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1、关于余弦定理在生活中的关于余弦定理在生活中的应用应用第1页，讲稿共23张，创作于星期一1 1、向量的数量积、向量的数量积：2、勾股定理、勾股定理：AaBCbc证明：证明：余弦定理的着推导过程余弦定理的着推导过程第2页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理的着推导过程余弦定理的着推导过程思考题思考题：若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB边边c.ABCabc解：解：第3页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去去这两边与它们夹角的余
2、弦的积的两倍这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。求第三边和其他两个角。推导公式：推导公式：第4页，讲稿共23张，创作于星期一ABCabc余弦定理的证明余弦定理的证明证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：第5页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理的证明余弦定理的证明bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、
3、C三点的坐标分别为：第6页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理的证明余弦定理的证明ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中第7页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理的证明余弦定理的证明当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中bAacCBD第8页，讲稿共23张，创作于星期一例.已知b=8,c=3,A=600求a.a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 定理的应用定理的应用解：a=7第9页，讲稿共23张，创作于星期一余弦定理在实际生活中的应用余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几
4、何、天体运正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步求解此类问题的大概步骤为：骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；第10页，讲稿共23张，创作于星期一（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后
5、正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.第11页，讲稿共23张，创作于星期一1.测量中余弦定理的应用测量中余弦定理的应用例例1某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一千米的处有一人正沿此公路向走去，走人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？千米，求此人所在处距还有多少千米？分析：分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，从而 求出（即为所求）.第12页，讲稿共23
6、张，创作于星期一解：解：由图知，在 中，由余弦定理，得.即.整理，得，解得 或 （舍）.故 （千米）.答：此人所在D处距还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形形”可为可为“数数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理理应用正、余弦定理.东北第13页，讲稿共23张，创作于星期一 2.航海中余弦定理的应用航海中余弦定理的应用例例2在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为私船，在处
7、北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里此时走私船正以海里/小时的速度小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？走私船，并求出所需要的时间？分析：分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出 示意图，需求的方位角及由到 所需的航行时间.第14页，讲稿共23张，创作于星期一解：解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有 ，在 中，根据余弦定理可得.根据正弦定理可得.，易知方向与正北方向垂直，从而.在
8、中，根据正弦定理可得：，则有 ，小时 分钟.所以缉私船沿北偏东 方向，需 分钟才能追上走私船.评注：评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.第15页，讲稿共23张，创作于星期一3.航测中余弦定理的应用例例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔面内，已知飞机的高度为海拔m，速度，速度为为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到的海拔高度（精确
9、到m）.分析：分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到 航线的距离，然后再根据航线的 海拔高度求得山顶的海拔高度.第16页，讲稿共23张，创作于星期一解：解：设飞行员的两次观测点依次为 A和B，山顶为 ，山顶到直线的距离为 .如图，在 中，由已知，得 ，.又 （km）,根据正弦定理，可得 ，进而求得，（m）,可得山顶的海拔高度为 （m）.评注：评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.第17页，讲稿共23张，创作于星期一4.炮兵观测中余弦定理的应用炮兵观测中余弦定理的应用例例4我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于我
10、炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，目标出现于地面点处地面点和处，已知米，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）（结果保留根号）.分析：分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.第18页，讲稿共23张，创作于星期一第19页，讲稿共23张，创作于星期一综上综上，通过对以上例题的分析，要能正，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应）准确理解有关问题的陈述材料和
11、应用的背景；用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题生活、科学实验相结合的数学问题.第20页，讲稿共23张，创作于星期一定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。推导公式推导公式：小结：小结：第21页，讲稿共23张，创作于星期一2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。个角。第22页，讲稿共23张，创作于星期一感感谢谢大大家家观观看看第23页，讲稿共23张，创作于星期一