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1、浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.M写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一1)s =史照表小班人数n n n J(3)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。(-2)S=10, 11, 12, ,n, (4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4次才停止检查。(- (3)5=00, 100, 0100, 0101, 1010, 0
2、110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.-设/, B, C为三事件，用力, B, C的运算关系表示下列事件。(1) /发生，8与C不发生。表示为： /月二或/一(48+4。或4 一(8UC)(2) A, 8都发生，而C不发生。表示为：Z8仁或ZB-48C或ZB-C(3) A, B, C中至少有一个发生表示为：A+B+C(4) A, B, C都发生，表示为：ABC(5) A, B, C都不发生，表示为：彳而或S- (Z+8+O或ZuBuC(6) A, B, C中不多于一个发生，即4, B, C中至少有两个同时不发生相当于/瓦耳C,ZC中至少有一个发生
3、。故 表示为：AB + BC + AC .(7) A, B, C中不多于二个发生。相当于：7,瓦彳中至少有一个发生。故 表示为：彳+耳+彳或不记(8) A, B, C中至少有二个发生。相当于：AB, BC, ZC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC6.三设4 8是两事件且尸(4尸0.6, P (8)=07问(1)在什么条件下尸(48)取到最 大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P (18)取到最小值，最小值是多少？解：由尸(/) = 0.6,尸(8) = 0.7即知6,(否则/8= 6依互斥事件加法定理，P(A U B)=P (A)+P (5)=0.6+0.7=1.31 与尸(/
4、U B)W 1 矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (A U B)(*)(1)从0WP(Z8)WP(4)知，当AB=4,即ZC8时尸(N8)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知，当ZU8=S时，尸(/8)取最小值，最小值为P(JB)=0.6+0.7-1=0.3 .7四设 /, B, C 是三事件，MP(A) = P(B) = P(C) = ,P(AB) = P(BC) = 0 , P(4C) =.求出B, C至少有一个发生的概率。o解：P(A, B, C 至少有一个发生户P(/l+8+C)=尸(4)+P(B)+P(0P(8C)一315
5、P(AC)+P(ABC)= t-V + 0 = T 4 Oo8 .五在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记/表“能排成上述单词”V从26个任选两个来排列，排法有用$种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个小岩奇9 .在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。(设后面4 个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1, 29)记/表“后四个数全不同”后四个数的排法有IO4种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有/4P(/1) = T = 0.50410410 .六在房
6、间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录 其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件/,/ 10人中任选3人为一组：选法有($)种，且每种选法等可能。又事件4相当于：有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有1x(2)求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人，选法有(?)种，且 每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有lx11 .七某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬 运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问个定货
7、4桶白漆，3桶黑漆和2 桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为人在17桶中任取9桶的取法有C二种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有x C： x故_ C| x C： * C； _ 252（）一份 243112,八在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件力； 在1500个产品中任取200个，取法有（瑞）种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有幡那种f400YH1500200（2）至少有2个次品的概率。记：A表”至少有2个次品”8。表不含有次品”，山表“只含有一个次品”，
8、同上，200个产品不含次品，取法 有（盟）种，200个产品含一个次品，取法有（华）（第种4 =&,+由且Bo, 4互不相容。P(A) = 1-P(A) = 1- P(B0) + PBX) = 1 -(1100 (400丫1100)(20 J 1 9 J(1500)(1500)I 200 JI 200 13.A从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则彳表“4只人不配对”V 从10只中任取4只，取法有（，）种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有尸爪等哈 v10尸（4） = 1-尸
9、（不=1一盘=导15 .十一将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1, 2,3,的概率各为多少？记4表“杯中球的最大个数为i个 i=123,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对小：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2种。（选排列：好比3个球在4个位置做排列）66对42：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C；x4x3种。（从3个球中选2个球，选法有C；,再将此两个球放入一个杯中，选法有4 种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。P（4）=Cl x4x343916对小：必须三球都放入一杯中。放法有4种。（只需从4个杯中选1个杯
10、子，放入此 3个球，选法有4种）16 .十二50个钾钉随机地取来用在10个部件，其中有三个抑钉强度太弱，每个部 件用3只钾钉，若将三只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱， 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记N表“ 10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作:把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去制完10个部件（在三个钉的一组 中不分先后次序。但10组钉加完10个部件要分先后次序）对氏 钾法有C；oXC*xCZxC2种，每种装法等可能对4：三个次钉必须钏在一个部件上。这种钾法有（C：xC：7xCZ3）IO尸8)=C；xC%xCZxCxlO1C；0 X C：7
11、 XX C：31960= 0.00051法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件卸完。 （钾钉要计先后次序）对氏 钾法有A；。种，每种钾法等可能对出 三支次钉必须支在“必2, 3”位置上或“4, 5, 6”位置上，或“28, 29, 30”位置上。这种钾法有W X福+国X留+ Aj + 4：； =10xAj x3：；种pJ吟售“50! = 0.00051 196017 .十三已知 P(A) = 0.3, P(8) = 0.4, P(AB) = 0.5,求P(814 u 月)。解一:P(A) = 1-P(A) = 0.7, P(B) = 1-P(B
12、) = 0.6, A = AS = A(B05 = 07 - P(B A)P(月 |/) = M = ； = P(8|/) = m 故 P(AB) = P(A)P(BA) = 尸”团型嗡甯=P(BA)P(A) + P(B)-P(AB)j.= 0.25 0.7+ 0.6-0.518 .十四P(4) = (，P(BM) = |, P(-3) = :,求P(/u8)。1X1解：由口川5)注瑞(%丁)口人有六高”言由乘法公式，得尸(48) =尸(4)尸(8|4)=4由加法公式，得 P(4 U 8) = P(A)+ P(B) - P(AB) = ! + !-4=4612s19 .十五掷两颗骰子，已知两颗
13、骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用 两种方法)。解：(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间，求 事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x, y) (x,尸1,2,3,4,5,6)并且满足x,土尸7,则样本空间为S=(x,y) (1, 6 ), (6,1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果（xj）等可能。A=掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故尸（4）=高=5 o 3方法二：（用公式P（*8）=PAB)P(B)S=（x,y）| x =l,2,3,4,5,6;y = 1,2,3,4,5,6每
14、种结果均可能A= 掷两颗骰子，x, y中有一个为“1点，B=掷两颗骰子，x,+y=l则尸（8）= $ =卷，尸（/8）=多，626622故p(川田=竺工史=2二41) P(B) J 6 3720 .十六据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： 尸（）=尸孩子得病=0.6, P（即尸尸母亲得病|孩子得病=0.5,尸（CMB）=尸父亲得病|母亲 及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为尸（4B以）（注意:由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件, 这里不是求AB）P (4B)=尸(4尸尸(8M)=0.6x0.5=0.3, P (C AB)=
15、 -P(C AB)= -0.4=06从而 P(ABC )=P(AB)- P(C |43)=0.3x0.6=0.18.21 .十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作 不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做在 取法等可能。10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种p(m =28= 0.62法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个 排列等可能。网小_封_ 28一有一次法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记小，生分别表第一、二次取得正品。q 778尸=尸（44）=PP（& Hi） = -
16、x- = （2）二只都是次品（记为事件B）法一:C； IP（B） = = ； c；。45法二:法三:- 211p（b）= p（44）= p（4）p（4I4）= %x/ = （3） 一只是正品，一只是次品（记为事件C）法一:CIO法二:P（C） =（C；xC；）x星 _ 1645法三:尸0 =尸（4彳2+4工2）山14与442互斥=尸尸（石 |4）+p（Z）p（4|4）=奈3+后5=书（4）第二次取出的是次品（记为事件。）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:法三:p（0 = p（4Z + 44）且4不与彳出互斥82211= p（j1）p（j2M1）+ p（j1）p（j2M1）
17、=x1+1x-l-=j22.十八某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是 多少？记H表拨号不超过三次而能接通。4表第，次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。h=a,+aa2+a a 4三种情况互斥p（”）= p（4）+尸（4）尸（4 M）+P（4）p（4 14）p（a 144）19 19 8 13=+ X 4- - X X=10 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数（记为事件8）问题变为在8已发生的条件下，求， 再发生的概率。=p（4 + P（AX B）P
18、（A21 凤）+ P（4 I B）P（A2 I BA. ）P（A31 BA, A2）-1+4x1,4 3 1 _3-5+5X4+5X4X3-524.十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有只白球用只红球，乙袋中装有N只白球 M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋 中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题（1）记小，生分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记8表“再从乙袋中取得白球二B=43+殳8且小,生互斥P (B尸P (4)尸(8 小)+ P (A2)P (B A2)n N +1 m N=xTxn + m N + A/ + 1 +加 N + M + 十九(
19、2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。记Ci为“从第一盒子中取得2只红球”。C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，。为“从第二盒子中取得白球”，显然CI, C2, C3两两互斥，C,UC2UC3=5,由全 概率公式，有P (。)=尸(G)尸(DQ)+P (C2)P (DC2)+P (C3)P (D| C3)f 5 I C： 7 I6 =53 Cg 11 C, 11 C； 11 - 9926二十一已知男人中有5%是色盲患者，女人中
20、有0.25%是色盲患者。今从男女 人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解:小=男人,42=女人，B=色盲,显然小U/2=S，小由已知条件知 P(4) = P(4) = g。P(81 4) = 5%, P(BA2) = 0.25%由贝叶斯公式，有1 5_P(4B)P(4)P(8|4)210020P(B)P(4)P(8|4)+ P尸 4)1 5 + 125212 100 2 10000二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次 及格则第二次及格的概率也为尸；若第一次不及格则第二次及格的概率为5(1)若至少 有一次及格则他能取得某种资
21、格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：4=他第i次及格, i=l,2已知尸（小尸尸（4尸P，尸（4|%） = %（1）8=至少有一次及格所以后=两次均不及格 = A,A2：.P（B） = 1-P（B） = 1-P（4 A2） = - P（4 ）P（彳2 14）= i-”p（4）W p（4lZ）p3.=1一（1 一尸）（1_） = -p_p1 222（2）R4&）幽意）（*）由乘法公式，有P （小儿尸尸（小）尸（/2|4） = P2由全概率公式，有尸（4）=尸（4）p（& I4） + P（4）P（41%）= P P + （1-P） y上+E 22将以上
22、两个结果代入（*）得尸（4 |4） = =咯勺12 p2 p P + 2228 .二十五某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：到家时间5:35 5:395：40 5:445:45 5:495:50 5:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁 回家的概率。解：设Z=乘地铁，8= “乘汽车，C= 5:455:49到家”，由题意8=6/ UB=S已知：尸(4)=0.5,尸(C|4)=0.45, P (C|B)=0,2, P (5)=
23、0.5由贝叶斯公式有0.5x0.45= 045 =9_ = 0 6923P(C|J)| + P(C|B)1 065 1329 .二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30 只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一 只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零 件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设Bi表示“第i次取到一等品 i=l, 24表示“第j箱产品j=l,2,显然小口22=$4/2=小1 1 n 1 1 q 7(1) ) = H= = 0.4 (8=小8由全概率公式解)
24、。1 2 50 2 30 51 10 91 18 17+| )= 2 50 49 2 30 29 = 0 4857P(BJ25(先用条件概率定义，再求P (8/2)时，由全概率公式解)32.二十六(2)如图 1, 2, 3, 4, 5 表示继电播接点，假设每一继电器接点闭合 的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独 立，求L和R是通路的概率。记4表第i个接点接通记/表从L到R是构成通路的。,* A=AA2+ AAiA5+A4Ai+A4AiA2 四种情况不互斥，P(A)=P (小/2)+尸(小/5)+P (/5)+尸一尸(/血/乂5)+ P(JJ245)+(4/2么?/。+尸(小43 4/5)+
25、P (AjA2 AyAAsjP (A2 Ai 4M5)+ 尸(A1A2A3 4山)+ P (AtA2 A3 N4J5)+ (小自 Ay 4/5) + P (AA2 A3 A4AsjP (AA2 A A4As)又由于A I,42，43，44，45互相独At。故P (A )=p2+ OS+ p2+ p p4 +p4 +p4 +p4 +p +p4+ p5 + p5 + p5+ * p=2 /+ 3P3_5p4 +2 /二十六(1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4。它们的可靠性分别为尸1，尸2, 尸3, A，将它们按图(1)的方式联接，求系统的可靠性。记4表示第i个元件正常工作，i=l, 2
26、, 3, 4,A表示系统正常。公小儿儿+小儿两种情况不互斥P (A)=P(A Aij+P (A1 J4)-P (A tA2A3 A4)(加法公式)=尸(4i)尸(A2)P (J3)+ P(A,)P (A4)-P (4) P (A2)P (A3)P (A4)=PiP2P3+ PPPRP3P4(小,A2, A 4 独立)34 .三十一袋中装有加只正品硬币,只次品硬币，(次品硬币的两面均印有国徽)。 在袋中任取一只，将它投掷厂次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多 少？解：设”出现r次国徽面=印 ”任取一只是正品” =4由全概率公式，有P(B,) = P(A)P(BrA) + P(A)P
27、(B,. A)=+-xl m J v.尸(4)P(与 |/) m + n(2)rn.rA /.) =:=尸(厚)m 1 n 加+ 2m-n 2 m + n(条件概率定义与乘法公式)35 .甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6.若三人都击 中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高凡表示飞机被i人击中，/=1 2, 3。Bi，Bi,分别表示甲、乙、丙击中飞 机；=8百瓦+瓦瓦瓦+瓦瓦当，三种情况互斥。“2 =鸟斗瓦+劣瓦2+瓦当当 三种情况互斥H3 = B2B2B3又Bi，B
28、2, 82独立。P(Hl ) = P(Bl )尸(瓦)尸(瓦)+ P(瓦)尸(%)尸(瓦)+ P(瓦)P(瓦)P.3 ) = 0.4x 0,5 X 0.3 + 0.6x 0.5 x 0.3 + 0.6 x 0.5 x 0.7 = 0.36P(H2) = P(5i)P(52 )P(瓦) + P(B, )P(瓦)P(4)+ P(瓦)P(B2)P(B3 ) = 0.4x 0.5 x 0.3+ 0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41P (，3)=尸(Bi)P (B2)P (53)=0.4x0.5x0.7=0.14又因： A=HA+H2A+H3A 三种情况互斥故由全概率公式，有p (/
29、尸 P(H1)P QM)+P (，2)P (/TO+P (3)P (Z3)=0.36x0.2+0.41 x0.6+0.14xl =0.45836 .三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2% （这一事件记为 小），10% （事件刈），90% （事件小）的概率分别为尸（4）=0.8,尸尸05,尸（42）=0.05, 现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B）,试分别求P （小 尸（42|B）,P（4|B）（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以 取第一、第二、第三件是互相独立地）8表取得三件好物品。B=AB+A2B+AiB三种情况互斥由全概
30、率公式，有P = P(Ai)P (川小)+尸(A2)P (BA2)+P (A3)P(BA3) =0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624P(4|8) =”48)P(B)p(4)p(8|4)P(B)0.8x(098)30.8624= 0.8731P(A2B) P(A2)P(BA2) 0.15 x (0.9)3P(B) = P(B)= 0.8624= 0.1268P(a|8) =P(4B)P(Ai)P(BAi)P(B)0.05 x(0.1)30.8624-= 0.000137 .三十四将48, C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a ,而输 出为
31、其它一字母的概率都是（l-a ）/2o今将字母串4444, BBBB, CCCC之一输入信道, 输入Z444 BBBB, CCCC的概率分别为pi,p2,P3（Pi+。2+。3=1），已知输出为48C4 问 输入的是4444的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设。表示输出信号为N8C4, 8|、B2 &分别表示输入信号为4444 BBBB, CCCC,则8|、&、当为一完备事件组，且P（B,尸P,i=l,2,3。再设/发、/收分别表示发出、接收字母/,其余类推，依题意有尸（444发尸尸（8收发尸尸（C收|C发）=a ,1 nP GUI 8发尸尸（A M C发尸P （8收
32、发尸尸（8收I C发产P （C收|4发尸P （CM 8发尸又 P （ABCAAAAA）= P （。同）=尸（4 收| / 发）尸（BA 发）P （C收| Z 发）P （/发）=a?（宁产，同样可得尸（。出户尸（。由3）= （肾孑 于是由全概率公式，得3P(0 = ZC08,)国=0/ (宁)2 + (尸2 +6)a (宁)3由Bayes公式，得P (AAAAABCA)= P(BiD)=P(8M(0 8JP(D)2a厅2aP1 +(l-a)(P2+Pi)二十九设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只 蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有
33、一只蓝球 的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球 一只白球的概率。解：记小、儿、小分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、第、 当分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记C=至少有一只蓝球C AB+ 小生+ AB 42Bi+ 4/1，5 种情况互斥由概率有限可加性，得尸（0 =尸（4名）+尸（4%）+尸（4层）+尸（42即+尸（4名）箜2p（4 ）尸（即+尸（4 ）尸（%）+尸尸（2）+p（a2）p（5,）+ p（4）尸（用）3 23 33 42 22 25= F - I I , I 一=一 7 97 97 97 97
34、 99（2）记=有一只蓝球，一只白球,而且知0=483+4/1两种情况互斥P（0 = P（A, b3 +p（a3b,）= p（4）p（b3 ） + P（4 ）P（B,）=3_ ,2_ 2 =生-79 79 - 63尸（） =。 =箫=票（注意到8 = 0 L I f L I f J J三十A, B, C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给/, B, C的电话的概率分别为最，1o他们三人常因工作外出，A, B, C三人外出的概 率分别为4，4- 4,设三人的行动相互独立，求24 4（1）无人接电话的概率：（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3个 电话，求（3）这3个
35、电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5） 这3个电话都打给B,而B却都不在的概率。解：记G、。2、。3分别表不打给彳，B, C的电话。1、。2、。3分别表示4 B, C外出注意到 Cl、C2、C3 独立，且尸（G） =尸（C2）= , P（C3） = 1P（A）=：, p（d2）= p（d3）=1（1） P （无人接电话）=尸（。1。2。3尸尸（。1*（。2）尸（。3）=1X1X1=_L2 4 4 32（2）记G= 被呼叫人在办公室，G = G及 + C2仄 + C3瓦三种情况互斥，由有 限可加性与乘法公式由于某人外出与P(G) = P(CQ) + P(C2D2) + P
36、(C3D3)=P(C,)P(D, ICJ + P(C2)P(D2 |C2) + PG)P(D3 |C3)否和来电话无关（故 p（3C*）=p（2）J_212 313_13-A T A十X-5 2 5 4 5 4 20（3） H为“这3个电话打给同一个人”P（H） = yxyxy + -xyxy + -x-x- = （4） R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A, B, C的三个电话，每种情况的概率为2X2X1 = （5） 5 5 125于是产=6、展=需（5）由于是知道每次打甩话都给8,其概率是1,所以每一次打给8电话而8不在 的概率呜,且各次情况相互独立于是P（
37、3个电话都打给8, 8都不在的概率）=（%=今第二章随机变量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以X表 示取出的三只球中的最大号码，写需随机变量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律为1 xC2 1P（X = 3） =尸（一球为3号,两球为1,2号）=乃M =白 C； 1UP（X = 4） = P（一球为4号,再在1,2,3中任取两球）=崎L =磊P（X = 5） = P（一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）=I?=提cl 10也可列为下表X： 3, 4, 5p _L A A, 10, 105103 .三设在15只同类型零件中有2只是次
38、品，在其中取三次，每次任取一只，作 不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0, 1, 2个。尸4）喑$p（X7）_C；xg _12Cj X Cn1尸（2 =号再列为下表X：0, 1, 2D22 12 1P： 35-35-35）一 *一354 .四进行重复独立实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为4=1一0（0折1）（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求丫的分布律。（此时称y服从以
39、r.p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数, 写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）尸（X=A）=qip k= 1,2,（2） y=r+=最后一次实验前r+-1次有次失败，且最后一次成功P(Y = r + n) = C+_lqnprp = C+_lqpr, = 0,1,2,，其中 q=-p,或记/+”=% 则尸y=L=C3p“l-p)j, k = r,r + ,-（3） P(%=) = (0.55)k l0.45尸(X 取偶数)= P(X = 2幻= (0.55)21 0 45 = H*=1*=1316.六大楼装有5个同类
40、型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的 概率为0.1,问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？P(X = 2) = c2g5-2 =C2X(0.1)2 x(0.9)py=i=尸第1次飞了出去=； = 0.0729(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？P(X 3) = Cj X (0.1)3 x(0.9) y的可能取值为1, 2, 3 +C5 x(0.1)尸丫=2=尸第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去 x(0.9) + C： x(0.1)5 = 0.00856(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？PX 1) = 1- P(X = 0) = 1- 0,59049
41、= 0.40951五一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗 子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假 定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。(2)户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。 以y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求丫的分布 律。(3)求试飞次数x小于y的概率；求试飞次数y小于x的概率。解：(1) x的可能取值为1, 2, 3,，尸X=尸户前一1次飞向了另2扇窗子，第次飞了出去尸丫=3=尸第1, 2次飞向
42、了另2扇窗子，第3次飞了出去=2， =?3(3) PX r = y PY = kPXYY = k/、(全概率公式并注意到、g|py|r = i = o ) PY kPX YY = kk=2= PY = kPX k注意到X, 打虫立即-PX YY = k=Ixt4xI4xt=%7=pxk3同上，PX = Y = PY = kPX = YY = kk=故尸丫 x = i - p(x y)=p(x=, y=o)+p(齐2, y=o)+p(x=2, y=i)+P 佯3) P(y=0)+ P (X=3) P(Y=)+P (X=3) P(Y=2)=p(x=i)p(r=o)+ p(x=2, y=o)+ p(x=2, y= i)+P(X=3) P(r=o)+ P(六3)P(Y=)+P(X=3)尸(y=2) =C x0.6x (0.4)