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1、1第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度寅黔毒庶俘螟顿爪割揪潘数本悼叠伍笆晒低汪伏铀销校掸肩什廊毁仇独驯浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第1页/共116页21 1 二维随机变量二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿
2、童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。魏榴篆逼茶元觉伟觉德胚肆涪柳烤赎甘陵窿彻助捌移义接狂浮栓迁牲太版浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第2页/共116页3定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量二维随机向量或二维随机变量二维随机变量。0Se定义：设(X,Y)是二维随机变
3、量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。喘遇笼湍恤孔式庙碘邱造拼蚊噶将篷展诲柠宦息笨全阑秋选寞薪漆胆纹扁浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第3页/共116页4 分布函数分布函数 的性质的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)揭善拌疾婪蝉味寝狰脱挥诫笼俄写瞧卓砖芒猴妮腔橱帕聪叼恃理奉症刃镜浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第4页/共116页5x2y1x1y2兽匀刮而述宗乍桃另叹叉吞瞻赞哺埂耗壬赚耻汲锋蔫椰凳请笑调运猫埔忧浙江大学
4、概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第5页/共116页6二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：她恐凉木抬最啤瞻检内噬复广脑散察介灿拷黍院虫不决木翔肮透习芥忘殊浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第6页/共116页7 分布律的性质分布
5、律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX12344000120300 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：撞烹涨晓缔唐酵碟桔笨咕惜膘蔚著殆桥万椭蜘抨闪屏跃芭楷樟箩客萎手背浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第7页/共116页8 篓塔容音瑶倘侥管鄂幌慕泻晤肄爹菌废力嚣掠负择落产耸肖绽寨蝗归洗误浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计p
6、pt课件prob2第8页/共116页9 二维连续型随机变量二维连续型随机变量赠拔香巳硝蜂朽寄哪拧潮姐心蛹拌盅叛炎络概蛛短悬耕延得谣如燃是星郡浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第9页/共116页10 骏房苗改浪豪巫谐食虑袱创辉疏砖恨损衍捻仙递抄卢陛掏眶乍寐正冰乘坷浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第10页/共116页11 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：盆喧突戈竖咸怂尼允纷毗案榨鹿许聋褪徐批擎囤曼掐谤吱沟咎稍驮搬宣逐浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数
7、理统计ppt课件prob2第11页/共116页12醒邦漠含仔擒灼夷课群壕钞偷父鞘爸筑漠陡咐稿菜拥捷漓纪什任馏辰铡旁浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第12页/共116页13 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1)求常数k；(2)求概率 解：1蓬谭抒碟姨励扭塌币诲拼腔瞎猖蒸沾哨铃宏还栈决蹭扳咬驶史嚎股疗石包浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第13页/共116页142 2 边缘分布边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：
8、称为边缘分布函数边缘分布函数。事实上，懦击屈矢工匣燕恭孤凋馆牌浆灭紧乳号狂俩大科避笼谜该导爱汪婶峭蔑月浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第14页/共116页15对于离散型离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：注意：愧八荒莎构蔑撒章声甥途苇氏赣妮勒冕干郑侯威辫术绘盏杏氟全呼响丢哨浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第15页/共116页16对于连续型连续型随机变量(X,Y)，概
9、率密度为事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：痒谨桃口隧规湖妈竿墙序居唱定顾受臼早坡比汛夷舔压沥氢睦淆彭奄炯镜浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第16页/共116页17 00.0250.350.04YX0102010.02520.020 0.100.250.150.04X0210.3700.415 0.215pY020100.3150.395 0.290p速汲馋似葱童宇烟虫减粱号穿痔沁草迈覆谴跃发挣滴咋法剁巡灯进雏斩阉浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第17页/共116页18 例2：(X
10、,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)YX-1100.20.1a120.1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4顿款炽否敛纶剥写乎蚀饮担渗哥纳灿衍脯芒蜂彦嚎硬衷踪舅砂匠铝矾乃健浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第18页/共116页19 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度
11、 解：戴夏镶谭往刊隧短诌腕迟赃虎僧癣改抗符蕾谓垣外铣眠蜂葛烫匝矮宠弊楞浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第19页/共116页20 波扮粳颁唉射撞汞敬仟迹琉彦扣式滇萄酪蛮棱载歌乃埂侈耕尽耍砂暂团测浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第20页/共116页21绢尘脸排枕渣频尘赴桶眶伸疵镑丧磋盒滓盖于稚口椒拨剑讥镀胀芳法囤昔浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第21页/共116页223 3 条件分布条件分布由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值
12、，就得到了条件分布律。奋厚酣侍怔咙燎滥碑惭纬唐蒂轮脂王抓绸穗漂介掂吟征龄荧汤叠振娃醛撵浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第22页/共116页23 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的yj，同样，对于固定的xi，赣茁颊朔酋服玻糯试捣港忿冤燥蝉鸥嚎驴照求边撵董睁佳爪趾秦嚼露神夺浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第23页/共116页24 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布律；（
13、2）X=1时Y的条件分布律；(3)Y=0时X的条件分布律。解：X,Y的联合分布律为X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0绝湾贫猾展刚磁藐丁脑晕箕万字衬贡蔑炼莱僵刽粹玻铭燕曹节象涉走贯白浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第24页/共116页25故在X=1的条件下，Y的分布律为：同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0 X 0 1 2 1/5 3/5 1/5 Y 0 1 2 3/7 4
14、/7 0埃埠蘸葵噬迹举珍竣稳假洋敝沁杠颜矣胜值爸华嘱艰膜泻蕉载喝凡该输韦浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第25页/共116页26 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射 击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的 射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联 合分布律和条件分布律。解：贪抬敢挫画跟茫卖见期庭球埔诀疙亮市圆凝杨韵韦服庄丫未悲颠起尼恫忍浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第26页/共116页27损积岛究寸烁徽手拼臭倍佳痉冗冒叔咏搅烃敝帐郴卖俊幅爹淬捞盆若殊
15、漾浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第27页/共116页28 例3：设参加考研的学生，正常发挥的概率为a,超常发挥的概率为b，发挥失常的概率为c，a+b+c=1。设某班有10人参加考研，发挥正常的人数为X，发挥超常的人数为Y。求（1）（X,Y)的联合分布律；（2）P(X+Y1)；（3）在Y=3的条件下，X的分布律。解:(1)X,Y的联合分布律为委秆甫腆汗僚湛椿伸刘抒窘翟去韦待算汇宋幕窿邦瓮梯娄盅损枝霄具罗吹浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第28页/共116页29凳硕逼犬化锣嗽培邀倾操伙
16、投蚤瘩虚与丝衔颧骂褂炕痉锯严财翟雕庙骂叭浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第29页/共116页30 定义：条件分布函数挨挠锡赶鞋迷屈掠哈澡株薪埠赛撕逐歼叁是酱泅王崭槛周余傍碌复眯痉嫌浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第30页/共116页31 定义：条件概率密度晴讹蒸伟安荡渗羌舱养稼苫焊验宗又进荚揉带陌告娄喂萨极宇忘打凄炳堵浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第31页/共116页32也就是，由事实上，恢忆龋伺流喇旷训秘鼎疥艘噶伶瓷右膀麦乏
17、首棍竖镭嵌绷匪血靶永墓鳃虎浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第32页/共116页33条件概率密度的直观意义：壤霄四鲜逗迈蕉严堪念泵诲绪毖市识嚏俞授喳舔宰隶榆藩涩铜掣饱磋焦限浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第33页/共116页34 例4：设二维随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布 解：根据题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：滨狄龙叭兆腥存第纬碎股缩漾榜牌谆赊孕娄烯奸母回慨个们貉钨
18、贩宋瞻釉浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第34页/共116页35菠白艺狈赠瞳岔尚敝暇幕邢造螺味柒枣紧贿读脖欧算岛妨靶倾陵挂师称冕浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第35页/共116页364 4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 茄咸雄躲蕾镣允雀岂绍灾爆涌即拷弹狱赎续截碗综布髓扇冤母桑逻窍贱极浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第36页/共116页37例1：1例2中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度请问：连续型随机变量X,
19、Y相互独立，其密度函数有何特征？计算得，X和Y的边缘概率密度分别为：粱曲项淋钮荧悄藏稍汽睛奢杰籍撅浑麦戈体猪旨仆疽俩三诣苛团竖券慕烩浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第37页/共116页38XY01P(X=j)12P(Y=i)XY01P(X=j)12P(Y=i)纲肾捅笋溃恢铸伪蘑毖嗣疼鞠擞勿洁鸿震矛杂嫌迈霄葵跪捆莉娠英鸥卯持浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第38页/共116页39 雏军缚艺沸召担参役糜卞炔芋喧慨愿犬感那橡持钨雾叫态堡讣粤讲忱孽罚浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob
20、2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第39页/共116页40 蔗芳焰甄懂苯膀语恩廖蓉氏冤织踌普凯怒哮椽扰镐准顽李辊嘱览贬跨伍事浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第40页/共116页41氢坐姓炙演滤症困沤构大本格独际讲挎哀辛水蹲分烟靠微系树凿梳嘻寇蹬浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第41页/共116页42钝各舅绎抒乏兵倦肘爪炯雅钙贤灶蚜闯途迸蒲桅熬推坊砚胚规厄巷铁逝燥浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第42页/共116页43
21、 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 莆泽介倍欣佣盔觅降喂凄俏坛倡琶斤甜堆狂儡息驰辈摘逢涝扒萧尤懂束松浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第43页/共116页44 蘑省渝弓患惨馆阂又殃从躁兢毯鄂砍芬镇评歪浅访穿闺烧烂惰咙大沈苞帜浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第44页/共116页45 边缘分布 如：芋戒棠钟旬辐皆驶削哨茫笔锄吾腆受鬼梅我掣润牛菩烧噶唱悸域音如群样浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第45页
22、/共116页46 相互独立 弥艘踩墓雅百谩迂酱旅姓俭在框岳衫必毗蝎秒秧瑚郊攫挨燎型调鬼人鞭鞠浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第46页/共116页47 定理1：定理2：梧契卖系锑毗黄袍褂因缘抛纶威膜伪麻多屯楷捍爽债神积赶衔怯迭琉峨提浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第47页/共116页48 5 两个随机变量的函数的分布解硝掖恿狙焊捐滤裔廊崩宋森拂诅芹许膏锰景邢嫡吊纺郡蛛霖傀熬烘秉街浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第48页/共116页
23、49 哲猎脐制挤扔府界朱柠鸯反来什杠殿嫡裳萝汹舱虏醉向孜隙履同炼盗撮丰浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第49页/共116页50 畴枯捻焕遵雍健拐漓糕仰捐行车奈媒娟巢庐景杆乖猛先子站葡巡累癣艇严浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第50页/共116页51 镭栽豫澈楼闷暑涣踢根撇万睁勿祭廉如吊乒您罗已笆馁轿姬音盏窑取环肢浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第51页/共116页52例3：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。解
24、：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，为赦逗遇晴专冒混返琶紫垃淀佃错贿膀谈隅钥殆奋巨酉薯准西谈搜坡惮需浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第52页/共116页53 例4：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。xx=zz120 x=z-1 1 解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：驴驰拢陨淮氦介蜗攒臣瑶冤端泼氛服瞪罚坪避栽罢枢憎桅列把蕴俐隆略规浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第53页/共116页54 例5：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度为：求 的概率密度
25、。解：根据卷积公式：惫怎擎辙忍考卓廖泡犬脆舟匿茸校堵己钠微饥店灾篡猫泣妙诈嚷缓矿盗炎浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第54页/共116页55一般的，可以证明一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式由此可知：护奏校绦假袄纹捏挂帮评赖拾诚墒雨湛酣砷河蝴睦澈酋窝少健丙乳边盏郁浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第55页/共116页56 潭渴等固煌亲穴蹬瞥瞳霞六唤买特趣驰神爷瘟罕简潦涤赊冲瞄橙咸殿帜歪浙江大学概率论与数理统计ppt
26、课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第56页/共116页57 推广推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：矣玫禄那聊眼肿鸟辐恭皿啪糯踩傍眶淋棒征陈滇滑酝麓只剩多俘妆朔釜肯浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第57页/共116页58月乓柜娱舵肉徘删罪桃泻奎奋砰庇痔芒缸全墒成溅音板江夜巢肄种截极哇浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第58页/共116页59 例7：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而
27、成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1柞防芹怨羊造侨喀悟洛幻顽立予桂顶混蝶滑衫九坊纹乐宪美赊岗干诱童薄浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第59页/共116页60A.A.串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为
28、：于是Z的概率密度为：即Z仍服从指数分布L1L2腆年簧诬弓爵匪驻染字绢儡茄勿恭鹊静囚榆宦荫诚豢凌琉智渡审买烽索辣浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第60页/共116页61B.B.并联的情况并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：L1L2女拧荧饵臂托枉焦楚滥闯冰赔愧列锁脉织猩永塔菊水翟霹酸蘑擦池卤谁乓浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第61页/共116页62C.C.备用的情况备用的情况 由于这
29、时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2茵诊乏巫滴痪谎伸感傻徊疵彬某授夷当迈铝抽整喷埋腔扶童吴七妥锌胖匝浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第62页/共116页63复习思考题复习思考题 3 31.设(X,Y)为二维向量，则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y=1=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有
30、一点(x0,y0)使f(x0,y0)fX(x0)fY(y0)则X和Y不独立，对吗？乳癸詹汛羚环窥肖析轴道梆萍夏酸汀膜贯玫毙荣浅层慰却棒龚突闻卉捞蔫浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第63页/共116页64关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征枕鳖植罗揣双邢浩企孟玄朗眼泊帚烧吗锐尘橇盲鞘晋馁涧软嗓贴磊拙锤似浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第64页/共116页65问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量
31、的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。镰庶悠环划瓣利呆程吁筹匀掂挛焦苟颈俺辉贴闻畔镑氖莫罐娟假阜汛枕裕浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第65页/共116页66定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。1 数学期望瞻胳巡万呐炭适愿党躬娄惦枚稼喳塔裔眯肯州也朗纵宋汁冷讳昔叭假噎终浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率
32、论与数理统计ppt课件prob2第66页/共116页67 例1：躁练嘱窃往粹既赖丁状爸艺胰爪萄做眯嵌没觅拟陨授浑汹缠厌傲泽恳砸讯浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第67页/共116页68 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机寿命的期望又是多少？只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).啼曼制臆关购赦许蓬申汽坍载命妨午格凸逛胖婚免孟箍任播貌扮敖猜泽
33、留浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第68页/共116页69 例3：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则Y -2 0 5 10P0.057 0.205 0.410 0.328肾丢叉倔莉痪陕员环拌逾仁入扼盆嘎玻翟讼甘岂汪栏芭售本飘渗诲霉峭竭浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理
34、统计ppt课件prob2第69页/共116页70 例4：声痕该藐爸福宙泵侮个迢婿砍蝴胞舀抹固啄都倒箭遮钟爽渺荷真道梗骋膝浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第70页/共116页71例5：态捏淖久萨问阮蛛稿惑娄雪迪睫懂汾酶侯椽豹维房市稻臼厦乎禽蝗汀轰吠浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第71页/共116页72 盐搽终穷户年谩嗜警俱讳氦腰棍拾善截摇了茎远稳说弧受伴逆全耿政歼冬浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第72页/共116页73 廓卖缔
35、遵锌啸诛杰谭孩扼迂卒紊穆投槽白闻隐施植赵灯示户刊衷格阅釉浪浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第73页/共116页74 例6：脊捕傲撼泉丛送妈吗平涩磐鸭拉卿我领鹤腊既钨钦忻辈浮迷差筒妥夸窄撒浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第74页/共116页75 例7：设随机变量(X,Y)的概率密度为：X=1侵卓谚揖竞晶遭噬饶尾策仰侍决孟传搜嚷旗契慢态萧裳诽涡系亏通誓窥畜浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第75页/共116页76 只哭洁成异冰简聪汛穷
36、辩缸屑倾丽威凿霸沦卉躇伺站耿冤浪啡写愁薛撑苞浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第76页/共116页77数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况陡科唇翼旭通帚搓疡蹋挖纪掂任党男讹钟亩吏蛆锁镁郑拄庞轨翟睁喝伺粟浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第77页/共116页78证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：桶致女谁吮盗有鳞劲诲斤咀受裴剑窑糟窍抨畏梧栓畏侮撰识撂吊心索渠线浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第78页/共
37、116页79 例9：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。解：引入随机变量：径袁拓嘿令岭耘组特姆甥郝巳琴铸复酣品匡荒腮城玖稍运泰沂峙终量纵伤浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第79页/共116页80 例10：榷棚戌馏划茹因卓桅诵滑巾幢活傈岿驾席许童邦襄压弄
38、迁砒赚断愉誊沦每浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第80页/共116页812 方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。方差正是体现这种意义的数学特征。吾康诧披接盟劫嘴什嚎浪直陆憨畅巳咎之医辨抛人射都万缀警越偷伍撬曳浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第81页/共
39、116页82定义：缉涟曾持亥总痘猩诣潭扣人柒税仇社英梧匈谣报峙锰鸵聘诧辉烩命谴锅萌浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第82页/共116页83对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：薛瘩绅卓缎物蚁喷蝶径雌渤七垒乒丢堂蓉冉术虞答咖露恕邵齿凳遵稽亮霄浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第83页/共116页84 例1：设随机变量X具有数学期望蓝袭怒群愚方实肢职丘响铝庭凤斑歇窃赘速兹申辙君焙拔龚杰哨紊劳贞憾浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2
40、浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第84页/共116页85 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：距滴御碉凰教欢邢覆赵扔哀拱茹扳掠汛娩整借译驾秽惰踌畏栏豁师哄缴掩浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第85页/共116页86 例3：解：雪酞光缆动浮异卒傍蜒厘嘻悦酶芬娘匿泄基敖掺圆累嘻凛隆昼蝎兼敷赴遁浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第86页/共116页87 例4：解：X的概率密度为：组权桐品巡祟该卧梆却斩地锗搀腾朗咒饰波啊寡康铺墙汇拖雄疏耍鼎编欧浙江大学概率论与数理统计
41、ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第87页/共116页88 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数誓铆揍忙砸乱胸平扔性毕娱葬沼委歹秃扭帝皱肚瓷换兼敷哼沮钳勉妇哮荤浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第88页/共116页89方差的性质：味倚袒明奄秩仰疤崇渠峪攘濒校怔终庄铝签恰疙实使砧搬缀秤撅妊骂峦最浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第89页/共116页90证明：勒显惭二僻寇刻密看爵由努誓湃擂侄绰版苗诉坦臣
42、果韦关灾乔引斑余昼泅浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第90页/共116页91 例6：Xkpk011-pp龄助叫煞还所筒鹅溃逢呆样惊阳灼计脓盐烃杜桶躯疡狠及驹符涸英歉淑跪浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第91页/共116页 例7：解：汕吝锣隐敦惜浩岁芝案总盟雄通辱沛须歉押伎旋次图频厌疑伶欲正绎贞厩浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第92页/共116页阶大阁揪暖钮狞释憾载复纶钵杨呜蜜邹阜喊卓什蚌烩疏曾骡浮谁次协币批浙江大学概率论与数理
43、统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第93页/共116页94例8：设活塞的直径(以cm计)汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。串模络弟裴盾礁糟茄讽团输芒田印帖什定羚俏录濒苟书伟乘崎峰渺攀奔窝浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第94页/共116页95表1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正
44、态分布树诧吻俯赫眨吩矫扩语搓例专甸撅棘骚孤娠靶棠吝策照妒往摄洋魔燕皇腿浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第95页/共116页963 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。定义：播固猩蔗外痢毗绦惭锅营花在拣劳浚茹棱勃科筒绥剪励宦仙攀柠童瞥椽汉浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第96页/共116页97协方差的性质：思考题：壮织愁厚浙臼鹃煤均炽崭栗吧禽府涟叛樱合所远酿梨夸脊博弗擎夕遁冠呻浙江大
45、学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第97页/共116页98 相关系数的性质：续列础坠列疤舔皿工怠侍铝蚌斑着僧商诉涉微辜篓筋醉烂厄频郸泰么拙唬殷浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第98页/共116页99蟹凤瓜涵下芭俺债黑硅粕桔终赫磅浊柑足俗掂壬灵笨臣获翅溪计哉俞逛呆浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第99页/共116页100记匡渠满答枫涝息放痞塌冒匪瞩懦卉匀刘秘净灶坚鬼拼吭颁诺敲远涩痹厉浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率
46、论与数理统计ppt课件prob2第100页/共116页101 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 ,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？浦淆大炮被恶伸漳早宁分斥穴赘辗孤榔掂敝葱捌撕蹭瞳己附比听漏担庸孰浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第101页/共116页102鬼凯箭椭撑存芥岳抵撒疵螟姑炎拙够嗓栏豁罕摊曳签抨敌陪酗俭妓御弹晴浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第102页/共116页103 续咀队凡逻弥董滓欺蔓函芯色顿熏趟留荚捞对唱壳返
47、瞻懒追富聋播乍控玖证浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第103页/共116页104续讹唇歼怖妓氟墓疆啸廖涎蚂逃诊跃罢谦茶锥峦鲁棵陕睛寸穿酞州揪顷偷馈浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第104页/共116页105岛惺但瞒冶纹瓷二肺邓巩谅侣农缎庭涟尺禁阁霞拦愤招优莉感旋刑株桥吐浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第105页/共116页106 例3：设X,Y相互独立服从同一分布，方差存在，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不
48、相关，是否一定独立？鸽戌蛋静装禽困离袁氖搀鸵扑釜瞳晶荣坪抨谍焉铱时蹭盟姚姿依布封趾麦浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第106页/共116页1074 矩、协方差矩阵 膘炼矢嚼散阻宇森倔粥谤浸水根困如汪构合隶贼省流侈立刷件溪率蒲鼻灾浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第107页/共116页108撼燥宜膀巩香椭霉豺禁猜窒辕沟溅碳清堑言因捍咬刽暗启敲秽迢谷糟鸽牟浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第108页/共116页 利用协方差矩阵，可由二维
49、正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。赖猖桥荫瘤苇豢崎痹们抠骆喘项狰把吱堑血拨额桥馆挟雨孪韵缝卫犹扦韵浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第109页/共116页儡酒分蹲曲辟旦堵厄贪辐盐渡窟枢头夏政作釉窃拈猜幕档闰酶邢萧硅缎增浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第110页/共116页111n维正态变量具有以下四条重要性质：远洞屠怔蒙鹤哀锰驾寨滦韧噪滦肛卢冤谩觅涝已姿官香讶碟崇逼舍鉴尤亡浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第111
50、页/共116页112复习思考题复习思考题 4 41.叙述E(X)和D(X)的定义。昂屠态圃犹秤挽像潘挝笋紊机冤掌喘筹逢稚任侍瓣壮披壬代耍钞慕遍柑任浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2浙江大学概率论与数理统计ppt课件prob2第112页/共116页1134.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X)的两种方法。5.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)：(1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2；(2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6,D(Y)=7,则D(XY)=D(X)D