在时域内建立各物理量之间的数学关系，故微分方程属于时域模型时域模型。2.2.微分方程的线性化、增量化微分方程的线性化、增量化和无和无因次化因次化 在小偏差的情况下研究非线系统的动态特性，在非线性微分方程在在小偏差的情况下研究非线系统的动态特性，在非线性微分方程在平衡点附近线性化。无因次化是突出共性的表示方法，便于研究系统平衡点附近线性化。无因次化是突出共性的表示方法，便于研究系统本质，在共同标准下比较不同系统。本质，在共同标准下比较不同系统。3.3.线
29、性定常系统的数学模型线性定常系统的数学模型 线性定常微分方程，传递函数，单位脉冲响应函数，结构图，信线性定常微分方程，传递函数，单位脉冲响应函数，结构图，信号流图以及相变量状态空间模型均为线性定常系统的数学模型。各模号流图以及相变量状态空间模型均为线性定常系统的数学模型。各模型各有特点和优势，模型间可相互转换。型各有特点和优势，模型间可相互转换。2.8 小结小结第80页，此课件共82页哦2.8 小结小结4.4.反馈控制系统的数学模型反馈控制系统的数学模型 将系统各部分元件或者环节的输入将系统各部分元件或者环节的输入-输出模型结合起来，通过消除输出模型结合起来，通过消除相关中间变量所获得的整个系
30、统的输入相关中间变量所获得的整个系统的输入-输出数学模型。输出数学模型。结构图结构图和信号流图和信号流图是推导和化简系统的有效工具。是推导和化简系统的有效工具。5.输入输入-输出模型与状态空间模型的变换输出模型与状态空间模型的变换 状态空间模型：包含系统外部输入量与内部状态变量之间的关系，状态空间模型：包含系统外部输入量与内部状态变量之间的关系，内部状态变量与外部输出量之间的关系。传递函数仅仅描述输入内部状态变量与外部输出量之间的关系。传递函数仅仅描述输入量和输出量之间的关系。量和输出量之间的关系。6.求解系统响应的方法求解系统响应的方法 拉普拉斯变换法，拉普拉斯变换法，MATLAB仿真。仿真。第81页，此课件共82页哦本章结束！本章结束！第82页，此课件共82页哦