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1、现在学习的是第1页，共23页1 1、向量的数量积、向量的数量积：cosbaba2、勾股定理、勾股定理：AaBCbc222cba证明：证明：CBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC2222CBACAB222abc余弦定理的着推导过程余弦定理的着推导过程现在学习的是第2页，共23页余弦定理的着推导过程余弦定理的着推导过程思考题思考题：若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB边边c.ABCabcCBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解：解：Cabbaccos
2、2222现在学习的是第3页，共23页余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222abcbaC2cos222余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。求第三边和其他两个角。推导公式：推导公式：现在
3、学习的是第4页，共23页ABCabc余弦定理的证明余弦定理的证明证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbCbaABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222现在学习的是第5页，共23页余弦定理的证明余弦定理的证明bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(
4、CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222现在学习的是第6页，共23页余弦定理的证明余弦定理的证明ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中ADCCACCDCACADcos,sin在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222Rt ABD现在学习的是第7页，共23页余弦定理的证明余弦定理的证明当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延
5、长线于D在Rt 中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBDRt ABD现在学习的是第8页，共23页例.已知b=8,c=3,A=600求a. a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 解：a=7现在学习的是第9页，共23页余弦定理在实际生活中的应用余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运正、余弦定理在测量、航海、物理
6、、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤求解此类问题的大概步骤为：为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；现在学习的是第10页，共23页 （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最
7、后作答.现在学习的是第11页，共23页1.测量中余弦定理的应用测量中余弦定理的应用例例1某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，千米的处有一人正沿此公路向走去，走走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？千米？分析：分析：根据已知作出示意图， 分析已知及所求，解，求角. 再解，求出，再求出，从而 求出（即为所求）.现在学习的是第12页，共23页解：解：由图知，在 中，由余弦定
8、理，得.即.整理，得， 解得 或 （舍）.故 （千米）.答：此人所在D处距还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形形”可可为为“数数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理用正、余弦定理.60CAD22222231202123cos22 31 2031BDBCCDBBC BD12 3sin31BABCsin24sinBCBACA2222cosBCACABAC ABA2223124224 cos60ABAB15ADABBD2243850ABAB35AB
9、 11AB 东北CAB2535212031现在学习的是第13页，共23页 2.航海中余弦定理的应用航海中余弦定理的应用 例例2在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为在处北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里海里的处的缉私船奉命以海里/小时的小时的速度追截走私船速度追截走私船.此时走私船正以海里此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？需要的时间？ 分析：分析：注意
10、到最快追上走私船， 且两船所用时间相等，可画出 示意图，需求的方位角及由到 所需的航行时间.现在学习的是第14页，共23页解：解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有 ，在 中， ， ， ，根据余弦定理可得.根据正弦定理可得. ，易知方向与正北方向垂直，从而.在 中，根据正弦定理可得： ， ， ，则有 ， 小时 分钟.所以缉私船沿北偏东 方向，需 分钟才能追上走私船.评注：评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.10 3CDt10BDtABC31AB 2AC 45 75 120B A C 22
11、( 3 1 ) 2 22( 3 1 )cos1206B C 32sin12022sin26ACABCBC45ABC9030120CBDBCDsin10 sin1201sin210 3BDCBDtBCDCDt30BCD 30BDC 6BDBC106t 60.24510t 14.706014.7现在学习的是第15页，共23页3.航测中余弦定理的应用 例例3飞机的航线和山顶在同一个铅直飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔平面内，已知飞机的高度为海拔m，速，速度为度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶经过秒后又看到山顶的
12、俯角为，求山顶的海拔高度（精确到的海拔高度（精确到m）. 分析：分析：首先根据题意画出图形， 如图，这样可在和中解出山顶到 航线的距离，然后再根据航线的 海拔高度求得山顶的海拔高度.现在学习的是第16页，共23页解：解：设飞行员的两次观测点依次为 A和B，山顶为 ，山顶到直线的距离为 .如图，在 中，由已知，得 ， ， .又 （km）,根据正弦定理，可得 ，进而求得， （m）,可得山顶的海拔高度为 （m）.评注：评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案. MMDABM18 30A 99ABM62 30AMB120180660 60A
13、B 6sin18 30sin62 30BM6sin18 30sin81sin62 30MD2120MD 20250 2120 18130现在学习的是第17页，共23页4.炮兵观测中余弦定理的应用炮兵观测中余弦定理的应用 例例4我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，目标出现于地面点处地面点和处，已知米，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）（结果保留根号）.分析：分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可
14、选择在和中应用定理求解.现在学习的是第18页，共23页现在学习的是第19页，共23页 综上综上，通过对以上例题的分析，要能正，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题生活、科学实验相结合的数学问题.现在学习的是第20页，共23页定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222abcbaC2cos222推导公式推导公式：小结：小结：现在学习的是第21页，共23页2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。两个角。现在学习的是第22页，共23页感谢大家观看现在学习的是第23页，共23页